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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题31 圆锥曲线大题综合 （新高考通用）
1．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知 为抛物线 的弦，
点 在抛物线的准线 上.当 过抛物线焦点 且长度为 时， 中点 到 轴的距
离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为直角，求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线弦长公式，以及中点到 轴的距离公式，计算出 即可；
（2）先设 ，直线 的方程： ，联立方程组，
由韦达定理可得 ，
又因为 为直角可得 ，化简求解可得 ，所以得出直线过定点 .
【详解】（1）设 ，则由题意得 ，
解得 ，
所以抛物线的方程为
（2）直线 过定点 ，证明如下：
设 ，直线 的方程： ，
将 代入 得 ，则 ，得 ，
由韦达定理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，
即 ，所以 ，
所以直线 过定点 .
2．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过
左焦点 的直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，可得 ， ，进而求解；
（2）设 方程为 ， ，联立直线和双曲线方程组，可得
，以 为直径的圆的方程为
，由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，进而得到 ，进而求解.
【详解】（1）当 轴时， 两点的横坐标均为 ，
代入双曲线方程，可得 ， ，即 ，
由题意，可得 ，解得 ， ， ，
双曲线 的方程为： ；
（2）方法一：设 方程为 ， ，
以 为直径的圆的方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，令 ，可得
，
而 ，
，对 恒成立， ，
以 为直径的圆经过定点 ；
方法二：设 方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点.
设以 为直径的圆过 ，
，
而
，
，
，即 对 恒成立，
，即以 为直径的圆经过定点 .
3．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，
直线PA与直线PB的斜率之积为 ，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F
两点，若 ，求证：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）设P点坐标为 ，由 可得结果；
（2）设 ，联立 ，得 和 ，再求出 的坐标，
根据 得 ，从而可得结果.
【详解】（1）设P点坐标为 ，则 ，即 ，
所以曲线C的方程为 .
（2）设 ，由 ，消去 并整理得
，
由 ，得 ,
所以 ．
， ，
因为 ，所以 ，即 ，
，
，
所以 ，
所以 对任意 都成立，，故直线l过定点 ．
4．（2023秋·浙江·高三期末）已知点 是双曲线 上一
点，B与A关于原点对称，F是右焦点， ．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点 ，与双曲线的右支交于点M，N，且直线
经过F，求圆C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程求出 ，即可求出双曲线的方程；
（2）讨论直线 的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线 的方程为
，联立双曲线的方程，由韦达定理求出 的中点Q的坐标以及 的坐标，
根据勾股定理有 ，代入解方程即可得出答案.
【详解】（1）由已知条件得：
双曲线方程为： ．
（2）若直线 的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．
设直线 的方程为 ，由 消元得：
∴ 的中点Q的坐标为 ．
设 ，直线 ，得 ，
又 ，
根据勾股定理有
∴ ．
化简得
解得 或 （舍）
∴ ，∴圆C的方程为 ．
5．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点F关于直线 的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x
轴交于点C，若 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由题意得 ，设F关于直线 的对称点为 ，根据
题意列出方程组，解之即可求解；
(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB的垂直
平分线方程为 ，进而得到 ，利用函数的
单调性即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，设F关于直线 的对称点为 ，则
，解得 ，
∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）由 可得 ，设 ， ，则， ，
∴
，
，∴线段AB的中点坐标为 ，则线段AB的垂直
平分线方程为 ，令 ，得 ，故 ，
又 ，得 ．
∴ ，令 ，
则 ， ，∴ ，
易知函数 在 上单调递增，∴当 时， 取得最小值，
此时 ，故 的最大值为 ．
6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 的右顶点为 ，
左焦点 到其渐近线 的距离为2，斜率为 的直线 交双曲线 于A，
B两点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于P，Q两点，直线 ， 分别与直线 相
交于 ， 两点，试问：以线段 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以线段 为直径的圆过定点 和 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解 ，进而联立直线与双曲线方程，
根据弦长公式即可求解 ，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在 轴上，
进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线 的左焦点 到双曲线 的一条渐近线 的距
离为 ，而 ，∴ ．
∴双曲线 的方程为 ．
依题意直线 的方程为 ．
由 消去y整理得： ，
依题意： ， ，点A，B的横坐标分别为 ，
则 ．
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
即 ，解得 或 （舍去），且 时， ，∴双曲线 的方程为 ．
（2）依题意直线 的斜率不等于0，设直线 的方程为 ．
由 消去 整理得： ，
∴ ， ．
设 ， ，则 ， ．
直线 的方程为 ，令 得： ，∴ ．
同理可得 ．由对称性可知，若以线段 为直径的圆过定点，则该定点一
定在 轴上，
设该定点为 ，则 ， ，
故
．
解得 或 ．
故以线段 为直径的圆过定点 和 ．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合
向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.7．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）定义：一般地，当 且
时，我们把方程 表示的椭圆 称为椭圆 的
相似椭圆.
