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8.1.2 算术平方根（七大类型提分练）
类型一、求一个数的算术平方根
1．（24-25八年级上·北京房山·期末）5的算术平方根是（ ）
A．25 B．❑√5 C．±❑√5 D．−❑√5
【答案】B
【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：∵❑√5的平方为5，
∴5的算术平方根为❑√5．
故选：B．
2．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列各式正确的是（ ）
A．❑√(−1) 2=−1 B．(−❑√2) 2=−2 C．❑√4=±2 D．±❑√64=±8
【答案】D
【分析】本题主要考查了求平方根，算术平方根，
根据算术平方根解答A，B，C，再根据平方根解答D 即可．
【详解】解：因为❑√(−1) 2=❑√1=1，所以A不正确；
因为(−❑√2) 2=(❑√2) 2=2，所以B不正确；
因为❑√4=2，所以C不正确；
因为±❑√64=±8，所以D正确．
故选：D．
√16
3．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）❑ 的平方根是（ ）
81
4 2 4 2
A． B． C．± D．±
9 3 9 3
【答案】D
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．先
√16 4
根据算术平方根的定义化简❑ = ，再根据平方根的定义即可解答．
81 9
√16 4
【详解】解：∵❑ = ，
81 9
√16 √4 2
∴❑ 的平方根是±❑ =± ．
81 9 3
故选：D．4．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值：
(1)±❑√49；
√121
(2)❑ ；
256
(3)−❑√0.09
【答案】(1)±7
11
(2)
16
(3)−0.3
【分析】本题考查了利用算术平方根和平方根的定义化简，熟练掌握概念是解决此题的关键．
根据算术平方根和平方根的定义进行化简即可．
（1）根据平方根的定义即可得；
（2）根据算术平方根的定义即可得；
（3）根据算术平方根的相反数定义即可得；
【详解】（1）∵(±7) 2=49，
∴±❑√49=±7；
(11) 2 121
（2）∵ = ，
16 256
√121 11
∴❑ = ；
256 16
（3）∵(−0.3) 2=0.09，
∴−❑√0.09=−0.3．
5．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根：
(1)121；
9
(2) ；
64
(3)0.01.
【答案】(1)❑√121=11
√ 9 3
(2)❑ =
64 8
(3)❑√0.01=0.1
【详解】（1）因为112=121，所以121的算术平方根是11，即❑√121=11.
(3) 2 9 9 3 √ 9 3
（2）因为 = ，所以 的算术平方根是 ，即❑ = .
8 64 64 8 64 8
（3）因为(0.1) 2=0.01，所以0.01的算术平方根是0.1，即❑√0.01=0.1.类型二、算术平方根的概念的理解
6．（23-24七年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根与算术平方根都是0 B．−4的算术平方根是−2
C．❑√16的平方根是±4 D．−4的平方根是±2
【答案】A
【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是
解决问题的关键．
【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意；
B、由平方根定义，被开方数非负，故−4的算术平方根是−2，原说法错误，不符合题意；
C、❑√16=4，则4的平方根是±2，故❑√16的平方根是±4，原说法错误，不符合题意；
D、由平方根定义，被开方数非负，故−4的平方根是±2，说法错误，不符合题意；
故选：A．
7．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③
0.001的平方根是±0.01；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的意义，熟练掌握概念是解题关键.根据平方根和算术平方根
的意义，逐一判断即可.
【详解】①49的算术平方根是7，选项正确；
②负数没有平方根，选项错误；
③0.001的平方根是±❑√0.001，±❑√0.001≠±0.01，选项错误；
④算术平方根等于它本身的数是0和1，选项正确.
故选：B.
