文档内容
7.1 相交线【9 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 邻补角的概念与性质】..............................................................................................................................1
【考点2 对顶角的概念与性质】..............................................................................................................................4
【考点3 邻补角与对顶角性质综合运用】.............................................................................................................5
【考点4 垂直的定义】..............................................................................................................................................9
【考点5 垂线的画法及性质】................................................................................................................................14
【考点6 垂线段最短】............................................................................................................................................16
【考点7 点到直线的距离】....................................................................................................................................18
【考点8 三线八角】................................................................................................................................................21
【考点9 角度计算综合】........................................................................................................................................26
【考点1 邻补角的概念与性质】
【知识梳理】
1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
3.性质：邻补角互补.
【必刷题】
1．（2024春•凤山县期末）下面各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据邻补角的定义进行解答即可．
【解答】解：A．有一条公共边，另一边不是互为反向延长线的两个角，故A错误；
B．是对顶角而不是邻补角；
C．不是有一条公共边的两个角，故C错误；D．符合题意，故D正确．
故选：D．
2．（2024春•金山区期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列选项中与∠AOC互为邻
补角的是（ ）
A．∠BOC B．∠BOD C．∠COE D．∠BOE
【分析】根据有一条公共边，另一条边互为反向延长线的角是邻补角，可得答案．
【解答】解：与∠AOC互为邻补角的是∠AOD，∠BOC．
故选：A．
3．（2024春•宁津县校级月考）如果∠AOB和∠BOC互为邻补角，并且∠AOB比∠BOC大18°，那么
∠AOB的度数是 .
【分析】根据已知可设∠BOC＝x°，则∠AOB＝（x+18）°，然后根据邻补角的定义可得∠AOB+∠BOC
＝180°，从而可得x+x+18＝180，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOB比∠BOC大18°，
∴设∠BOC＝x°，则∠AOB＝∠BOC+18°＝（x+18）°，
∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∴x+x+18＝180，
解得：x＝81，
∴∠AOB＝（x+18）°＝99°，
故答案为：99°．
1
4．（2024春•长汀县期末）如果一个角是它的邻补角的 ，那么这个角的度数为 ．
3
1
【分析】设这个角为 ，由题意得列出 = (180°−α)，求解即可．
3
α α
【解答】解：设这个角为 ，
1 α
由题意得， = (180°−α)，
3
α
解得 ＝45°，
α故答案为：45°．
5．（2024春•旌阳区校级月考）如图，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，在∠BOC内
1
部，并且∠BOE= ∠COE，∠DOE＝70°，则∠COE的度数是 ．
2
【分析】设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过
渡的作用．设∠EOB＝x，∠EOC＝2x，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问
题是一种常用的方法．
1
【解答】解：∵∠BOE= ∠COE，
2
∴设∠EOB＝x，则∠EOC＝2x，
∵OD平分∠AOB，
1
∴∠BOD= ∠AOB，
2
1
则∠BOD= (180°−3x)，
2
则∠BOE+∠BOD＝∠DOE，
1
即x+ (180°−3x)=70°，
2
解得x＝40°，
故∠EOC＝2x＝80°．
故答案为：80°．
【考点2 对顶角的概念与性质】
【知识梳理】
1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
2.性质：对顶角相等.
