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7.7平行线中常见的作辅助线（九大类型提分练，重难点培优）
类型一、辅助线：连接两点
1．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，
且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断
∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即
可得到结论；
【详解】解：（1）如图，连接AB，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°
， ，
∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠MAB+∠SBA=180°，
∴MN//ST
（2）∠CAE=2∠CAN，
理由：作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，设∠CBT=α，则∠DAE=2α．
∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°-α，
∵AD//BC，∠DAC=180°-∠ACB=120°，
∴∠CAE=120°-∠DAE=120°-2α=2(60°-α)=2∠CAN．
即∠CAE=2∠CAN．
类型二、辅助线：延长线段
2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
【感知】如图①，若∠BAE=40°，∠ECD=50°，则∠AEC=__________°；
【探究】如图②，猜想∠BAE、∠ECD和∠AEC之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图③，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG），若∠AEC=80°，
FH平分∠DFG，则∠AHF=__________°．
【答案】【感知】90；【探究】∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明见解析；【应用】40．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解
题的关键学会利用几何模型解决问题，属于中考常考题型．
感知：过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠BAE=∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出
∠2=∠DCE，即可得出结论；
探究：延长点点CE交AB于点F，则可根据三角形的外角即可判定
1
应用：证明∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE)，再根据∠AEC=∠BAE+∠DCE，可得
2
结论．
【详解】证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠DCE，
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE，
∵∠BAE=40°，∠ECD=50°，
∴∠AEC=90°，
故答案为：90；
【探究】∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，延长点CE交AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠ECD=∠CFA，
∵在△AEF中，∠BAE+∠CFA=∠AEC，
∴∠BAE+∠ECD=∠AEC；
【应用】解：∵CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD，
∵AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，
1 1 1
∴∠BAH= ∠BAE，∠DFH= ∠DFG= ∠DCE，
2 2 2
1
∴∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE)，
2
∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=80°，
1
∴∠AHF= ×80°=40°．
2
故答案为：40．类型三、“猪蹄”型作平行线
3．（2021九年级·全国·专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：
∠BFE=∠FEC
1 1 3
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，求证：∠AFC= ∠AEC
4 4 4
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合∠ABF=∠DCE
可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出
∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵∠ABF=∠DCE
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴∠BFE=∠FEC；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），
3
∴∠AFC= ∠AEC．
4
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判
定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．
类型四、“子弹头”型作平行线
4．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）（1）如图①，AB∥DE，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数
量关系吗？请说明理由．
（2）如图①，在AB∥DE的条件下，∠B=135°，∠D=145°．求∠BCD的度数．
（3）如图②，AB∥EF，根据（1）中的结论进一步猜想，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【答案】（1）∠B+∠BCD+∠D=360°，理由见解析；（2）80°；（3）
∠B+∠C+∠D+∠E=540°
【分析】（1）过点C作直线CF，使CF∥AB，由平行线的性质即可得解；
（2）由（1）中结论直接计算即可；
（3）分别过C，D作CM∥AB，DN∥AB，则CM∥DN∥EF，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∠B+∠BCD+∠D=360°．理由如下：如图1，过点C作直线CF，使CF∥AB，
∴AB∥DE∥CF，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠FCB=180°，
∵DE∥CF，
∴∠D+∠FCD=180°，
∴∠ABC+∠FCB+∠EDC+∠FCD=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°；
（2）同（1）可得：∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠BCD=360°-∠B=∠D=80°；
（3）如图2，分别过C，D作CM∥AB，DN∥AB，则CM∥DN∥EF，
∴∠BCM+∠B=∠MCD+∠CDN=∠NDE+∠E=180°
，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠BCM+∠B+∠MCD+∠CDN+∠NDE+∠E=3×180°=540°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
类型五、“拐点”型图作平行线
5．（21-22七年级下·河南焦作·期末）（1）如图，AB ∥ CD，若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的
度数．