8．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列命题是假命题的是（ ）
5 25
A．5是25的算术平方根 B． 是 的算术平方根
6 36
C．(−4) 2的平方根是-4 D．0的平方根和算术平方根都是0
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根及算术平方根的定义，难度不大．一个正
数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根，分别利用平方根、算术平方根的定义计算判断即可
得答案．
【详解】解：5是25的算术平方根，是真命题，故A选项不符合题意，
5 25
是 的算术平方根，是真命题，故B选项不符合题意，
6 36
(−4) 2=16，16的平方根是±4，故(−4) 2的平方根是±4，故C选项是假命题，符合题意，
0的平方根和算术平方根都是0，是真命题，故D选项不符合题意，故选：C．
9．（20-21七年级下·安徽安庆·期末）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是
（ ）
A．❑√3 B．9 C．3 D．−❑√3
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转
换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止．
【详解】解：第一次输入x=81，则❑√81=9，是有理数；
第二次输入x=9，则❑√9=3，是有理数；
第三次输入x=3，则❑√3不是有理数，所以输出y=❑√3，
故选：A．
类型三、算术平方根的非负性
b
10．（21-22七年级下·安徽六安·期末）若❑√a−4+|b−9|=0，则 的平方根是（ ）
a
3 3 9 9
A． B．± C． D．±
2 2 4 4
【答案】B
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到a−4=0，b−9=0，
则a=4，b=9，再根据若两个实数a、b满足a2=b，那么a就叫做b的平方根进行求解即可．
【详解】解：∵❑√a−4+|b−9|=0，❑√a−4≥0，|b−9|≥0，
∴❑√a−4=|b−9|=0，
∴a−4=0，b−9=0，
∴a=4，b=9，
b 9
∴ = ，
a 4
b 3
∴ 的平方根为± ，
a 2
故选：B．
11．（22-23七年级下·云南昆明·期中）若|2x+6|+❑√y−3=0，则x−y的值为（ ）
A．0 B．6 C．−6 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、求代数式的值，先根据非负数的性质得出
x=−3，y=3，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵|2x+6|+❑√y−3=0，|2x+6|≥0，❑√y−3≥0，∴2x+6=0，y−3=0，
∴x=−3，y=3，
∴x−y=−3−3=−6，
故选：C．
12．（23-24七年级下·宁夏固原·期中）计算：已知 x,y,z满足 |x+2)+(y−3)❑ 2+❑√z+1=0，求
x+ y+z的值． （写清过程）
【答案】0
【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性的应用，求解代数式的值，掌
握非负数的性质是解本题的关键．
根据偶次幂与算术平方根的非负性，求得x=−2,y=3,z=−1代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵x,y,z满足 |x+2)+(y−3)❑ 2+❑√z+1=0，
∴|x+2)≥0，(y−3) 2≥0，❑√z+1≥0，
∴x+2=0,y−3=0,z+1=0，
解得：x=−2,y=3,z=−1，
∴x+ y+z=−2+3−1=0；
13．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知实数m，n满足(m+2) 2+❑√4−n=0，求3n−2m的平方根．
【答案】±4
【分析】本题考查非负数的性质、平方根，先根据平方、算术平方根的非负性求出m和n的值，进而求出
3n−2m的值，再求平方根即可．
【详解】解：∵(m+2) 2+❑√4−n=0，
∴m+2=0，4−n=0，
∴m=−2，n=4，
∴3n−2m=3×4−2×(−2)=16，
∴3n−2m的平方根是±4．
类型四、算术平方根的整数部分和小数部分
14．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算❑√26+1值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出❑√26的取值范围，再得出❑√26+1的取值范围即可．
【详解】解：∵25<26<36，
∴5<❑√26<6，
∴6<❑√26+1<7，
∴❑√26+1值是在6和7之间，
故选：D15．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知a是❑√13的整数部分，❑√b=3，则❑√ab+54的平方根是
．
【答案】±3
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得
a=3,b=9，然后问题可求解．
【详解】解：∵3<❑√13<4，❑√b=3，
∴a=3,b=9，
∴❑√ab+54=❑√3×9+54=❑√81=9，
∴9的平方根是±3；
故答案为±3．
16．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知❑√19−2的整数部分是m，小数部分是n，则m= ，
n= ．
【答案】 2 ❑√19−4