【必刷题】
6．（2024秋•南岗区校级期中）下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的概念即可得出答案．
【解答】解：∠1与∠2是对顶角的是 ，
故选：C．
7．（2023秋•青山湖区校级期末）如图，图中的对顶角共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【分析】利用对顶角定义可得答案．
【解答】解：图中的对顶角共有 4对，有∠FHG和∠BHC，∠FHB和∠GHC，∠HCB和∠ECD，
∠BCE和∠DCH，
故选：A．
8．（2024春•大余县期末）已知∠1和∠2是对顶角，且∠1+∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．50° B．30° C．40° D．25°
【分析】因为∠1和∠2是对顶角，所以∠1＝∠2，因为∠1+∠2＝50°，可得∠1的度数．
【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝50°，
∴∠1＝∠2＝25°，
故选：D．
9．（2024春•广阳区期末）如图所示，直线AB与CD相交形成了∠1、∠2、∠3、∠4，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（ ）
A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角
【分析】根据对顶角及邻补角的定义解答即可．
【解答】解：根据题意可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，
∴要确定这四个角的度数，至少要测量其中的1个角即可，
故选：A．
【考点3 邻补角与对顶角性质综合运用】
【必刷题】
10．（2024秋•二道区期末）将两根长方形木条a、b按如图所示放置，固定木条a，转动木条b，若∠1减
小5°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小5° B．∠3增大5°
C．∠4增大5° D．∠2和∠4的和不变
【分析】根据对顶角和邻补角的定义解答即可．
【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，当∠1减小5°时，∠2增加5°，故选项错误，不符合题意；
B、∠1和∠3是对顶角，当∠1减小5°时，∠3也减小5°，故选项错误，不符合题意；
C、∠1和∠4是邻补角，当∠1减小5°时，∠4增加5°，故选项正确，符合题意；
D、∠4和∠2都与∠1是邻补角，当∠1减小5°时，∠2和∠4都增加5°，∠2与∠4的和增大10°，故选
项错误，不符合题意；
故选：C．
11．（2023秋•纳溪区期末）如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使∠1＝∠2，
∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，则∠FOC是（ ）A．28° B．60° C．65° D．56°
【分析】求出∠FOC＝∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠AOG＝∠FOE，
∴∠1+∠FOE＝∠2+∠AOG，
∴∠FOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝56°，
∴∠FOC＝56°．
故选：D．
12．（2024春•雨花区校级月考）下列说法中正确的有 ．
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补
角．
④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．
⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．
【分析】根据对顶角，邻补角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①相等的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故①错误；
②有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故②错误；
③有一条公共边的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故③错误．
④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角，故④正确；
⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故⑤错
误．
故答案为：④．
13．（2024春•牧野区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）直接写出图中∠AOD的对顶角的为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若OE平分∠BOD，∠DOE：∠AOD＝1：4．求∠EOC的度数．【分析】（1）根据对顶角的定义（如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角
有公共顶点，那么这两个角是对顶角），以及邻补角的定义（两个角有一条公共边，它们的另一边互为
反向延长线，具有这种关系的两个角），分别进行作答；
（2）因为∠DOE：∠AOD＝1：4，所以设∠AOD＝4x，结合角平分线的定义，得出∠BOE＝∠DOE＝
x，列式x+x+4x＝180°，计算得出∠BOE＝30°，∠AOD＝120°，即可作答．
【解答】解：（1）依题意，∠AOD的对顶角的为∠BOC，∠BOE的邻补角为∠AOE；
故答案为：∠BOC，∠ADE；
（2）设∠DOE＝x，
则∠AOD＝4x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝x，
∴x+x+4x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠BOE＝30°，∠AOD＝4x＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
∴∠EOC＝∠BOE+∠BOC＝150°．
14．（2024春•洛龙区期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：
∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝72°，求∠BOE．
（2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF．
【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠AOC的度数，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，根据
邻补角，可得答案；（2）根据角平分线的定义，可得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°，根据邻补角的关系，可得关于
∠AOE的方程，求出∠AOE的度数，可得答案．
【解答】解：（1）由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°，
3
由OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，得∠AOE＝∠AOC× =27°，
8
由邻补角，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣27°＝153°；
（2）由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°．
由邻补角，得∠BOE+∠AOE＝180°，即4∠AOE+30°+∠AOE＝180°，
解得∠AOE＝30°．
∴∠EOC＝50°，∠EOF＝∠BOF＝75°，
∴∠COF＝75°﹣50°＝25°．
15．（2024春•肥城市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个
角，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）求∠AON的度数．
（2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由．
【分析】（1）设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根据角的倍数关系可得答案；
（2）先计算∠BOM的度数，判断∠BOM、∠BOC是否相等，即可说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，
设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，
