文档内容
8.1 平方根（第 3 课时 算术平方根的估算）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根，内容
包括：第3课时 算术平方根的估算.
2.内容解析
本节课是在前面学习了乘方运算的基础上安排的，并以算术平方根为前提，是学习实
数的准备知识，为学习二次根式做出了铺垫，提供了知识积累. 新课标中提出，义务教育
阶段的数学课程，要从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和学生已有的知
识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程，本节课
就在这个思想的指导下设计的.教材通过问题情境的设置唤醒学生探究交流的激情，让学生
在计算、探索、交流的过程中感悟算术平方根的意义，同时让学生在学习知识技能的同时
注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于
实践，又服务于实践的思想. 然后实际问题引出疑问❑√2究竟有多大？通过上节课所获得的
结论：一个非负数越大其算术平方根也大，让学生通过夹逼法不断推算出❑√2的近似值
基于以上分析，本节课的教学重点是: 会用夹逼法估算非负数算术平方根的大小，非
负数算术平方根的整数部分以及非负数算术平方根的小数部分.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）会用夹逼法估算非负数算术平方根的大小，非负数算术平方根的整数部分以及非负数
算术平方根的小数部分；
（2）会用估值法比较两个数的大小；
（3）了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点
的移动规律，并能利用规律解题.
2.目标解析
（1）教材实际问题引入，利于激发学生的学习兴趣，具体情景之中知识生成水到渠成.
通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣
增强学习兴趣.
（2）学生能根据估值法或者计算器计算比较两个数的大小，掌握估算方法，形成估算
意识.（3）了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小
数点的移动规律，并能利用规律解题.
三、教学问题诊断分析
在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数和如何求一个非负数的平方根和
算术平方根，但对于夹逼法第一次接触，学生会觉得陌生，应给予足够时间让学生理解.学
生会用计算器计算非负数的平方根的近似值，但是学生通过观察被开方数和其算术平方根
近似值的小数点的移动得出规律有一定难度，应明确将表格中的被开方数分成两类，利于
学生总结规律.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被
开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题.
四、教学过程设计
（一）情景引入
问：能否用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形？你知道这个大正方形
的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为x，
∵x2=2
∴x=❑√2
答：大正方形的边长是❑√2.
【设计意图】利用实际问题引入，激发学生学习兴趣，并让学生感受数学来源于生活，
服务于生活.
（二）新知讲解
猜一猜：❑√2到底多大？
∵ 12=1，22=4，
∴ 1<❑√2<2;
∵1.42=1.96，1.52=2.25，
∴ 1.4<❑√2<1.5;
∵1.412=1.9881，1.422=2.0164，
∴ 1.41<❑√2<1.42；
∵1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，
∴ 1.414<❑√2<1.415；……事实上，继续重复上述的过程，可以得到❑√2=1.41421356237309504880168872……
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无限不循环小数:小数位数无限,且小数部分不循环的小数
1.估算❑√30的值在（ D ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
解析：因为52<30<62,所以5<❑√30<6. 故选D.
点拨：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个整数的
平方之间
2.估计❑√17−1的值应在（ B ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
3.估计9−❑√26的值应在（ B ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
4.若n<❑√133.61
∴❑√5>1.9
法二(估值法)
∵5>4，
∴❑√5>2，
∴❑√5>1.9.
点拨：比较数的大小，可先估计其算术平方根的近似值【设计意图】通过此题一题多解发展学生的发散思维，并总结比较大小的两种常用方
法：①平方法，②估值法.
（六）变式训练
3.通过估算比较下列各组数的大小：
❑√6+1 ❑√5−1
(1) 与1.5 (2) 与0.5.
2 2
解：(1)∵ 6>4，
∴❑√6>2，
❑√6+1 2+1
∴ > =1.5.
2 2
(2)∵ 5＞4，
∴❑√5>2，
∴❑√5−1>2−1=1，
❑√5−1
∴ >0.5．
2
4.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长
方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽算出她能
用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.
设长方形的长为3xcm,则宽为2xcm.
则有3x∙2x=300解得：x=❑√50
∴长方形的长为3x=3❑√50
∵50>49∴❑√50>7,∴3❑√50>21
∴小丽不能裁出符合要求的纸片.
【设计意图】通过3题练习让学生熟练掌握估值法比较大小，发展估值的思维，养成
估值的意识.通过3题让学生养成数学建模的意识，并明白数学来自于生活，服务于生活，
体现新课标所倡导的学有用的数学，在实际的问题中比较两数的大小，让学生知道学有所
用，学有所成.
（七）新知讲解
用计算器求一个非负数算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算
术平方根(或其近似数).1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ B ）
A. －2 B. 2 C. ±2 D. 4
2.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ B ）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
3.用计算器求下列各式的值：
(1) ❑√3136 ； (2)❑√7 (精确到 0.001).