【分析】根据❑√19的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解，
本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：∵❑√19−2的整数部分是m，小数部分是n，4<❑√19<5，
∴m=2，n=❑√19−2−2=❑√19−4，
故答案为：2，❑√19−4．
17．（16-17七年级下·甘肃定西·阶段练习）若❑√10的整数部分为a，小数部分为b，则a= ，b=
．
【答案】 3 ❑√10−3
【分析】根据3<❑√10<4首先确定a的值，则小数部分即可确定．
【详解】解：∵3<❑√10<4，
∴a=3，
则b=❑√10−3．
故答案是：3，❑√10−3．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
18．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是2a+5和3a−15．
(1)求这个正数；
(2)请估算26a的算术平方根在哪两个连续整数之间．
【答案】(1)81
(2)26a的算术平方根在7~8之间
【分析】本题考查了平方根及算术平方根：
（1）根据题意得2a+5+3a−15=0，进而可解得a=2，则可得2a+5=9，再根据平方根的定义即可求解；
（2）由（1）得a=2，进而可得26a=52，再利用算术平方根的估算方法即可求解；熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得2a+5+3a−15=0，
解得：a=2，
∴2a+5=2×2+5=9，
∴这个正数是81．
（2）由（1）得：a=2，
∴26a=52，
∵49<52<64，
∴❑√49<❑√52<❑√64，
∴26a的算术平方根在7~8之间．
类型五、算术平方根的规律探究问题
19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知❑√102.01=10.1，则±❑√1.0201= ．
【答案】±1.01
【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．本题考查了算
术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
【详解】解：∵❑√102.01=10.1，
√102.01 ❑√102.01 10.1
∴±❑√1.0201=±❑ =± =± =±1.01；
100 ❑√100 10
故答案为：±1.01．
20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①❑√13，②❑√13+23，③❑√13+23+33，…，观察
你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：❑√13+23+33+43
=
，❑√13+23+33+···+263
=
．
【答案】 10 351
【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出
❑√13+23+33+⋯+n3=1+2+3+⋯+n．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可．
【详解】解：❑√13=❑√1=1，
❑√13+23=❑√1+8=❑√9=3，
❑√13+23+33=❑√1+8+27=❑√36=6，
❑√13+23+33+43=❑√1+8+27+64=❑√100=10，
……
观察发现❑√13+23+33+⋯+n3=1+2+3+⋯+n，
(1+26)×26
∴❑√13+23+33+···+263=1+2+3+⋯+26= =351，
2
故答案为：10，351．
21．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
a(a>0)
❑√a … 0.01 x 1 100 …
y
(1)表格中x=________，y=________．
(2)①已知❑√6≈2.45，则❑√0.06≈________；
②已知❑√0.0012≈0.03464，❑√2m≈34.64，求m的值．
【答案】(1)0.1，10
(2)①0.245；②600
【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的
关键．
（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；
（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．
【详解】（1）根据算术平方根的定义得，
x=❑√0.01=0.1，y=❑√100=10
故答案为：0.1，10；
（2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的
小数点就向右移动一位，
所以由❑√6≈2.45可知❑√0.06≈0.245，
故答案为：0.245；
②∵❑√0.0012≈0.03464，，❑√2m≈34.64，
∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64，
∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m，
∴0.0012×106=2m
解得，m=600，
所以m的值为600．
22．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①❑√13=1；
②❑√13+23=1+2=3；
③❑√13+23+33=1+2+3=6；
④❑√13+23+33+43=1+2+3+4=10；
⑤❑√13+23+33+43+53=1+2+3+4+5=15．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