(1)如图，已知 为 上的动点，延长 至点 ，
使得 的垂直平分线与 交于点 ，记点 的轨迹为曲线 ，求 的
方程；
(2)在条件（1）下，已知椭圆 是椭圆 的相似椭圆， 是椭圆 的左､右顶点.
点 是 上异于四个顶点的任意一点，当 （ 为曲线 的离心率）时，设直线
与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由图可知 是 的中位线，由此可得 长为定值，因为点 在
的垂直平分线上，所以 ，根据椭圆定义求解析式即可；
（2）假设出点 坐标，表示直线 与直线 的斜率，并找出两斜率关系，最后表
示出两直线方程，分别与椭圆C联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出 的
值.【详解】（1）连接 ，易知 且 ，
，又点 在 的垂直平分线上，
，
，满足椭圆定义，
，
曲线 的方程为 .
（2）由（1）知椭圆 方程为 ，
则离心率 ，
楄圆 的标准方程为 ，
设 为椭圆 异于四个顶点的任意一点，直线 斜率 ，
则 ，
又 ，
.
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .
直线 为 ，由 得 ，
设 ，则 ，
，
同理可得 ，
.
8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点 作圆 的两条切线，
设切点为 ，直线 恰为抛物 的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 上的动点，抛物线 上四点 满足： ，设
中点为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）0；（ii）48
【分析】（1）设直线 与 轴交于 ，由几何性质易得： ，
即可解决；（2）设 ，（i）中，由于 中点 在抛物线
上，得 ，将 ，代入联立得 点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点 ，
，又点 在圆 上，得 ，可得：
即可解决.
【详解】（1）设直线 与 轴交于 .
由几何性质易得： 与 相似，
所以 ，
，
即： ，解得： .
所以抛物线 的标准方程为： .
（2）设
（i）由题意， 中点 在抛物线 上，即 ，
又 ，将 代入，
得： ，
同理： ，
有 ，此时 点纵坐标为 ，
所以直线 的斜率为0.（ⅱ）因为 ，
所以点 ，
此时 ，
，
，
所以 ，
又因为点 在圆 上，有 ，即 ，代入上式可得：
，
由 ，
所以 时， 取到最大价 .
所以 的最大值为48.
9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，
为坐标原点， 为 的准线 上的一点，直线 的斜率为 的面积为1．
(1)求 的方程；
(2)过点 作一条直线 ，交 于 两点，试问在 上是否存在定点 ，使得直线
与 的斜率之和等于直线 斜率的平方？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据直线 的斜率为 ，得到 ，再
根据 的面积为 求出 ，即可得解；
（2）假设存在点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方．设直
线 的方程为 ， ， ， ，联立直线与抛物线方程，
消元列出韦达定理，又 ， ，化简 ，即可得到
方程，求出 的值，即可得解.
