文档内容
7.1 相交线【9 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 邻补角的概念与性质】..............................................................................................................................1
【考点2 对顶角的概念与性质】..............................................................................................................................2
【考点3 邻补角与对顶角性质综合运用】.............................................................................................................3
【考点4 垂直的定义】..............................................................................................................................................5
【考点5 垂线的画法及性质】..................................................................................................................................6
【考点6 垂线段最短】..............................................................................................................................................8
【考点7 点到直线的距离】......................................................................................................................................9
【考点8 三线八角】................................................................................................................................................10
【考点9 角度计算综合】........................................................................................................................................12
【考点1 邻补角的概念与性质】
【知识梳理】
1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
3.性质：邻补角互补.
【必刷题】
1．（2024春•凤山县期末）下面各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024春•金山区期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列选项中与∠AOC互为邻
补角的是（ ）A．∠BOC B．∠BOD C．∠COE D．∠BOE
3．（2024春•宁津县校级月考）如果∠AOB和∠BOC互为邻补角，并且∠AOB比∠BOC大18°，那么
∠AOB的度数是 .
1
4．（2024春•长汀县期末）如果一个角是它的邻补角的 ，那么这个角的度数为 ．
3
5．（2024春•旌阳区校级月考）如图，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，在∠BOC内
1
部，并且∠BOE= ∠COE，∠DOE＝70°，则∠COE的度数是 ．
2
【考点2 对顶角的概念与性质】
【知识梳理】
1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
2.性质：对顶角相等.
【必刷题】
6．（2024秋•南岗区校级期中）下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋•青山湖区校级期末）如图，图中的对顶角共有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
8．（2024春•大余县期末）已知∠1和∠2是对顶角，且∠1+∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．50° B．30° C．40° D．25°
9．（2024春•广阳区期末）如图所示，直线AB与CD相交形成了∠1、∠2、∠3、∠4，若要确定这4个
角的度数，至少要测量其中的（ ）
A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角
【考点3 邻补角与对顶角性质综合运用】
【必刷题】
10．（2024秋•二道区期末）将两根长方形木条a、b按如图所示放置，固定木条a，转动木条b，若∠1减
小5°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小5° B．∠3增大5°
C．∠4增大5° D．∠2和∠4的和不变
11．（2023秋•纳溪区期末）如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使∠1＝∠2，
∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，则∠FOC是（ ）A．28° B．60° C．65° D．56°
12．（2024春•雨花区校级月考）下列说法中正确的有 ．
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补
角．
④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．
⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．
13．（2024春•牧野区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）直接写出图中∠AOD的对顶角的为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若OE平分∠BOD，∠DOE：∠AOD＝1：4．求∠EOC的度数．
14．（2024春•洛龙区期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：
∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝72°，求∠BOE．
（2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF．
15．（2024春•肥城市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个
角，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）求∠AON的度数．（2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由．
【考点4 垂直的定义】
【知识梳理】
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直
线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【必刷题】
16．（2024春•南沙区期末）如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的
是（ ）
A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180°
17．（2023秋•翠屏区期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝
28°，则∠BOD的大小为（ ）A．27° B．34° C．45° D．62°
18．（2024秋•南岗区校级期中）在直线 AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当
∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是 ．
19．（2024秋•南岗区校级期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍
少30度，则∠1的度数为 °．
20．（2024秋•泉山区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系；
（2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数．
21．（2024春•白河县期末）如图，已知直线 AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分
∠AOC．
（1）若∠AOF＝64°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOF：∠COE＝3：2，求∠EOF的度数．
【考点5 垂线的画法及性质】
【知识梳理】
1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【必刷题】
22．（2024春•旌阳区校级月考）下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是（ ）A． B．
C． D．
23．（2024春•长安区期末）过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（
）
A． B．
C． D．
24．（2024春•邹平市期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
25．（2024春•沙河口区期末）如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（ ）
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线AB外
26．（2024春•芙蓉区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．过线段外一点不一定能作出它的垂线B．过直线m外一点A和直线m上一点B可画一条直线与m垂直
C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D．过任意一点均可作一条直线的垂线
【考点6 垂线段最短】
【知识梳理】
1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.
2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【必刷题】
27．（2024春•高阳县期末）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，
连接PC，PC的长不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
28．（2023秋•颍州区校级期末）若点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA
＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3．那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
29．（2024春•香洲区期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向
A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A． B．C． D．
30．（2023春•埇桥区期中）如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一
个水厂，
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．
（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道
的位置，并说明理由．
【考点7 点到直线的距离】
【知识梳理】
1.定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【必刷题】
31．（2023秋•松北区期末）在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024春•北辰区期中）如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是
B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：
①线段PB的长是点P到直线a的距离；
②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
③线段AC的长是点A到直线PC的距离；④线段PC是点C到直线PA的距离．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
33．（2024春•克州期末）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距
离，则d的取值范围为（ ）
A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤3
34．（2024春•吉林月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距离是 cm；
（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
（3）AC CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 ．
【考点8 三线八角】
【知识梳理】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）
的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【必刷题】
35．（2024秋•香坊区校级月考）如图，按各组角的位置，说法正确的是（ ）A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角
36．（2024秋•明水县校级月考）如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；
③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
37．（2024春•东阿县校级月考）如图所示的八个角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内
角有 对．
38．（2023春•蒲城县期中）如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若
1
∠COM＝120°，∠EMB= ∠COF．
2
（1）求∠FOG的度数；
（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；
（3）求∠AMO的度数．39．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线l ，l 被第三条直线l 所截的同旁内角∠ ，∠ 满足
1 2 3
∠ ＝∠ +30°，则称∠ 是∠ 的关联角． α β
（β1）已知α ∠ 是∠ 的关β 联角α．
①当∠ ＝50β°时，α∠ ＝ °；
②当2∠α ﹣∠ ＝45°β时，直线l ，l 的位置关系为 ；
1 2
（2）如图α2，已β知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角
时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为 ．
【考点9 角度计算综合】
40．（2024春•和平区校级期末）在图1中，已知∠1和∠1内一点P，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分
别和∠1的两边垂直．
（1）按要求将图1补充完整，则∠1与∠P之间的数量关系是 ．
（2）若点P在∠1的外部，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．请分别在图2和
图3中画出符合要求的图形，（1）中的结论还成立吗？请给出证明．（3）由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个
角 ．
（4）应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数
分别是 ．
41．（2024春•安庆期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，（∠BOD为锐角），点E在直线AB上
方，∠EOB＝90°，OF平分∠BOD．
（1）如图1，若∠BOF＝40°，求∠COE的度数；
1
（2）如图2，直接写出：∠DOF+ ∠COE= °；
2
2
（3）若∠COE：∠EOF＝4：25，过点O作射线OG，使∠GOF= ∠AOD，求∠BOG的度数．
5
42．（2024春•南皮县月考）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．
（1）如图1，OP为∠AOD内的一条射线，当∠1与∠2满足什么条件时，OP⊥CD，请说明理由；
1
（2）如图2，若∠AOC= ∠BOC，求∠COE的度数；
2
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，
请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角．
43．（2024春•南皮县月考）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向
以每秒3°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒5°的速度转动，直线MN保持不动，如
图2．设转动时间为t s．（0≤t≤60，单位：秒）（1）当t＝8时，∠AOB＝ °；
（2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不
存在，请说明理由．
44．（2024春•垦利区期末）【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
（1）如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝ 度；
（2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板 BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板
BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；（∠ABE＜180°）
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三
角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE
的度数．（∠ABE＜180°）