∴∠AOD＝5x，
∵∠BOC＝75°，
∴∠AOD＝5x＝75°，
∴x＝15°，
∴∠AON＝30°；
（2）OB是∠COM的平分线，理由如下：
∵∠AON＝30°，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，
∵OM平分∠BON，
∴∠BOM＝75°，
∴∠BOM＝∠BOC，
∴OB是∠COM的角平分线．
【考点4 垂直的定义】
【知识梳理】
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直
线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【必刷题】
16．（2024春•南沙区期末）如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的
是（ ）
A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180°
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂
直进行判定即可．
【解答】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选
项不符合题意；
C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意．
故选：C．
17．（2023秋•翠屏区期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝
28°，则∠BOD的大小为（ ）
A．27° B．34° C．45° D．62°
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝28°，求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOF
的度数，进而求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝62°，
∴∠AOC＝62°﹣28°＝34°，
∴∠BOD＝∠AOC＝34°．
故选：B．
18．（2024秋•南岗区校级期中）在直线 AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当
∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是 ．
【分析】根据题意，分OC、OD在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据 OC⊥OD，
∠AOC＝20°，计算∠BOD的度数即可．
【解答】解：在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣20°＝70°；
在直线AB异侧时，如图：∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣（90°﹣20°）＝110°，
故答案为：70°或110°．
19．（2024秋•南岗区校级期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍
少30度，则∠1的度数为 °．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方
程组即可解决问题．
【解答】解：如图1，
{ ∠1=∠2 )
根据题意得， ，
∠1=2∠2−30°
解得∠1＝∠2＝30°；
如图2，
{∠1+∠2=180°)
根据题意得， ，
∠1=2∠2−30°{∠1=110°)
解得 ，
∠2=70°
∴∠1的度数为30°或110°，
故答案为：110或30．
20．（2024秋•泉山区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系；
（2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到
∠2+∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD；
（2）根据垂直定义和条件可得∠1＝30°，∠BOC＝120°．
【解答】解：（1）ON⊥CD．
理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD．
（2）由（1）知∠1+∠AOC＝90°，
因为∠AOC＝2∠1，
所以∠1+2∠1＝90°，
解得∠1＝30°，
所以∠AOC＝60°，
所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°．
21．（2024春•白河县期末）如图，已知直线 AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分
∠AOC．（1）若∠AOF＝64°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOF：∠COE＝3：2，求∠EOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOC，∠AOF＝64°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝128°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝128°﹣90°＝38°；
（2）由于∠AOF：∠COE＝3：2，可设∠AOF＝3x，∠COE＝2x，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOF＝6x，
∴∠EOF＝∠AOC﹣∠AOF﹣∠COE＝6x﹣3x﹣2x＝x，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°＝∠AOF+∠EOF＝3x+x＝4x，
∴x＝22.5°＝∠EOF，
即∠EOF的度数为22.5°．
【考点5 垂线的画法及性质】
【知识梳理】
1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【必刷题】
22．（2024春•旌阳区校级月考）下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．
【解答】解：过点B作AC的垂线，则垂足在直线AC上，只有A选项符合题意，
故选：A．
23．（2024春•长安区期末）过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据垂线的性质，直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：过直线外一点向直线作垂线，则过点Q的垂线垂直于直线m，交点处所成角度为90°，
∴运用直角尺操作正确的是D选项．
故选：D．
24．（2024春•邹平市期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可．
【解答】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1．
故选：B．25．（2024春•沙河口区期末）如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（ ）
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线AB外
【分析】过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．
【解答】解：如图，
过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．
故选：B．
26．（2024春•芙蓉区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．过线段外一点不一定能作出它的垂线
B．过直线m外一点A和直线m上一点B可画一条直线与m垂直
C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D．过任意一点均可作一条直线的垂线
【分析】根据垂线的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、过线段外一点一定能作出它的垂线，原说法错误，不符合题意；
B、过直线m外一点A和直线m上一点B不一定能画一条直线与m垂直，原说法错误，不符合题意；
C、过任意一点都可以画一条直线和已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
D、过任意一点均可作一条直线的垂线，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【考点6 垂线段最短】
【知识梳理】
1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.
