文档内容
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
——明模型，悉结论
类型一 共直角顶点的等腰直角三角形 类型二 共顶点的等边三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等 2．如图①，等边△ABC中，D是AB边
腰直角三角形． 上的动点，以 CD 为一边，向上作等边
(1)求证：AD＝CE； △EDC，连接AE.
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直， (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明
请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不 理由；
用写理由． (2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA
的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是
否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
1 ..参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等
腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－
∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝
∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝
CE.
(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD
分 别 交 BC 和 CE 于 G 和
F.∵△ABD≌△CBE ， ∴ ∠ BAD ＝
∠ BCE.∵∠BAD ＋ ∠ ABC ＋ ∠ BGA ＝
∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝
∠ CGF ， ∴ ∠ AFC ＝ ∠ ABC ＝ 90° ，
∴AD⊥CE.
2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如
下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC
＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即
∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B
＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝
∠ACB，∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，
△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝
CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋
∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝
∠ ACE. 在 △ DBC 和 △ EAC 中 ，
∵∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B
＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝
∠ACB，∴AE∥BC.
2 ..3 ..