【详解】（1）解：由题意知 ，设点 的坐标为 ，
则直线 的斜率为 ．
因为直线 的斜率为 ，所以 ，即 ，
所以 的面积 ，
解得 或 （舍去），
故抛物线 的方程为 ．
（2）解：假设存在点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方．
由（1）得 ，抛物线 的准线 的方程为 ．
设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ， ．
因为 ，，
所以 ，解得 或 ．
故存在定点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方，其坐标为
或 ．
10．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，椭圆 的焦点分别为
为椭圆 上一点， 的面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上
方， 在下方，且均不与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且
，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到关于 的方程，即可得到结果；
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，
再由 列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1） ， ， ，故椭圆的方程为
；
（2）依题意设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，消元得： ，
，
，
由 得： ，两边同除 ，
，
即 ；将 代入上式得：
整理得： 所以 或 （舍），
当 时等号成立，满足条件，所以 面积的最大值为 .
11．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆 交于M，N两点，M在N的左侧．
(1)若 ，求l的斜率；
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即
可；
（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】（1）当直线l不存在斜率时，方程为 ，显然与圆也相切，不符合题意，
设直线l的斜率为 ，方程为 ，与椭圆方程联立，得
，
因为直线l与C相切，所以有 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以有 ；
（2） ，
由 ，
设 ，则有 ， ，
，
把 ， 代入上式，得
，而 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解
是解题的关键.
12．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ， ， 三个点在椭
圆 ，椭圆外一点 满足 ， ，（ 为坐标原点）.
(1)求 的值；
(2)证明：直线 与 斜率之积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，根据向量关系用 表示 ，代入椭圆方程即可
求解；
（2）用 表示 ，代入斜率公式即可求解.
【详解】（1）设 ，因为 ，所以 解得 ，
又因为 ，所以 解得，
因为点 在椭圆上，
所以 ，
即 .
（2）设直线 与 斜率分别为 ，
是定值.
13．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线 ，过焦点 的直
线交抛物线 于 ， 两点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 ，直线 ， 分别交准线 于 ， 两点，证明：以线段 为直径
的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物
线的定义，根据 建立方程求出 得解；
（2）由直线方程求出 的坐标，计算 ，设 是以线段 为直径的圆上任意一点，根据 化简 ，根据对称性令
可得解.
【详解】（1）设 ， ， ，
则联立 得 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以
由 得 ，
即
所以 ，化简得 ，又 ，
所以 ，所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ， ， ，
所以 ， ，易得 ， ，
由题意知 ， ，
所以令 得 ， ，
即 ， ，
所以设 是以线段 为直径的圆上得任意一点，则有 ，
即 ，
由对称性令 得 ，所以 或
所以以线段 为直径的圆经过定点，定点坐标为 与 .
【点睛】关键点点睛：求出 的点的坐标，计算出 为定值 ，是解题的关
键之一，其次写出以 为直径的圆的方程，根据圆的方程
，由对称性，令 求定点是解题的关键.
14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： 的焦距为
，且经过点 ．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点
A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解
得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出 ，进而讨论最值.【详解】（1）由题意得 ，所以 ，即椭圆方程为 ；
（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设
直线l： ，
由 ，得 ．
， ， .
不妨设 在x轴上方，则 在x轴下方．
椭圆在x轴上方对应方程为 ， ，
则A处切线斜率为 ，得切线方程为 ，整理得
.
同理可得B处的切线方程为 ．
由 得
，代入①得 ，所以 ．
因为 ，所以
设 ，则 ，则 ，
当且仅当 ，即 时， 的最大值是2．
另解：当直线l的斜率存在时，设l： ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
椭圆在x轴上方的部分方程为 ， ，
则过 的切线方程为 ，
即 ，
同理可得过 的切线方程为 .由 得
设 ，则 ，
所以直线l的方程为 ，所以 .
，
令 ，则 ，所以 ，
当 时，即 时， 取得最大值，为2．
【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达
定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.
15．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点 在椭圆
上， 的长轴长为 ，直线 与 交于 两点，
直线 的斜率之积为 .
(1)求证： 为定值；
(2)若直线 与 轴交于点 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据题意求出椭圆方程为 ，将椭圆，及相关直线、点进行平移，
将 看作方程 的两不等实根，进而可得 ，代入直线方程化简即可；
(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得 ，化简
，代入韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意知 椭圆方程为 .
将椭圆平移至 即 ，
此时 点平移至 分别平移至 ，
设直线 方程为 代入椭圆 ，
整理得 ，两边同除以
，
令 ，则 可看作关于 的一元二次方程，
的两不等实根，
，即 ，
直线 方程为 ，
的斜率为定值 ，即 的定值 .