解：(1)依次按键 3136
显示：56.
∴❑√3136=56
(2)依次按键 7
显示：2.6457513111……
∴❑√7≈2.646
点拨：计算器上显示的2.6457513111是❑√7的近似值
【设计意图】通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速，精准的功能，激发学习知
识的兴趣，同时提高学生的动手能力和借助外力解决问题的能力，也能让学生再次感受到
无理数的无限不循环.
（八）典例讲解
例3(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?
你能说出其中的道理吗?
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,
它的算术平方根的小数点就向右移动 1 位;
被开方数的小数点向左每移动 2 位,
它的算术平方根的小数点就向左移动 1 位.
(2)用计算器计算❑√3(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律你能说出下列哪些数的
近似值?
①❑√0.03 ②❑√0.3 ③❑√30 ④❑√300 ⑤❑√3000 ⑥❑√30000
解：∵由计算器计算可得 ❑√3≈1.732，
∴❑√0.03≈0.1732；❑√300≈17.32；❑√30000≈173.2(3)若用计算器得出❑√30≈5.477你能求出剩下各数的近似值吗？
解：∵由计算器计算可得 ❑√30≈5.477，
∴❑√0.3≈0.5477；❑√3000≈54.77
【设计意图】通过计算器得出一个数的算术平方根，并观察探究被开方数小数点的移
动位数和其算术平方根的小数点移动位数之间的规律，培养学生观察，猜想，归纳的能力.
学生能通过利用观察得出的结论解决问题，培养学生理解知识应用知识的能力.
（九）变式训练
5.已知❑√23≈4.80， ❑√230≈15.17，则❑√0.0023的值约为（ B ）
A．0.480 B．0.0480
C．0.1517 D．1.5176.
6.已知9.972=99.4009, 9.982=99.6004, 9.992=99.8001,则❑√997000的值的个位数字
为( D )
A.0 B.4 C.6 D.8
【设计意图】通过变式训练熟练运用结论解题，并深刻理解被开方数和其算术平方根
小数点的移动规律和夹逼法，逆用知识解题.
（十）拓展探究
1.利用计算器计算
(1) ______5_____
❑√42+32=
(2) ______55_____
❑√442+332=
(3) _____555______
❑√4442+3332=
(4) ______5555_____
❑√44442+33332=
仔细观察上面几道题的计算结果，
试猜想√⏟444…444 2+⏟333…333 2=____⏟555…555_______
❑
2024个4 2024个3 2024个5
【设计意图】通过本题训练学生熟练使用计算器和培养学生观察，猜想归纳的能力.
（十一）当堂测试
1.估算❑√19的值 ( D )A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
2.估算❑√39−2的值 ( D )
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
3.估算7−❑√26的值 ( A )
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
4.设n为正整数,且n<❑√65”“<”或“=”)
❑√5−1 1+❑√3
(1) ____<___1 (2) ______<______1+❑√2
2 2
(3)❑√2548___>_____50.1 (4)−❑√2______<_______−1.4
7.设6−❑√7的整数部分和小数部分分别是x，y，求出x，y的值．
解：∵4＜7＜9，∴2＜❑√7＜3.
∴3＜6−❑√7＜4.
∴x＝3，y＝6−❑√7－3＝3−❑√7.
8.如图，在一个由4×4个小正方形(每个小正方形的边长均为1cm)组成的正方形网格中，
阴影部分也是正方形．
(1)求阴影部分的面积．
(2)求阴影部分的周长．(精确到0.01)
1
解(1)S =42−4× ×1×3=10cm2
阴影 2
(2)由(1)可知，正方形面积为10cm2，
∵正方形边长为❑√10cm，
∴阴影部分的周长为C=4×❑√10≈4×3.162≈12.65．
9.国际比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，为了迎接某次奥运会，
某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560m2，请你判断这个足球
场能用作国际比赛吗？并说明理由．
解：这个足球场能用作国际比赛．理由如下：
设足球场的宽为xm，则足球场的长为1.5xm，由题意，得1.5x2＝7560. ∴x2＝5040.
∵x＞0，∴x＝❑√5040.
又∵702＝4900，712＝5041，∴70＜❑√5040＜71.
∴70＜x＜71.∴105＜1.5x＜106.5.
∴符合要求．∴这个足球场能用作国际比赛．
【设计意图】针对本节课所学，巩固学生用夹逼法求一个非负数的算术平方根的整数
部位和小数部位，用估值法比较两个数的大小，会用获得的知识解决生活中的问题，理解
数学来源于生活服务于生活，从而学有用的数学培养学生综合解题的能力.
（十一）小结梳理
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而
形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握．
（十三）布置作业
必做题P46.练习1，2，3，选做题P47练习10，11题.
五、教学反思