（2）如图，AB ∥ CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】（1）80°；（2）∠BEC=180°-∠B+∠C，理由见解析【分析】(1)首先过点E作EF//AB，由AB//CD，可得AB//EF//CD，利用平行线的性质，即可求
得∠CEF与∠BEF的度数，继而求得答案；
(2)利用平行线的性质，再根据角的和差求解即可．
【详解】解：(1)过点E作EF//AB，
∵AB//CD
，
∴AB∥EF∥CD
∴∠CEF=∠C=30°，∠BEF=180°-∠B=180°-130°=50°，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=80°；
(2)∠BEC=180°-∠B+∠C，理由如下：
如上图，
∵AB//CD，
∴AB∥EF∥CD
∴∠CEF=∠C，∠BEF=180°-∠B，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=180°-∠B+∠C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
类型六、“羊角”型图作平行线
6．（2023九年级·全国·专题练习）如图，AB∥DE，则∠BCD,∠B,∠D有何关系？为什么？
【答案】∠BCD=∠B-∠D．理由见解析
【分析】过点C作CF∥AB，证明∠B=∠BCF，再证明CF∥DE，推出∠DCF=∠D，进而可求出
∠BCD,∠B,∠D的关系．
【详解】∠BCD=∠B-∠D．理由如下：
如图，过点C作CF∥AB．∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠DCF=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∴∠B-∠D=∠BCF-∠DCF．
∵∠BCD=∠BCF-∠DCF，
∴∠BCD=∠B-∠D．
【点睛】本题考查平行线的性质与判断，解题的关键是明确已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折
点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．
类型七、“牛角”型图作平行线
7．（2023九年级·全国·专题练习）如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的
度数．
【答案】72°
【分析】如图所示，过点C作CF∥AB，则DE∥CF，根据平行线的性质求出∠DCF=42°，进而求出
∠BCF=72°，再由CF∥AB，即可得到∠ABC=∠BCF=72°．
【详解】解：如图所示，过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴DE∥CF．
∴∠DCF=180°-∠CDE=180°-138°=42°．
∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°．
又∵CF∥AB，
∴∠ABC=∠BCF=72°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
类型八、“多拐点”型图作平行线
8．（21-22七年级下·山东烟台·期中）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最
重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度
数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【答案】60°
【分析】方法1：延长AB交DE于点G，根据AB∥CD，即有∠BAF=∠AGD，∠CDE=∠AGD，进而有
∠CDE=∠BAF，则有∠BAF=60°；方法2：过点B做BM∥AF，过点C做CN∥DE，依据两直线平行
内错角相等即可求解．
【详解】解：方法1：延长AB交DE于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AGD，∠CDE=∠AGD，
∴∠CDE=∠BAF，
∴∠CDE=60°，
∴∠BAF=60°，
方法2：
过点B做BM∥AF，过点C做CN∥DE，∵AF∥DE，
∴AF∥BM∥CN∥DE，
∴∠BAF=∠ABM，∠MBC=∠BCN，∠CDE=∠DCN，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠ABC-∠MBC=∠BCD-∠BCN，
∵∠ABM=∠DCN，
∴∠BAF=∠CDE，
∴∠CDE=60°，
∴∠BAF=60°，
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行内错角相等、同位角相等，熟练运用平行的性质是解答本
题的关键．
类型九、“复合拐点”型图作平行线
9．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
(1)如图1，若∠E=100°，求∠BFD的度数；
(2)如图2，若BM，DM分别平分∠ABF与∠CDF，写出∠M与∠BED之间的数量关系，并说明理由；
(3)若∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，设∠E=m，直接写出用含m，n的代数式表示∠M=
________．
【答案】(1)130°
(2)∠E+4∠M=360°，见解析
360°-m
(3)
2n
【分析】（1）先证CD∥EN，得∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，再根据角平分线的定义得1 1
∠EBF= ∠ABE，∠EDF= ∠CDE，最后由四边形的内角和可得结论；
2 2
（2）设∠ABM=x，∠CDM= y，则∠ABF=∠EBF=2x，∠CDF=∠EDF=2y，根据（1）和四边
形内角和得等式可得结论；
（3）设∠ABM=x，∠CDM= y，则∠FBM=(n-1)x,∠EBF=nx,∠FDM=(n-1)y,∠EDF=ny，
根据（1）和四边形内角和得等式可得结论．
【详解】（1）解：如下图，过点E做EN∥AB，
∵ AB∥CD，AB∥EN，
∴ CD∥EN，
∴ ∠ABE+∠BEN+∠NED+∠EDC=360°，
即∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，
∵ ∠BED=100°，
∴ ∠ABE+∠EDC=260°，
∵ BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
1 1
∴ ∠EBF= ∠ABE，∠EDF= ∠CDE，
2 2
∴ ∠EBF+∠EDF=130°，
在四边形BFDE中，
∴ ∠BFD=360°-130°-100°=130°；
（2）∠E+4∠M=360°，理由如下：
设∠ABM=x，∠CDM= y，则∠ABF=∠EBF=2x，∠CDF=∠EDF=2y，
由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，
∴ 4x+4 y+∠E=360°，
在四边形BMDE中，
∠MBE+∠E+∠EDM+∠M=360°，
∴ 3x+3 y+∠E+∠M=360°，
∴4x+4 y+∠E=3x+3 y+∠E+∠M，
∴ ∠M=x+ y，
∴ ∠E+4∠M=360°；
（3）设∠ABM=x，∠CDM= y，则∠FBM=(n-1)x,∠EBF=nx,∠FDM=(n-1)y,∠EDF=ny，
由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，
∴ 2nx+2ny+∠E=360°，360°-m°
∴x+ y= ，
2n
在四边形BMDE中，
∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴ 2nx+2ny+∠E=∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E，
∴ ∠M=x+ y，
360°-m
∴∠M= ．
2n
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线、n 等分线及四边形的内角和的运用，解题的关键是作辅助
线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
一、解答题
1．如图所示，直线l //l ，∠CAB=145°，∠DBE=85°，求∠1+∠2的度数.