（2）设 ，
，即 ，故 ，
，
16．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）已知抛物线 的焦点也是离心率为
的椭圆 的一个焦点F．
(1)求抛物线与椭圆的标准方程；
(2)设过F的直线 交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A
在C左侧．设 ， ， ．
①当 时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；
若不存在，说明理由；
②若存在直线 ，使得a，b，c成等差数列，求 的范围．
【答案】(1)抛物线的标准方程是 ，椭圆的标准方程为
(2)①不存在，理由见解析；②
【分析】（1）根据相同焦点得到 ，解得 ，得到答案.
（2）设l： 和各点坐标，联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系，计算
， ，根据等差数列的性质得到方程，方程无解得到答案；整理得到 ，解不等式即可.
【详解】（1）抛物线的焦点 ，椭圆的焦点 ，由于 ，即
，
则有 ，因此 ， ， ，
故椭圆的标准方程为 ，抛物线的标准方程是 ．
（2）①设l： ， ， ， ， ， ，
将直线与抛物线联立，则有 ， ，
，则 ，
于是 ，
将直线与椭圆联立，则有 ，
得到二次方程 ， ，则有 ，
则 ，
，
，假设存在直线l，使得a，b，c成等差数列，即
即有 ，
整理得到 ，方程无解，因此不存在l满足题设．
②只需使得方程 有解即可．
整理得到 ，故 ，
解得
【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线和椭圆的标准方程，等差数列性质，直线和抛
物线，椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，
利用韦达定理得到根与系数的关系，根据设而不求的思想，可以简化运算，是解题的
关键，需要熟练掌握.
17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知椭圆 的右焦点F
和抛物线 的焦点重合，且 和 的一个公共点是 ．
(1)求 和 的方程；
(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线 于P，Q，是否存在常数 ，使
为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，【分析】（1）先求出抛物线的方程，进而求出焦点，再根据椭圆的右焦点与其重合，
列出方程组求解即可；
（2）利用弦长公式分别表示出 ，然后代入 ，可求出使 为
定值的常数 .
【详解】（1）解：由题意知 ，
∴ ，抛物线焦点 ，
∴ 方程： ， 方程： ．
（2）解：方法一：假设存在这样的l，
设直线l的方程为： ， ， ，
， ．
，
∴ ．
设 ， ，
， ， ，∴ ，
∴ 为定值．
∴ ，∴存在常数 使 为定值 ．
方法二： 对比 前系数 ．
方法三：设l倾斜角为 ，
∴ ，
，
∴ 为定值，
∴ ， ，此时定值为 ．
18．（2023秋·江苏·高三统考期末）如图，已知椭圆 的左､右顶点分别为
，点 是椭圆上异于 的动点，过原点 平行于 的直线与椭圆交于点
的中点为点 ，直线 与椭圆交于点 ，点 在 轴的上方.
(1)当 时，求 ；
(2)求 的最大值.
【答案】(1)
(2)10【分析】（1）根据题意求出 ，根据 分析出点 满足的方程，
求出点 坐标，进而求出 ；
（2）利用弦长公式求出 和 ，再利用基本不等式求出最值.
【详解】（1）由题知 ,设 ，则 ，
则 .
因为 ，所以 在圆 上，
又 在椭圆 上，
所以 满足 ，所以 ，
，所以 或 （舍去），
又 在 轴上方，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ，
所以直线 与直线 关于 轴对称.
设直线 的倾斜角 ，
（2）当直线 斜率为 ，则直线 ，直线 ，
满足 ，所以 ，
所以 ，
同理 ，所以
所以 ，当且仅当 ，即 时取“ ”，
所以 的最大值为10.
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关
系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线 的右焦点为 ，F到
其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 于点M，
（i）求 的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： .
