文档内容
28.2.1 解直角三角形 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十八章“锐角三角
函数”28.2.1 解直角三角形，内容包括：直角三角形的解法.
2.内容解析
本节课是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形
的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下了基础，
在本章起到承上启下的作用
由直角三角形全等的判定定理可知，一个直角三角形可以由它的三条边和两个锐角这五个元素中的两
个(其中至少有一个是边)唯一确定，有了锐角三角函数知识，结合直角三角形中的两个锐角互余以及勾股
定理，就可由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形.解直角三角形时，常常需要
借助相应的直角三角形图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的
高是常用的辅助线），这个过程体现了数形结合的思想.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：直角三角形的依据和解法．
二、目标和目标解析
1.目标
1）理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.
2）能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：理解在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
sin A= = ，sin B= =
斜边 c 斜边 c
∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a
cos A= = ，cos B= =
斜边 c 斜边 c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
tan A= = ，tan B= =
邻边 b 邻边 a达成目标2）的标志是：根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素.
三、教学问题诊断分析
在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角
的关系，虽然通过三角函数的概念的学习，学生有一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件
选择恰当的三角函数关系式，还是有些困难，易混淆，也易出错另外，解直角三角形时往往需综合运用勾
股定理、三角函数等知识，具有一定的综合性.
基于以上分析，本节课的教学难点是：灵活运用简便方法解直角三角形.
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问】根据之前所学知识，回答下面问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则
1）三边之间的关系:a2+b2=_____；
2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____
3）边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来学习解直角三角形的相关知识打好基础．
（二）探究新知
【情景引入】如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线
引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根据以上条件可以求出塔身中心
线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形观察已知的边和要求的角之间的关系，分析得到通过求
∠A的正弦来求∠A 的度数，然后通过多媒体展示答案：
B5C.2
sAin 0.0954
A5B.54 利用计算器可得∠A≈5°28' .
【设计意图】通过将实际问题转化为数学问题求解，激发学生学习的兴趣.
师：在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢？
【问题一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC ?师生活动：教师呈现问题并引导学生结合直角三角形中30°角所对的边是斜边和一半和勾股定理相关
知识回答问题，然后通过多媒体展示答案：
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6
∴∠B=60°，BC=3
由勾股定理得AC= =3
❑√AB2−BC2 ❑√3
【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC ?
师生活动：教师提示本题中∠A不是一个特殊角，可以尝试借助计算器求锐角三角函数值的方法解决
本问题.学生通过计算，尝试回答问题，然后通过多媒体展示答案：
∵∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6 ∴∠B=67.5°
AC BC
∴在Rt△ABC中，cosA= , tanA= ,
AB AC
AC 6
则AB= = ≈6.52
cos22.5° 0.92
BC=AC•tan22.5°=6×0.41=2.46
【问题三】由此你发现了什么？
师生活动：先由学生尝试回答，再由教师引导与归纳，得出：在直角三角形中，已知一个锐角和任意
一条边长，可以求出另一个锐角和其它两条边长.
【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB ?
师生活动：学生通过计算给出答案，教师巡视，对于还有求解困难的学生，给出提示信息：根据已知
信息可知AB=5，所以SinA= / = 4/5,由此可以通过计算器求出∠A，进而求出∠B.
【问题五】由此你发现了𝐵什𝐶 么𝐴𝐵？
师生活动：先由学生尝试回答，再由教师引导与归纳，得出：在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出另一条边长和其它两个锐角的度数.
【问题六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通过已知条件求出AC,BC,AB吗?
师生活动：通过思考，学生回答：不能.
【问题七】由此你发现了什么？
师生活动：先由学生尝试回答，再由教师引导与归纳，得出：在直角三角形中，已知两个锐角度数，
无法求出三条边长.
从而得出：
一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角，只要知道其中的 2个元素
（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形.
接下来的环节，让学生根据所学知识，给出答案：
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
sin A= = ，sin B= =
斜边 c 斜边 c
∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a
cos A= = ，cosB= =
斜边 c 斜边 c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
tan A= = ，tanB= =
邻边 b 邻边 a
师：根据本节课所学知识回答下面问题.
解直角三角形常见类型及方法：师生活动：先由学生回答，教师通过多媒体给出答案.
【设计意图】通过探索过程，让学生理解与掌握解直角三角形的方法.
（三）典例分析与针对训练
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√2，BC=❑√6 ，解这个直角三角形.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三
角形 (结果保留小数点后一位).
【针对训练】
5
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，tanA= ．求AC、AB的
12
长．
2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C=90°，a=2❑√3，b=2，解这个直角三角形．
4
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA= ，求BD的
5
长．
2
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在边BC上，BD=2CD，且tan∠CAD= ．求
3cosB的值．
3
例3 如图，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB= ，求BC的长．
5
【针对训练】
1．如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到
原来的位置A处）所爬行的最短距离．
2.如图在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC边的长度．
（四）能力提升
1 3
1. 如图，在△ABC中，BC=2，tanB= ，点D是BC延长线上一点，tan∠ACD= ．
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1)求点A到BD的距离；2)求sinA的值．
（五）直击中考
1．（2023·重庆·中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，
AB=2❑√3，BC=3，则OC的长度是（ ）A．3 B．2❑√3 C．❑√13 D．6
2．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2❑√3，则
OC=（ ）
A．1 B．2 C．2❑√3 D．4
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（六）归纳小结
1. 通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 简述直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系？
3. 简述解直角三角形的解题思路？
（七）布置作业
P74：练习
P68：习题28.2 第1题、第6题
