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8.3 实数及其简单运算（第一课时 实数的概念）（分层作业）
基础训练
1．下列各实数中，不是无理数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，根据无理数定义解答是
解题的关键．据此判断每个选项即可．
【详解】解：A、 是无理数，不符合题意；
B、 是无理数，不符合题意；
C、 是无理数，不符合题意；
D、 是整数，为有理数，符合题意．
故选：D．
2．在实数 ， ， ， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的知识，无限不循环小数是无理数；解答本题的关键是掌握无
理数的三种形式． 根据无理数的三种形式∶①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含
有 的数，找出无理数的个数即可．根据无理数的概念进行判断即可．
【详解】解： ，
根据无理数的三种形式可知∶ 为无理数，共 个．
故选∶B．
3．下列命题中：①无理数都是无限小数；② 的平方根是 ；③无理数与数轴上的点
一一对应；④两个无理数的和一定是无理数；正确的语句个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的概念，平方根的计算，无理数与数轴等知识的概念，理解并掌握其概念是解题的关键．
根据无理数的概念，平方根的计算，无理数与数轴上点的关系，无理数的计算等知识进行
判定即可求解．
【详解】解：无理数都是无限不循环小数，故①错误；
的平方根是 ，故②错误；
实数与数轴上的点一一对应，
∴无理数与数轴上的点也是一一对应，故③正确；
两个无理数的和不一定是无理数，如 ，即两个无理数的和为有理数，故④错误；
综上所述，正确的有1个，
故选：A ．
4．如图，数轴上点P表示的数可能是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，弄清估算的方法是解本题的关
键．通过估算确定出各数的范围，即可作出判断．
【详解】解：A． ，
，不满足题意；
B．
，即 ，满足题意；
C． 不满足题意；
D． 不满足题意，
故选：B．
5．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为 ，点B到点A的距离为1个单位长度，
则点B所表示的数为____________________【答案】 或
【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点 的距离为1的数分别位于 点的左侧或右侧，
即可求解．
【详解】到点 的距离为1的数分别位于 点的左侧或右侧，比 点表示的数大1或小
1，
点所表示的数为 或 .
6．在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点B关于点A的对称点为C，则
C所表示的数为_______________
【答案】
【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，先根据已知条件可以确定
线段 的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设点C所表示的数为x，列出方程即
可解决．
【详解】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为 和 ，点B关于点A的对称点是点C，
∴ ，
根据题意 ，
∴ ，
解得 ．
7.在数轴上的 ， 两点表示的数分别为 和 ，则 ， 两点之间表示整数的点共有
__________________
【答案】1个
【分析】本题考查了无理数的估算、先得出 ， 即可求解．
【详解】解：∵∴ ，
∴ 和 之间有整数：2，一共1个，
8．现有四个实数：① ，② ，③ ，④
(1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
(2)请在数轴上近似表示出以上四个实数．
(3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“ ”连接．
______ ______ ______ ______
【答案】(1)①④；②③
(2)见解析
(3) ， ， ，
【分析】本题考查了数轴，实数比较大小，实数的分类，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据有理数和无理数的概念求解即可；
（2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可；
（3）根据（2）中的数轴上的数据，按从左往右的顺序用“ ”连接即可．
【详解】（1）解： ，
有理数是①④；无理数是②③；
故答案为：①④；②③；
（2）各数在数轴上表示如下：
（3）各数用“ ”连接为： ，
故答案为： ， ， ， ．9．把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）：
① ，②π，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ，⑨0，⑩
（每两个1之间依次多一个0）．
正数：{ …}；
整数：{ …}；
分数：{ …}；
非负有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}．
【答案】②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦
【分析】本题考查了实数的分类，根据实数的分类，逐一判断即可解答．
【详解】解： ， ，
正数：{②⑤⑧⑩…}；
整数：{①④⑦⑨…}；
分数：{③⑤⑥…}；
非负有理数：{⑤⑨…}；
无理数：{②⑧⑩…}；
负实数：{①③④⑥⑦…}；
故答案为：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦．
能力提升
1．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的 的值为16时，输出的 的值为
（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求
解即可．【详解】解：当 时， 是整数，不是无理数；
当 时， 是整数，不是无理数；
当 时， 是无理数，
∴输出的 的值为 ，
故选：B．