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见解析
【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和 ，即可求得本题答
案；
（2）（i）设AB直线方程为 ， ，得 ，直线方程
与双曲线方程联立消 ，然后由韦达定理得 ， ，把
逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把 和 的直线方程分别求出，
联立可得到点 的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为 ，又点 到它的距离
为2，
所以 ，又 ，得 ，
又因为 ，所以 ，
所以双曲线C的方程为 .
（2）（2）设AB直线方程为 ，则 ，
代入双曲线方程整理得： ，
设 ，则 ， ，
（i）
而
，
所以 ，，则 ，
所以 ；
（ii）过M平行于OA的直线方程为 ，
直线OB方程为 与 联立，
得 ，
即 ，
则 ，所以 ，
由 ， 两式相除得，
，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故P为线段MQ的中点，所以 .
【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了 如何用 表示出来，
进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力
20．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知椭圆
C： .
(1)设 是椭圆 上的一个动点，求 的取值范围；
(2)设与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点，试问：是否存在满足条件的直线
，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线 的方程，若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）设点 ，将 转化为坐标表示，求取值范围；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，设 中点为D，若 是以B为直角顶点
的等腰直角三角形，则 ， ，解出直线方程.【详解】（1）设点 ，则 ，
，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
所以 .
（2）设直线l： （ ）， ， ，
，消去y得， ，
由题， ，
， ，
， ，
若 是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，
，
所以 ，①
设 中点为D，则 ，因为 ，
所以 ，即 ，②
由①②，得 ， 或 ， ，满足 ，
所以存在直线l使得 是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
直线方程为 或 .21．（2023春·浙江·高三开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，
且经过点 ， 为椭圆C的左右焦点， 为平面内一个动点，其中
，记直线 与椭圆C在x轴上方的交点为 ，直线 与椭圆C在x轴
上方的交点为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①若 ，证明： ；
②若 ，探究 之间关系．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②
【分析】(1)根据椭圆的离心率和 即可求解；
(2)①根据两点求斜率公式和直线的点斜式方程表示出直线 ，得
.根据平面平行向量的坐标表示可得 ，
即可证明；
②设直线 方程，联立椭圆方程，消去x，得关于y的一元二次方程，化简整理方程
可得 .同理可得 ，对于 化简计算即可
求解.【详解】（1）由题意得： ，
因此，椭圆C的标准方程为 ；
（2）①由(1)知， ，
，
，
即 ，
又 ，
即 ，
，即 ；
②设 （令 ），
，消去x得： ，
， ，
， ，，
设 ，（令 ），
，消去x得： ，
， ，
， ，
，
．
22．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，椭圆 的左右焦点分别为
， ，点 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P， ， 的圆与y轴正
半轴交于点 ，经过点 且与x轴垂直的直线l与直线 交于点Q．
(1)求证： ．
(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线 ， 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点 ，可使得直线 与 的斜率之积为定值，该定值为 ．
【分析】（1）设 、圆的方程 ，代入 、 及
可解得 ，即可证；
（2）设 ，由A，P，Q三点共线 得 ，即可表示出 讨
论定值是否存在.
【详解】（1）由 可得 ，
设 ，则 ，
设圆的方程为 ，
代入 及 ，得 ，
两式相减，得 ，
所以圆的方程为 即 ，
令 ，得 ，
由 ，可得 ，即 ．
（2）设 ，由（1）知 ，由A，P，Q三点共线，得，解得 ，
则 ，
代入 ，得 ，
当且仅当 ，即 时， 为定值．
综上，存在点 ，可使得直线 与 的斜率之积为定值，该定值为 ．
【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置
和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过
程中消去变量，从而得到定值.
23．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的右
顶点为 ，直线 过点 ，当直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，点
到直线 的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且 轴上存在一点 ，使得
恒成立，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点到直线的距离可得 ，结合双曲线中 的关系即可求解
，（2）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，将 转化成斜率关系，即
可代入求解.
【详解】（1）因为双曲线 的右顶点为 ，所以 .
当直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，直线 平行于双曲线 的一条渐近线.
不妨设直线 的方程为 ，即 ，
所以点 到直线 的距离 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
故双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
则 且 .
因为 ，
所以 ，
所以
，
解得 .
