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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题27 数列大题综合 （新高考通用）
一、解答题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，其前
n项和 满足 .
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 .
2．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，
．
(1)证明： 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知数列 满足 ， 是以1为首
项，2为公比的等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
4．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知数列{ }满足
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ，数列{ }的前n项和为Tn，若 ，求m.5．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知等差数列 和等比数列 满足，
.
(1)求数列 ， 通项公式
(2)设数列 中满足 ，求和
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知数列 的各项均为正数，其前n项
和 满足 ，n∈N*．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 对任意n∈N*恒成立，求a．
1
7．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列 满足 .
(1)判断数列 是否是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项积为 ，若 ，求数列 的通项公式．
9．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知数列 满足 ，且
.
(1)若 是等比数列，且 ，求 的值，并写出数列 的通项公式；
(2)若 是等差数列，公差 ，且 ，求证：
.
10．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知数列 满足 ， ，数列
为等比数列且公比 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，若________，记数列 满足 ，求数列
的前 项和 ．
在① ，② ， ， 成等差数列，③ 这三个条件中任选一个
补充在第（2）问中，并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
11．（2023·福建厦门·统考二模）记等差数列 的公差为 ，前 项和为 ；等比数
列 的公比为 ，前 项和为 ，已知 ， ， ．
(1)求 和 ；
(2)若 ， ， 求 的前 项和．
12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数 (n)(n∈ )的函数值等于所有不超过正整
数n，且与n互质的正整数的个数，例如： (1)=1， (4)=2．
(1)求 ， ；
(2)令 ，求数列 的前n项和．13．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）设等差数列 的前n
项和为 ， .数列{bn}满足：对每个 成等比
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，n∈N*，证明： ，n∈N*.
14．（2023·河北唐山·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，满足
．
(1)求 ；
(2)令 ，证明： ， ．
15．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）各项均为正数的数列 ，其前n项和
记为 ，且满足对 ，都有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： ．
16．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知数列 的前n项和为 ， ，且
（ ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．17．（2023·山东济宁·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足：
.
(1)求证：数列 为常数列；
(2)设 ，求 .
18．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足
．
(1)求证：数列 为等比数列
(2)设数列 满足 ，求最小的实数 ，使得
对一切正整数 均成立．
19．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列 的各项均为正数，
的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： .
20．（2023·湖北·统考模拟预测）设数列 的前n项和为 ．已知 ，
， ．(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
， .
(1)证明： 是等比数列
(2)求数列 的前2n项和 .
22．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）各项不为0的数列 满足
，且 .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
23．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）数列 满足
.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 .若对于任意正整数n，均有
恒成立，求m的最小值.24．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知 为数列 的前 项和， ，
，记 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
25．（2023·湖南·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足
， ．
(1)求数列 的通项公式 及前n项和 ；
(2)设数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．
26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列 满足 ，
， ， ．
(1)当 时，求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
27．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知数列 和 满足 ， ，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和
28．（2023·广东茂名·统考一模）已知 为数列 的前n项和， ，
.(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ， 为数列 的前n项和.求 ，并证明： .
29．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知数列 ， 时，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2) 为各项非零的等差数列，其前 项和为 ，已知 ，求数列 的
前 项和 .
30．（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列 的前 项和为 , ,
.
(1)求数列 的通项公式.
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