1 2
【答案】∠1+∠2=60°.
【分析】作AT∥l ，得AT∥l ，由题意得∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因为AT∥l ，得到
1 2 1
∠TAB+∠ABD+∠BDS+∠PCA+∠CAT=540°，即∠1+∠2=60°.
【详解】如图，作AT∥l ，易证AT∥l ，由笔尖图TABDS知，∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因
1 2
为AT∥l ，所以∠PCA+∠CAT=180°，所以∠TAB+∠ABD+∠BDS+∠PCA+∠CAT=540°
1
∠1+∠2=180°+180°+145°+180°-85°-540°=60°.
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
2．如图所示，AB//CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数.【答案】∠BFD=140°.
【分析】先设∠ABE=2x，∠CDE=2y，由题意的∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF= y，题意
得到x+ y=140°；由侧M图ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+ y=140°.
【详解】设∠ABE=2x，∠CDE=2y，
∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，
∴∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF= y，
由笔尖图ABEDC知，∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
即2x+80°+2y=360°，x+ y=140°，
由侧M图ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+ y=140°.
【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线，解题的关键是设∠ABE=2x，∠CDE=2y，
并由题意得到x，y的关系式.
3．如图，AB ∥ DC，点E在直线AB，DC之间，连接DE，BE．
(1)写出∠ABE，∠BED，∠EDC之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度数；
【答案】(1)∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，证明见解析
(2)∠B=67°
【分析】（1）过点E作EF∥CD，利用平行线的判定及性质即可得解；
（2）由（1）得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，将∠BED=2∠B代入即可得解．
本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，
理由如下：过点E作EF∥CD，如图，
∴∠EDC=∠≝¿，∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABE+∠BEF=180°，
∴∠BEF=180°-∠ABE，
∠BED=∠BEF+∠≝=∠EDC+180°-∠ABE，
∴∠BED+∠ABE-∠EDC=180°；
（2）解：由（1）得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，
∴2∠B+∠B-∠EDC=180°，
∴3∠B-21°=180°，
解得∠B=67°．
4．（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么
新的猜想？
【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，∠ABC-∠CDE=∠BCD，见解析
【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角
相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得
∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：
∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°
,
∵AB∥ED∥CF，
∴∠ABC+∠BCF=180°,∠CDE+∠DCF=180°,
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=360°.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注
意掌握辅助线的作法．
5．（1）如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB,CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出
∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若
∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
【答案】（1）66°；（2）∠BED=2∠F，理由见解析；（3）130°【分析】（1）过点E作EM∥AB，可得∠ABE=∠MEB，∠CDE=∠MED，根据
∠BED=∠MEB+∠MED即可求解；
（2）过点E作EG∥AB，可求出∠BED=2(∠2+∠3)=2(∠1+∠4)，过点F作FH∥AB，可求出
∠BFD=∠1+∠4，由此即可求解；
（3）延长DE交BF于点P，可得∠BED=∠EBP+∠BPD=∠EBP+∠BFD+∠PDF，
∠BED=∠EBG+∠BPD=∠EDG+∠BGD+∠EBG，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，可得
∠BED=2∠EBP+2∠PDF+∠BGD，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠ABE=∠MEB，∠CDE=∠MED，
∵∠ABE=45°，∠CDE=21°，
∴∠MEB=45°，∠MED=21°，
∴∠BED=∠MEB+∠MED=45°+21°=66°．
（2）∠BED=2∠F，理由如下：
过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BED=2(∠2+∠3)=2(∠1+∠4)，
同理，过点F作FH∥AB，
∴FH∥AB∥CD，
∴∠1=∠BFH，∠4=∠DFH，∵∠BFD=∠BFH+∠DFH，
∴∠BFD=∠1+∠4，
∴2∠BFD=2(∠1+∠4)，
∴∠BED=2∠BFD，即∠BED=2∠F．
（3）如图，延长DE交BF于点P，
∴∠BED=∠EBP+∠BPD=∠EBP+∠BFD+∠PDF，
∠BED=∠EBG+∠BPD=∠EDG+∠BGD+∠EBG，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠EBG=2∠EBP，∠EDG=2∠PDF，
∴∠BED=2∠EBP+2∠PDF+∠BGD，
∴∠EBP+∠BFD+∠PDF=2∠EBP+2∠PDF+∠BGD，
∴∠EBP+∠PDF+95°=2(∠EBP+∠PDF)+60°，
∴∠EBP+∠PDF=35°，
∴∠BED=∠EBP+∠PDF+95°=35°+95°=130°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
6．（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，
∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接
写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由详见解析；（3）当点P在射线DM上时，
∠APC=∠α-∠β；当点P在OB上时，∠APC=∠β-∠α．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；（2）过点P作PE//AB交AC于点E，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE
又∵∠A=33°，∠C=40°
∴∠APE=33°，∠CPE=40°
则∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°
（2）∠APC=∠α+∠β
理由是：
如图2，过点P作PE//AB交AC于点E
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β
（3）当点P在射线DM上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵AB//DC，
