文档内容
27.2.1 相似三角形的判定（第二课时） 导学案
学习目标
1.了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明
过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.结合全等三角形的 SSS 和 SAS 的证明方法，会用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判定定
理.
3.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
重点难点突破
★知识点1： 相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
★知识点2： 相似三角形判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
核心知识
一、相似三角形判定定理3：三边___________的两个三角形相似.
二、相似三角形判定定理4：两边______________且_________________的两个三角形相似.
复习巩固
【提问1】简述相似三角形的概念？
【提问2】如何判断两个三角形是否相似呢？
【提问3】结合之前所学，判定两个三角形全等有几种方法？
新知探究
【问题一】类比三角形全等的判定方法（SSS），我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
AB BC AC
【动手操作】画△ABC和△DEF,使得 = = =k，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？你
DE EF DF
觉得△ABC和△DEF相似吗？【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
AB BC AC
【证明一】在△ABC和△A'B'C'中，如果 = = ，求证：△ABC∽△A'B'C'.
A'B' B'C' A'C'
典例分析
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．【针对训练】
1．已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△≝¿，
则△DEF的三边长分别是（ ）
A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
新知探究
【问题三】类比三角形全等的判定方法（SAS），我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
AB BC
【动手操作】画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E， = =k，量出它们的第三组对应边AC和DF的长,它
DE EF
们的比等于k吗? 你觉得△ABC和△DEF相似吗？
【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
AB AC
【证明二】在△ABC和△A’B’C’中，如果∠A =∠A’， = ，求证：△ABC∽△A'B'C'.
A'B' A'C'AB AC
【小组讨论】分别画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E， = ，这样的两个三角形相似吗？
DE DF
典例分析
例2 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
AC AB AC BC AC AB AC BC
A． = B． = C． = D． =
AD AE AD DE AD DE AD AE
【针对训练】
AD AE
1．如图，已知 ＝ ，若使△ABC∽△ADE成立 （只添一种即
AB AC
可）．2. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
AC AB AC BC AC AB AC BC
A． = B． = C． = D． =
AD AE AD DE AD DE AD AE
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
AP AB AB AC
C． = D． =
AB AC BP CB
4 ．如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ΔA B C 相似的是
1 1 1
（ ）
A． B． C． D．
例 3 如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且 AD＝1，AB＝3，
AC=❑√3．
求证：△ACD∽△ABC．
【针对训练】
1. 如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．2．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，BD＝2，CE＝5，求证：
△AED∽△ABC．
3．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2=CD⋅BC，求证：△ABC∽△DAC．
AD 3
例4 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且 = ，求DE的长.
AB 4
课堂小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 简述判定两个三角形相似的方法？【参考答案】
新知探究
【问题一】类比三角形全等的判定方法（SSS），我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
AB BC AC
【动手操作】画△ABC和△DEF,使得 = = =k，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？你
DE EF DF
觉得△ABC和△DEF相似吗？相等、相似
D
A
B C E F
CBA = 32.06° AB = 6.43厘米 DEF = 32.06° DE = 11.63厘米
BAC = 45.27° BC = 4.68厘米 EDF = 45.27° EF = 8.47厘米
BCA = 102.67° AC = 3.50厘米 EFD = 102.67° DF = 6.32厘米
AB BC AC
= 0.55 = 0.55 = 0.55
DE EF DF
【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
△ABC与△DEF相似
AB BC AC
【证明一】在△ABC和△A'B'C'中，如果 = = ，求证：△ABC∽△A'B'C'.
A'B' B'C' A'C'
证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,
AB AC BC
根据前面的定理可得△ABC ∽△ADE ∴ = =
AD AE DE
AB BC AC
∵ = = ， AD=A’B’,
A'B' B'C' A'C'BC BC AC AC
∴ = ， =
DE B'C' AE A'C'
∴AE= A'C’， DE=B'C'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'.
