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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题32 导数大题综合 （新高考通用）
1．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知 ，
．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求a的值．
2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对 恒成立，求k的取值范围；
(3)求证：对 ，不等式 恒成立.
3．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求实
数 的值；
(2)证明：若 ，则 .
4．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）已知函数 .
(1)若 ，求证： .
(2)讨论函数 的极值；
(3)已知 ，证明
5．（2023秋·浙江·高三期末）已知函数 ．(1)证明：函数 在区间 上有2个零点；
(2)若函数 有两个极值点： ，且 ．求证：
（其中 为自然对数的底数）.
6．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知函数 ，其中a为
实数．
(1)若 在区间 上单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ，试判断关于x的方程 在区间 上解的个数，并给出证
明．（参考数据： ）
7．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 ．
(1)若 时， ，求实数a的取值范围；
(2)讨论 的零点个数．
8．（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）已知 ，函数 ，
．
(1)讨论 的单调性；
(2)过原点分别作曲线 和 的切线 和 ，试问：是否存在 ，使得
切线 和 的斜率互为倒数？请说明理由；
(3)若 时， 恒成立，求a的取值范围．
9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 (a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝1，证明：曲线y＝f(x)与直线y＝x＋1恰有两个公共点，且这两个公共点关于点(0，1)对称．
10．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
11．（2023·广东梅州·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，讨论函数 的零点个数.
12．（2023·广东茂名·统考一模）若函数 有两个零点
，且 .
(1)求a的取值范围；
(2)若 在 和 处的切线交于点 ，求证： .
13．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 ， ．
(1)对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设方程 在区间 内的根从小到大依次为 ， ，
…， ，…，求证： ．
14．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数 ，
.
(1)已知 ，若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，求证： .
15．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知.
(1)判断函数 的单调性；
(2)若 是函数 的两个极值点，且 ，求证：
.
16．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时， 恒成立，求 的最小值；
(2)若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明：
.
17．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，对 ，方程 只有唯一实数根，求 的取值范围.
18．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，讨论函数 的零点个数.
19．（2023·福建泉州·统考三模）已知 有两个极值点 、
，且 ．
(1)求 的范围；
(2)当 时，证明： ．
20．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)证明：函数 存在两个极值点 ，且有 ；
(2)试比较函数 的极大值与极小值之和与3的大小，并说明理由.
21．（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数 ， .
(1)若函数 图象恰与函数 图象相切，求实数 的值；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，设点 ，
，证明： 、 两点连线的斜率 .
22．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数 ，
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有三个零点 ， ， ，求证： .
23．（2023·江苏泰州·统考一模）已知函数 和 有相同的最大
值.
(1)求实数 ；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为
，证明： .
24．（2022秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围.
(2)求证： .25．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知函数 .
(1)当 时， ，求 的取值范围；
(2)函数 有两个不同的极值点 （其中 ），证明：
；
(3)求证： .
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 ，函数 ， .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)设 较小的零点为 ，证明： .
27．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 有3个零点 ， ， ，其中 ．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
28．（2023·福建福州·统考二模）已知函数 ．
(1)若 ，试判断 的单调性，并证明你的结论；
(2)若 恒成立．
①求 的取值范围：
②设 ， 表示不超过 的最大整数．求 ．（参
考数据： ）
29．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若 时，求 的最值；(2)若函数 ，且 为 的两个极值点，证明：
30．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且 ，
求实数a的取值范围．