2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【必刷题】27．（2024春•高阳县期末）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，
连接PC，PC的长不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1 1
【分析】作CH⊥AB于H，由三角形面积公式得到△ABC的面积= AC•BC= AB•CH，而AC＝6，BC
2 2
＝8，AB＝10，即可求出CH＝4.8，又PC≥CH＝4.8，即可得到答案．
【解答】解：作CH⊥AB于H，
∵AC⊥BC，
1 1
∴△ABC的面积= AC•BC= AB•CH，
2 2
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴CH＝4.8，
∵PC≥CH＝4.8，
∴PC的长不可能4．
故选：A．
28．（2023秋•颍州区校级期末）若点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA
＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3．那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
【分析】利用垂线段最短的性质，得出点P到直线l的距离取值范围．
【解答】解：∵点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC
＝5，PD＝3，∴点P到直线l的距离是小于3．
故选：A．
29．（2024春•香洲区期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向
A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其
他各点的连线而言．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
30．（2023春•埇桥区期中）如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一
个水厂，
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．
（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道
的位置，并说明理由．
【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．
【解答】解：（1）
连接AC和BD，
线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．
（2）理由是：垂线段最短．
【考点7 点到直线的距离】
【知识梳理】
1.定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【必刷题】
31．（2023秋•松北区期末）在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．
【解答】解：图A、B、D中，线段PQ不与直线L垂直，故线段PQ的长度不能表示点P到直线L的距
离；
图C中，线段PQ与直线L垂直，垂足为点Q，故线段PQ的长度能表示点P到直线L的距离；
故选：C．
32．（2024春•北辰区期中）如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是
B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：
①线段PB的长是点P到直线a的距离；
②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；③线段AC的长是点A到直线PC的距离；
④线段PC是点C到直线PA的距离．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵PB⊥a，
∴线段PB的长是点P到直线a的距离，
故①正确；
根据垂线段最短得：PA，PB，PC三条线段中，PB最短，
故②正确；
∵AC与PC不垂直，
∴线段AC的长不是点A到直线PC的距离，
故③不正确；
∵PA⊥PC，
∴线段PC的长是点C到直线PA的距离，
故④不正确．
综上所述：正确的是①②，共2个．
故选：B．
33．（2024春•克州期末）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距
离，则d的取值范围为（ ）
A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤3
【分析】根据垂线段最短即可求出答案．
【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，
当d＝3时
此时PA⊥l
故选：C．
34．（2024春•吉林月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距离是 cm；
（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
（3）AC CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出CD的长即可；
（3）利用垂线段最短求解．
【解答】解：（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm．
故答案为4，3；
（2）如图，CD为所作；
1 1
∵S = BC⋅AC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
∴BC⋅AC＝AB⋅CD，
∴4×3＝5CD，
12
∴CD= cm；
5
（3）AC＞CD．
理由是垂线段最短；
故答案为：＞，垂线段最短．