典例分析
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
【针对训练】
1．已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△≝¿，
则△DEF的三边长分别是（ B ）
A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ B ）
新知探究
【问题三】类比三角形全等的判定方法（SAS），我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
AB BC
【动手操作】画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E， = =k，量出它们的第三组对应边AC和DF的长,它
DE EF们的比等于k吗? 你觉得△ABC和△DEF相似吗？等于、相似
D
A
B C E F
CBA = 25.27° AB = 9.92厘米 ED = 14.19厘米 BAC = 32.22° BCA = 122.52°
FED = 25.27° BC = 6.27厘米 EF = 8.97厘米 EDF = 32.22° EFD = 122.52°
AC = 5.02厘米 DF = 7.18厘米
AB BC AC
= 0.70 = 0.70 = 0.70
ED EF DF
【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
△ABC与△DEF相似
AB AC
【证明二】在△ABC和△A’B’C’中，如果∠A =∠A’， = ，求证：△ABC∽△A'B'C'.
A'B' A'C'
证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,
AB AC BC
根据前面的定理可得△ABC ∽△ADE ∴ = =
AD AE DE
AB AC BC BC AC AC
∵ = ，AD=A’B’, ∴ = ， =
A'B' A'C' DE B'C' AE A'C'
∴AE= A'C’， DE=B'C'而∠A =∠A’
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'.
AB AC
【小组讨论】分别画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E， = ，这样的两个三角形相似吗？不一定相似
DE DFD
A
B C E F
F'
CBA = 31.90° AB = 7.76厘米 DE = 8.60厘米
FED = 31.90° AC = 4.22厘米 DF = 4.67厘米
DF' = 4.67厘米
AB AC AC
= 0.90 = 0.90 = 0.90
DE DF DF'
典例分析
例2 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( C )
AC AB AC BC AC AB AC BC
A． = B． = C． = D． =
AD AE AD DE AD DE AD AE
【针对训练】
AD AE
1．如图，已知 ＝ ，若使△ABC∽△ADE成立 ∠ DAE=∠BAC （只添一种即可）．
AB AC
2. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( C )
AC AB AC BC AC AB AC BC
A． = B． = C． = D． =
AD AE AD DE AD DE AD AE3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ D）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
AP AB AB AC
C． = D． =
AB AC BP CB
4 ．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ΔA B C 相似的是（ B
1 1 1
）
A． B． C． D．
例 3 如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且 AD＝1，AB＝3，
AC=❑√3．
求证：△ACD∽△ABC．
证明：∵AD＝1，AB＝3，AC＝❑√3
AC ❑√3 AD 1 ❑√3 AC AD
∴ = ， = = ∴ = 又 ∵∠A=∠A
AB 3 AC ❑√3 3 AB AC
∴ΔACD∽ΔABC
【针对训练】
1. 如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．AB AC
证明：∵AB•AE=AD•AC，∴ = ．
AD AE
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED
2．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，BD＝2，CE＝5，求证：
△AED∽△ABC．
证明：∵AB＝6，AC＝8，BD＝2，CE＝5，
∴AE=AC−CE=3，AD=AB−BD=4，
AE 3 1 AD 4 1 AE AD
∵ = = ， = = ，∴ = ，
AB 6 2 AC 8 2 AB AC
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△AED∽△ABC．
3．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2=CD⋅BC，求证：△ABC∽△DAC．
AC BC
解：∵AC2=CD•BC，∴ = ，
CD AC
∵CA是∠BCD的角平分线，∴∠ACB=∠DCA
∴△ABC∽△DACAD 3
例4 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且 = ，求DE的长.
AB 4
解：∵AE=1.5，AC=2，
AE 1.5 3 AD 3 AE AD
∴ = = 而 = ∴ =
AC 2 4 AB 4 AC AB
DE AD 3
又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC∴ = =
BC AB 4
3 3 9
∵ BC=3∴DE= BC= ×3=
4 4 4