当直线 恰好为 轴时， 也满足题意，
故
【点睛】直线与双曲线抛物线的位置关系和直线与椭圆、抛物线的位置关系类似，一
般要用到根与系数的关系；解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.
24．（2023·广东梅州·统考一模）已知动圆 经过定点 ，且与圆 ：
内切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹 与 轴从左到右的交点为点 ，点 为轨迹 上异于 的动点，设
交直线 于点 ，连结 交轨迹 于点 .直线 ､ 的斜率分别为 ､ .
（i）求证： 为定值；
（ii）证明直线 经过 轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点
【分析】（1）根据定点 和圆心 的位置关系，利用两圆内切即可得出半径之和等
于圆心距，再根据椭圆定义即可求得轨迹 的方程；（2）（i）易知 即为椭圆的
左右顶点，设出点 坐标，利用共线时斜率相等即可得出 的表达式，化简即
可得出 ；（ii）根据（i）中的结论，写出直线 的方程，将表达式化简
即可得出直线 经过定点 .
【详解】（1）设动圆的半径为 ，由题意得圆 的圆心为 ，半径 ；
所以 ， ，
则 .所以动点 的轨迹 是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆.
因此轨迹 方程为 .
（2）（i）设 ， ， .
由题可知 ， ，如下图所示：
则 ， ，
而 ，于是 ，
所以 ，
又 ，则 ，
因此 为定值.
（ii）设直线 的方程为 ， ， .
由 ，得 ，
所以 .由（i）可知， ，即 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
因此直线 经过定点 .
【点睛】方法点睛：解决定值或定点问题时，经常会用到设而不求的方法，即首先设
出点坐标或直线方程，再根据题目条件寻找等量关系即可实现整体代换求得定值或定
点.
25．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E：
与直线l： 相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得
A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，其中 或
(2)存在，
【分析】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，
消去y，得 ，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，
得 且 ，即 且 ，由韦达定理，得 ，
则 ， ，联立消去k，得 ，再根据 的范围得出
的范围，即可得出答案；
（2）设 ， ，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出 ， ，则 ，即线段AB的中点M也是线段CD
的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ，结合弦长公式列式得
，即可化简代入得出 ，即可解出答案.
【详解】（1）设 ， ， ，
联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
消去y，得 ．
由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ．
所以 ， ．
由 消去k，得 ．
由 且 ，得 或 ．
所以，点M的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 ．
设 ， ，联立 得 ，同理可得 ，
因为 ，
所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ．即 ， ．
而 ，
．
所以， ，解得 ，
所以 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
26．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ，斜率为 的直线l与双曲线C交于 两点，点 在双
曲线C上，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 （O为坐标原点），点 ，记直线 的斜率分别为 ，
问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2) 为定值 .·
【分析】（1）设 ，根据两点间长度得出 与 ，即可根据已知
列式解出 ，即可得出答案；
（2）根据第一问得出双曲线的方程，设 ，直线l的方程为
，根据韦达定理得出 ，即可根据直线方程得出 与 ，则根基两点斜率公式得出 ，化简代入即可得出答案.
【详解】（1）依题意可知， ，
则 ，
，
又 ，所以 ，
解得 （ 舍去），
又 ，所以 ，
则 ，
所以 的面积 .
（2）由（1）可 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ，
设 ，则 ，则 ， ，
设直线l的方程为 ，与双曲线C的方程联立，消去y得：
，
由 ，得 ，
由一元二次方程根与系数的关系得 ，
所以 ，
，则 ，
故 为定值 .·
27．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知椭圆E： 过
， 两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知 ，过 的直线l与E交于M，N两点，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程；
（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP平
分 ，可得结论.
【详解】（1）由题知，椭圆E过 ， ，
所以 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为 ．
（2）证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为 ，所以 ， 或
， ．所以 ．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
，
所以 ， ，所以
，
所以QP平分 ，因为 ， ，
所以 ，即 ．
28．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线 的焦距为10，且经
过点 ．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线 上的动点，连接PA，
PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线CD过定点，定点坐标为 ．【分析】（1）方法一：将 代入方程，结合 求得 得双曲线方程；
方法二：根据双曲线定义求得 得双曲线方程.