【考点8 三线八角】
【知识梳理】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）
的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【必刷题】
35．（2024秋•香坊区校级月考）如图，按各组角的位置，说法正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线
的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形
成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内
角，据此求解即可．
【解答】解：A、∠1与∠4不是同旁内角，原说法错误，不符合题意；
B、原说法正确，符合题意；
C、两角不是同旁内角，原说法错误，不符合题意；
D、两角内错角，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
36．（2024秋•明水县校级月考）如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；
③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两
旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样
一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【解答】解：①②③中的判断正确，故①②③符合题意；
④、∠1与∠3不是同位角，故④不符合题意．
故选：A．
37．（2024春•东阿县校级月考）如图所示的八个角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内
角有 对．
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．
【解答】解：同位角：∠1与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6；
内错角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠4，∠4与∠8；
同旁内角：∠1与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5．
所以同位角有3对，内错角有4对，同旁内角有4对．
故答案为：3，4，4．
38．（2023春•蒲城县期中）如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若
1
∠COM＝120°，∠EMB= ∠COF．
2（1）求∠FOG的度数；
（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；
（3）求∠AMO的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得∠DOF的度数，再根据角平分线的定义可求∠FOG的度数；
（2）根据同位角的定义可求与∠FOG互为同位角的角；
（3）根据邻补角的性质可求∠COF，再根据已知条件和对顶角相等可求∠AMO的度数．
【解答】解：（1）∵∠COM＝120°，
∴∠DOF＝120°，
∵OG平分∠DOF，
∴∠FOG＝60°；
（2）与∠FOG互为同位角的角是∠BMF；
（3）∵∠COM＝120°，
∴∠COF＝60°，
1
∵∠EMB= ∠COF，
2
∴∠EMB＝30°，
∴∠AMO＝30°．
39．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线l ，l 被第三条直线l 所截的同旁内角∠ ，∠ 满足
1 2 3
∠ ＝∠ +30°，则称∠ 是∠ 的关联角． α β
（β1）已知α ∠ 是∠ 的关β 联角α．
①当∠ ＝50β°时，α∠ ＝ °；
②当2∠α ﹣∠ ＝45°β时，直线l ，l 的位置关系为 ；
1 2
（2）如图α2，已β知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角
时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为 ．【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式∠ ＝∠ +30°即可解答，
②解∠ ＝∠ +30°与2∠ ﹣∠ ＝45°构成的方程β 组，α根据∠ 和∠ 的关系来确定直线l ，l 的位置关
1 2
系． β α α β α β
（2）①由∠AGH与∠BGH、∠CHG与∠DHG的互补关系，求出∠DHG与∠BGH之间的大小关系，
进而命题得以证明．
②根据直线MN过点O的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与∠EOP互为同旁内角，因此共有4
种情况，分别解出∠EOP的度数即可．
【解答】解：（1）①∵∠ 是∠ 的关联角，∠ ＝50°，
∴∠ ＝∠ +30°＝50°+30°＝β80°．α α
故答β案为：α80．
{∠β=∠α+30°
)
{∠α=75°
)
②由题意可得方程组 ，解得 ，
2∠α−∠β=45° ∠β=105°
∴∠ +∠ ＝75°+105°＝180°，
∴l
1
∥αl
2
．β
故答案为：平行．
（2）①证明：∵∠AGH是∠CHG的关联角，
∴∠AGH＝∠CHG+30°，
又∵∠DHG＝180°﹣∠CHG，∠BGH＝180°﹣∠AGH，
∴∠DHG﹣∠BGH＝180°﹣∠CHG﹣（180°﹣∠AGH）＝∠AGH﹣∠CHG＝30°，
∴∠DHG＝∠BGH+30°，
∴∠DHG是∠BGH的关联角．
②当直线MN位于如图所示位置时：∵∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG＝80°，
∴∠AGH＝∠CHG+30°＝80°+30°＝110°．