∴∠α=∠DHP，又∵在 CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，
∴∠α=∠β+∠APC，
△
即：∠APC=∠α-∠β．
当点P在OB上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即∠APC=∠β-∠α．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
7．综合探究：已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=40°，求
∠MGN+∠MPN的度数．
【答案】（1）90°；（2）120°
【分析】（1）过G作GH//AB，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过G作GK//AB，过点P作PQ//AB，根据两直线平行，内错角相等性质解得
∠MGK=∠BMG=40°，再根据角平分线性质，求得∠BMP=80°，最后再用平行线定理解题，证明
∠QPN=∠DNP，进而计算∠MGN+∠MPN的值即可．
【详解】解：（1）如图1，过G作GH//AB，
∵AB//CD，
∴GH//AB//CD∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN
∵MG⊥NG
∴∠MGN=∠MGH+∠NCH=∠AMG+∠CNG=90°
图1
（2）如图2，过G作GK//AB，过点P作PQ//AB设∠GND=α
∵GK//AB，AB//CD，
∴GK//CD
∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK//AB，∠BMG=40°，
∴∠MGK=∠BMG=40°
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP=∠BMG=40°
∴∠BMP=80°，
∵PQ//AB，
∴∠MPQ=∠BMP=80°
∵ND平分∠CNP，
∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，∴∠QPN=∠DNP=α，
∴∠MGN=40°+α，∠MPN=80°-α，
∴∠MGN+∠MPN=40°+α+80°-α=120°
图2
【点睛】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
8．已知直线l ∥ l ， A是l 上的一点，B是l 上的一点，直线l 和直线l ，l 交于C和D，直线CD上有一
1 2 1 2 3 1 2
点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的
关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】(1)∠PAC+∠PBD=∠APB，理由见解析
(2)当点P在直线l 上方时，∠PBD-∠PAC=∠APB；当点P在直线l 下方时，
1 2
∠PAC-∠PBD=∠APB
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）如图1，作PE∥l ，则∠PAC=∠1，由l ∥l ，可得PE∥l ，则∠PBD=∠2，
1 1 2 2
∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）由题意知，分点P在C点上方，P在D点下方两种情况求解；①当点P在C点上方，如图2，作
PE∥l ， 过程同（1）；②当点P在D点下方，如图3，作PE∥l ，过程同①．
1 1
【详解】（1）解：∠APB=∠PAC+∠PBD，理由如下；
如图1，作PE∥l ，
1
∴∠PAC=∠1，
∵l ∥l ，
1 2
∴PE∥l ，
2
∴∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD，即∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）解：由题意知，分点P在C点上方，P在D点下方两种情况求解；
①当点P在C点上方，如图2，作PE∥l ，
1∴∠PAC=∠APE，
∵l ∥l ，
1 2
∴PE∥l ，
2
∴∠PBD=∠BPE，
∴∠APB=∠BPE-∠APE=∠PBD-∠PAC，即∠APB=∠PBD-∠PAC；
②当点P在D点下方，如图3，作PE∥l ，
1
同理①，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∴∠APB=∠APE-∠BPE=∠PAC-∠PBD，即∠APB=∠PAC-∠PBD；
综上所述，∠APB=∠PBD-∠PAC或∠APB=∠PAC-∠PBD．
9．如图，已知直线l
1
∥l
2
，l₃ 、l₄和l₁ 、l₂分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l
3
或l
4
上且不与点A、
B、C、D重合，记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
(1)若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
(2)若点P在图（2）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)∠1+∠2+∠3=360°，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理；
（1）过点P作PG∥l ，则PG∥l ∥l ，从而有∠EPG=∠1，∠FPG=∠2，根据
1 1 2
∠3=∠EPG+∠FPG即可求证；（2）过点P作PG∥l ，则PG∥l ∥l ，∠EPG+∠1=180°，∠FPG+∠2=180°，由
1 1 2
∠3=∠EPG+∠FPG即可得∠1、∠2、∠3之间的关系．
【详解】（1）证明：如图，过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴PG∥l ∥l ，
1 2
∴∠EPG=∠1，∠FPG=∠2；
∵∠3=∠EPG+∠FPG，
∴∠3=∠1+∠2；
（2）解：∠1+∠2+∠3=360°；
证明如下：
如图，过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴PG∥l ∥l ，
1 2
∴∠EPG+∠1=180°，∠FPG+∠2=180°，
∴∠EPG+∠1+∠FPG+∠2=360°；
∵∠3=∠EPG+∠FPG，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
+
10．已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF
的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①∠3=∠1+∠2；证明见详解；②∠1=∠2+∠3；证明见详解
【分析】（1）如图4过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知
∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠2=∠1+∠3；
（2）①如图5过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知
∠3=∠BPC，∠1=∠APC，根据等量代换就可以得出∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，
∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠1=∠2+∠3．
【详解】（1）解：如图4所示：过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠2=∠APC+∠BPC，
∴∠2=∠1+∠3；
（2）解：①如图5过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC，
∵∠BPC=∠2+∠APC，
∴∠3=∠1+∠2；②如图6过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠APC=∠2+∠BPC，
∴∠1=∠2+∠3．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助
线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
11．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量
关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)∠GQH=180°-∠M；理由见详解
【分析】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：
∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；
（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：
∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°-∠M．【详解】（1）
解：如图：过点M作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，
∵∠M=∠GMN+∠HMN，
∴∠M=∠AGM+∠CHM．
（2）解：∠GQH=180°-∠M，理由如下：
如图：过点M作MN∥AB，
由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM=∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M=∠HGQ+∠GHM，
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，
∴∠GQH=180°-∠M．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时
这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
12．问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°-∠1-∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
【详解】（1）解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°-130°-150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）解：∠P=360°-∠1-∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°-∠1-∠2．
（3）如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°-325°-75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
13．如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
1
②若∠MCE= ∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量
n
关系?并说明理由．
1 n
【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+ ∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+ ∠MCD=90°，理由见解
2 n+1析.
【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE
平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答
案；
②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.
【详解】（1）解：因为AB//CD，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为AE⊥CE，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
1
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+ ∠MCD=90°，
2
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
1
∴∠BAE+ ∠MCD=90°；
2
n
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+ ∠MCD=90°，
n+1
理由如下： 过E作EF∥AB，∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
1
∵∠MCE= ∠ECD，
n
n
∴∠BAE+ ∠MCD=90°.
n+1
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.
14．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足
0°<∠EPF<180°．
（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1，当点P在EF的
左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF；如图2，当点P在
EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系_________．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为______；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q ，
1 1 1 2
∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q ，以此类推，则∠EPF与∠EQ F满足怎样的数量关系？
2 2 3 2020
（直接写出结果）【答案】（1）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）①130°；②∠EPF+2∠EQF=360°，见解析；
③∠EPF+22021∠EQ F＝360°
2020
【分析】（1）过点P作PH//AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．
【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PM//AB，则PM//CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∵∠EPF＝100°，
∴∠PEA+∠PFC＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，
∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，
∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，
∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，
故答案为：130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，
∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∴∠EPF +2∠EQF＝360°；
③∵Q E，Q F分别平分∠QEB和∠QFD，
1 1
∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ ，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ ，
1 1
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，
∴∠PFC+22∠DFQ ＝180°，∠PEA+22∠BEQ ＝180°，
1 1
∴∠PFC+22∠DFQ ＋∠PEA+22∠BEQ ＝360°，
1 1
∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ +∠BEQ )＝360°，
1 1
∵由（1）得：∠DFQ +∠BEQ ＝∠EQ F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
1 1 1
∴∠EPF +22∠EQ F＝360°；
1
同理可得：∠EPF +23∠EQ F＝360°，∠EPF +24∠EQ F＝360°，……
2 3
∴∠EPF+22021∠EQ F＝360°．
2020
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出
各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．
15．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）
∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；
（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；
（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．
【详解】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：
过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”
是解题的关键．