(1)❑√13+23+33+43+53+63=❑√(
)
2=_______；(2)简便计算：83+93+103+⋯+163+173．
【答案】(1)1+2+3+4+5+6，21
(2)22625
【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解
决问题的关键．
（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可．
【详解】（1）解：❑√13+23+33+43+53+63=❑√(1+2+3+4+5+6) 2=21，
故答案为：1+2+3+4+5+6，21；
（2）解：83+93+103+⋯+163+173
=13+23+33+…+163+173−(13+23+33+…+63+73
)
=(1+2+3+…+16+17) 2−(1+2+3+…+6+7) 2
(17×18) 2 (7×8) 2
= −
2 2
=23409−784
=22625．
类型六、算术平方根的实际应用问题
23．（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并
且正方形的边长为a，则a−2的整数部分为 ．
【答案】1
【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．
【详解】解：拼剪后的正方形的面积=5+10=15，
∴a=❑√15，
∵❑√9<❑√15<❑√16，即3<❑√15<4
∴1<❑√15−2<2，
∴a−2=❑√15−2的整数部分是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
24．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形．
(1)大正方形的边长是_____________cm．
(2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3:2，且面积为600cm2？
【答案】(1)30
(2)能
【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【详解】（1）解：大正方形的边长是❑√450×2=❑√900=30cm；
故答案为：30；
（2）解：能
设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x⋅2x=600，
解得：x=10（负值舍去），
∴3x=30，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3:2，且面积为600cm2
25．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在一个由4×4个小正方形（每个小正方形的边长均为1cm）
组成的正方形网格中，阴影部分也是正方形．
(1)求阴影部分的面积．
(2)求阴影部分的周长．（精确到0.01）
【答案】(1)10cm2；
(2)12.65cm．
【分析】本题主要考查了算术平方根及正方形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积；
（1）用大正方形的面积减去空白的面积，可得阴影部分的面积；
（2）根据算术平方根的意义，求出小正方形的边长，再利用正方形的周长公式求出周长即可．
1
【详解】（1）S =42−4× ×1×3=10(cm2)
阴影 2
（2）由（1）可知，正方形面积为10cm2，∴正方形边长为❑√10cm，
∴阴影部分的周长为 C=4×❑√10≈4×3.162≈12.65cm．
26．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用
了36块，每块面积为xcm2，每平米单价为50元；B地砖使用了217块，每块面积为ycm2，每平米单价为
16元；
(1)用x，y表示铺设活动室地面的费用．
(2)试说出代数式❑√36x+217 y 所表示的的实际含义．
【答案】(1)(1800x+3472y)元
(2)❑√36x+217 y表示该正方形活动室地面的边长
【分析】题目主要考查列代数式及算术平方根的应用，理解题意，列代数式是解题关键．
（1）根据题意得出A地砖一共面积为36x，花费36x×50=1800x（元）；B地砖一共面积为217 y，花
费217 y×16=3472y（元），然后求和即可；
（2）根据题意得36x+217 y表示的是活动室的地面面积，再由活动室是正方形的，即可得出结果．
【详解】（1）解：A地砖一共面积为36x，花费36x×50=1800x（元）；
B地砖一共面积为217 y，花费217 y×16=3472y（元），
一共(1800x+3472y)元．
（2）解：36x+217 y表示的是活动室的地面面积，
因为活动室是正方形的，
所以将其开平方是表示这个活动室的边长．
答：❑√36x+217 y表示该正方形活动室地面的边长．
类型七、算术平方根的新定义问题
27．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义[x)为不大于x的最大整数，如[2)=2，[❑√3)=1，[4.1)=4，则
满足[❑√n)=5，则n的最大整数为 ．
【答案】35
【分析】根据题意可知5≤❑√n<6，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：∵[❑√n)=5，
∴5≤❑√n<6，
∴25≤n<36，
∴n的最大整数为35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出5≤❑√n<6是解此题的关键．
28．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数❑√T的被开方数（T为正整数）满足
n2