若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP＝∠AGO+30°＝110°+30°＝140°．
若∠EOP 是∠CPO 的关联角，则∠EOP＝∠CPO+30°＝80°+180°﹣∠EOP+30°＝290°﹣∠EOP，得
∠EOP＝145°．
当直线MN位于如图所示位置时：
∵∠AGH＝110°，∠CHG＝80°，
∴∠BGH＝180°﹣∠AGH＝180°﹣110°＝70°，∠GHD＝180°﹣∠CHG＝180°﹣80°＝100°
若∠EOP是∠BGO的关联角，则∠EOP＝∠BGO+30°＝70°+30°＝100°．
∵∠EOP＝∠GHD+∠OPH＝100°+∠OPH＞100°，
∴∠EOP＝100°（舍去）．
若∠EOP是∠DPO的关联角，则∠EOP＝∠DPO+30°＝100°+180°﹣∠EOP+30°＝310°﹣∠EOP，得
∠EOP＝155°．
故答案为：140°、145°或155°．
【考点9 角度计算综合】
40．（2024春•和平区校级期末）在图1中，已知∠1和∠1内一点P，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分
别和∠1的两边垂直．（1）按要求将图1补充完整，则∠1与∠P之间的数量关系是 ．
（2）若点P在∠1的外部，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．请分别在图2和
图3中画出符合要求的图形，（1）中的结论还成立吗？请给出证明．
（3）由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个
角 ．
（4）应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数
分别是 ．
【分析】（1）根据题意补全图形，利用四边形内角和定理即可求解；
（2）根据题意补全图形，利用等角的余角相等即可求解；
（3）根据（1）（2）的结论可得答案；
（4）根据题意两角的和为180°，差为50°，列二元一次方程组求解即可．
【解答】解：（1）补充图形如图1，
∠1与∠P之间的数量关系是：∠1+∠P＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
即∠1与∠P互补；
故答案为：互补；
（2）补充图形如图1、2，（1）中的结论不成立，
如图3，∵∠CON＝∠POM，∠ONC＝90°，∠OMP＝90°，
∴∠1＝∠P（等角的余角相等）；
∴∠1与∠P的关系为∠1＝∠P；
（3）如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补；
故答案为：相等或互补；
（4）不妨设∠P＞∠1
根据题意得∠1+∠P＝180°，∠P﹣∠1＝50°，
解得∠P＝115°，∠1＝65°，
那么这两个角的度数分别是65°、115°，
故答案为：65°、115°．
41．（2024春•安庆期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，（∠BOD为锐角），点E在直线AB上
方，∠EOB＝90°，OF平分∠BOD．
（1）如图1，若∠BOF＝40°，求∠COE的度数；
1
（2）如图2，直接写出：∠DOF+ ∠COE= °；
2
2
（3）若∠COE：∠EOF＝4：25，过点O作射线OG，使∠GOF= ∠AOD，求∠BOG的度数．
5
【分析】（1）根据角平分线性质，可得∠DOF＝∠BOF＝40°，再由∠EOB＝90°，可得∠COE＝180°
﹣∠DOF﹣∠BOF﹣∠EOB，即可得出答案；
（2）由已知条件得∠EOB＝90°，∠BOD+∠COE＝180°﹣∠BOE＝90°，再由角平分线性质得
1 1 1
∠DOF= ∠BOD，即可得到∠DOF+ ∠COE= (∠BOD+∠COE)，计算即可得出答案；
2 2 2
（3）设∠FOD＝ ，由题意可得∠COE＝180°﹣∠FOD﹣∠BOF﹣∠EOB＝90°﹣2 ，∠EOF＝
∠EOB+∠BOF＝90α°+ ，再根据∠COE：∠EOF＝4：25，代入式子，即可解得 ＝35°，α即∠FOD＝
35°，再由角平分线性质α 可得∠BOD＝70°，由邻补角定义得∠AOD＝180°﹣∠BODα＝110°，再根据条件2
∠GOF= ∠AOD即可求出∠GOF的值，然后分OG在OF上方和下方这两种情况讨论即可得出答
5
案．
【解答】解：（1）∵OF平分∠BOD，∠BOF＝40°，
∴∠DOF＝∠BOF＝40°，
∵∠EOB＝90°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOF﹣∠BOF﹣∠EOB＝180°﹣40°﹣40°﹣90°＝10°；
（2）∵∠EOB＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°，
1
又∵∠DOF= ∠BOD，
2
1 1
∴∠DOF+ ∠COE= (∠BOD+∠COE)=45°．
2 2
故答案为：45；
（3）设∠FOD＝ ，
∵OF平分∠BODα，
∴∠BOF＝∠FOD＝ ，
又∵∠EOB＝90°， α
∴∠COE＝180°﹣∠FOD﹣∠BOF﹣∠EOB＝90°﹣2 ，
∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝90°+ ， α
又∵∠COE：∠EOF＝4：25，α
即（90°﹣2 ）：（90°+ ）＝4：25，
解得 ＝35°α， α
∴∠BαOD＝2∠BOF＝2 ＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOαD＝180°﹣70°＝110°，
2 2
∴∠GOF= ∠AOD= ×110°=44°，
5 5
当射线OG在OF下方时，∠BOG＝∠GOF+∠BOF＝44°+35°＝79°，
当射线OG在OF上方时，∠BOG＝∠GOF﹣∠BOF＝44°﹣35°＝9°，
综上，∠BOG的度数是79°或9°．