（2）方法一：设CD的方程为 ，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，
求出 ，由B点与D点写出BD方程，求出 ，利用两个 相等建立关系式，代入韦
达定理可求得 为定值.
方法二：设CD的方程为 ，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方
程，由P点与B点写出BD方程，将 代入以上两方程，两式相比消
去 建立关系式，代入韦达定理可求得 为定值.
【详解】（1）法一．由 解得 ，∴双曲线E的标准方程为
．
法二．左右焦点为 ， ，
，
∴双曲线E的标准方程为 ．
（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为 ，
联立 消去x得 ，
， ， ，
AC的方程为 ，令 ，得 ，BD的方程为 ，令 ，得 ，
，
解得 或 ，即 或 （舍去）或 （舍去），
∴CD的方程为 ，∴直线CD过定点，定点坐标为 ．
方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为 ，
联立 ，消去x得 ，
，
AC的方程为 ，BD的方程为 ，
分别在AC和BD上， ，
两式相除消去n得 ，
又 ， ．
将 代入上式，得
．
整理得 ，解得 或 （舍去）．
∴CD的方程为 ，∴直线CD过定点，定点坐标为 ．
【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程 ，通过韦达定理
和已知条件若能求出 为定值可得直线恒过定点，若得到 和 的一次函数关系式，
代入直线方程即可得到直线恒过定点.
29．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆C： 的上顶点为B，O为坐
标原点， 为椭圆C的长轴上的一点，若 ，且 OPB的面积为 ．
△
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两
点，直线AM，AN的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线MN过定
点，并求出该定点坐标，求出 AMN面积的最大值．
△
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为 ， AMN面积的最大值为
△
【分析】（1）根据题意得到 与 ，从而求得 ，由此得解；
（2）结合题意设直线MN的方程为 ，联立椭圆C的方程得到 ，进而得到 ，结合 即可得到关于 的方程，从而证得直线MN过
定点 ，再利用 ，结合对勾函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由已知 ，得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
解方程组 ，得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由题意可知，直线MN的斜率不为0，设 ，直线MN的方程为
，
联立 ，消去 ，得 ，
所以 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
因为当 时，直线 的方程为 ，则直线 经过 ，不符合题
意，
所以 ，满足 ，此时直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ，
记直线 与 轴的交点为 ，则 点坐标为 ，当 时， ，
，
令 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， AMN面积取得最大值 .
△
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用
韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.
30．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为
.且经过点 是椭圆 上的两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 的斜率之积为 （ 为坐标原点），点 为射线 上一点，且
，若线段 与椭圆 交于点 ，设 .
（i）求 值；
（ii）求四边形 的面积.
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii） .【分析】（1）由离心率为 及过点 可得椭圆方程；
（2）（i）设 ，由题目条件可得 ，
，后利用点E在椭圆上，可得答案；
（ii）由（i）可得四边形 面积为 .当直线PQ斜率为0时，易得
；
当直线斜率不为0时，将直线PQ方程与椭圆方程联立后，利用韦达定理，结合
，可得 ，后可得 .
【详解】（1）依题意有 ，解得 ，
故椭圆C方程为 .
（2）（i）设 ，因 ，则 .
因P，Q均在椭圆上，则 .
又 ，则 .
因 ，则 ，可得 .
又 在椭圆上，则 .
；
（ii）由（i），可知 ，则四边形 面积为 .
当直线PQ斜率为0时，易知 ，又 ，则 .
根据对称性不妨取 ， ，由 得 ，则
，得此时 ；
当直线斜率不为0时，设 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立有：
，消去x得： .
由题，其判别式大于0，则由韦达定理，有 .
.
.
又原点到直线PQ距离为 ，则此时 .
综上可得四边形 面积为 .【点睛】关键点点睛：本题涉及椭圆中的向量比例问题及椭圆中的面积问题，难度较
大.
对于向量比例问题，本题利用点E在椭圆上，构建了关于 的方程；
对于面积问题，本题由题目条件，将求四边形面积转化为了求相关三角形的面积，但
需注意所涉直线的特殊性.