42．（2024春•南皮县月考）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．（1）如图1，OP为∠AOD内的一条射线，当∠1与∠2满足什么条件时，OP⊥CD，请说明理由；
1
（2）如图2，若∠AOC= ∠BOC，求∠COE的度数；
2
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，
请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角．
【分析】（1）直接根据等量代换即可证明．
（2）先根据平角的定义可得∠AOC＝60°，再利用垂直的定义可得∠AOE＝90°，从而得出结论．
（3）根据（2）中∠AOC＝60°，分别计算各角的度数，得其中∠EOF＝60°，根据各角的度数可得结
论．
【解答】解：（1）当∠1＝∠2时，OP⊥CD，理由如下：
∵OE⊥AB，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，
∴OP⊥CD；
1
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，且∠AOC= ∠BOC即∠BOC＝2∠AOC，
2
∴∠AOC+2∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣60°＝30°；
（3）由（2）知∠AOC＝60°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°，∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠EOF＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝180°﹣60°＝120°＝2∠EOF，
∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD、∠BOC、∠FON、∠EOM．
43．（2024春•南皮县月考）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向
以每秒3°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒5°的速度转动，直线MN保持不动，如
图2．设转动时间为t s．（0≤t≤60，单位：秒）
（1）当t＝8时，∠AOB＝ °；
（2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不
存在，请说明理由．
【分析】（1）根据旋转速度进行求解即可；
（2）根据∠AOB第二次达到60°时，列出方程，求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当0≤t≤22.5时，②当22.5＜t≤60时，分别求出结果即可．
【解答】解：（1）当t＝8时，∠AOB＝180°﹣（3°+5°）×8＝116°．
（2）依题意，得：3t+5t﹣180＝60，
解得t＝30，
答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值为30．
（3）存在．
因为当OA与OB重合时，3t+5t＝180，所以t＝22.5．
①当0≤t≤22.5时，180﹣3t﹣5t＝90，
45
解得t= ，
4
②当22.5＜t≤60时，3t+5t﹣180＝90或3t+5t﹣2×180＝90，
135 225
解得t= 或t= ．
4 4
45 135 225
答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为 、 或 ．
4 4 444．（2024春•垦利区期末）【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
（1）如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝ 度；
（2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板
BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；（∠ABE＜180°）
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三
角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE
的度数．（∠ABE＜180°）
【分析】（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°；
（2）画出图示，两种情况说明理由即可；
（3）分两种情况①ED在AB右侧存在两种②ED在AB左侧存在两种，逐项解答即可．
【解答】解：（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°，
故答案为：105：
（2）∠ABE＝15°或∠ABE＝165°，理由如下：
如图，∵BD⊥BC
∴∠CBD＝90°
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD
＝60°+45°﹣90°
＝15°；
如图，∵BD⊥BC
∴∠CBD＝90°
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°
∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）
＝360°﹣（60°+45°+90°）
＝165°．
（3）
当边BE在边AB右侧时如图3，设∠ABE＝x，则有2x＝x+60，解得x＝60°，或者x＝2（x﹣60）解得x
＝120°，
当边BE在边AB左侧时如图2，设∠ABE＝x，则有x+2x＝60°，解得x＝20°，或者x＝2（60﹣x），解
得x＝40°．
综上分析，∠ABE的度数为20°，40°，60°，120°．