2．如果实数 ，那么a， ， ， 自小到大顺序排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数的大小比较，用特殊值法比较大小是解题的关键．
用特殊值法比较大小即可．
【详解】解：若 ，则 ， ， ，
，
．
故选：C．
3．（2024七年级上·江苏·专题练习）在 ， ， ，0.3，0， ，21， ， ，
（每两个1之间的0个数逐次增加 中正数有 个，非负整数有 个，正分数
有 个，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意
0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整
数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案．
【详解】解：在 ， ， ，0.3，0， ，21， ， ， （每两个1之间的个数逐次增加 中，
正数有 ， ，0.3，21， ， （每两个1之间的0个数逐次增加 ，有6
个，则 ，非负整数有0，21，有2个，则 ，
正分数有 ， ，0.3，有3个，则 ，
则 ．
故答案为：1．
4．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．（ ）
(2)无理数都是无限小数．（ ）
(3)无限小数都是无理数．（ ）
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（ ）
(5)不带根号的数都是有理数．（ ）
(6)带根号的数都是无理数．（ ）
(7)有理数都是有限小数．（
(8)实数包括有限小数和无限小数．（ ）
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)正确，理由见解析
(3)错误，理由见解析
(4)错误，理由见解析
(5)错误，理由见解析
(6)错误，理由见解析
(7)错误，理由见解析
(8)正确，理由见解析
【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可．
【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有 ，1.020 020 002…这类的数
也是无理数；故答案为：错误；
（2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确；
（3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数
才是无理数；故答案为：错误；（4）（错误）0是有理数；故答案为：错误；
（5）（错误）如 ，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：
错误；
（6）（错误）如 ，虽然带根号，但 ，这是有理数；故答案为：错误；
（7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误；
（8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所
以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．
5．比较大小：① 0；② ；③ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握实数的性质和两个负数如
何比较大小．
①根据负数是小于0的数进行解答即可；
②先求出它们的绝对值，然后根据两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可；
③先估算 的大小，然后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再比较大小即可．
【详解】解：①∵负数小于0，
∴ ；
② ，
∵ ，
∴ ；
③∵
∴ ，
∴ ；
故答案为： ； ； ．
6．阅读下面的文字，解答问题：如图1，教材P 页有这样一个探究：把两个边长为 的小正方形分别沿对角线剪开，将
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所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为 的大正方形，试根据这个研
究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为 的大正方形的边长就是原先边长为 的小正方形的对角线长，因
此，可得小正方形的对角线长为_______ ；如图2，数轴上点A表示的数是______；
(2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长
是______；
(3)如图4，在数轴上作出（2）中正方形边长的对应点P（要求尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）；
(4)在（3）题的数轴上，表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且 ，直接写出点
N表示的数．
【答案】(1) ，
(2)17，
(3)见解析
(4) 或
【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用．（1）根据面积为 的大正方形的边长为❑√2求解即可；
（2）利用分割法求出阴影部分的面积即可；
（3）构造直角边为1，4的直角三角形，再以直角三角形的斜边长为半径，原点为圆心画
弧与数轴交点，可得点 ；
（4）根据 ，可得结论．
【详解】（1）解：∵面积为 的大正方形的边长为❑√2，
∴小正方形的对角线长为 ，数轴上点 可以看成数字1向左移动❑√2个单位长度，表
示的数为 ．
故答案为： ， ；
（2）解：阴影部分的面积 ，
∴正方形边长为 ．
故答案为：17， ；
（3）解：如图，点 即为所求；
（4）解： ，
∴点 向右移动 得到点 ，此时点 表示的数为 ；
点 向左移动 得到点 ，此时点 表示的数为 ．
点 表示的数为 或 ．
声明：试题解析著作权属所有
拔高拓展
，未1．数轴上 、 两点分别对应实数 和 ，点 、 关于点 对称，则点 的位置
在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，根据题意，设点 对应的实数为 ，
由点 、 关于点 对称，点 、 两点分别对应实数 和 ，利用中点坐标公式，
可得出 ．再根据估算无理数的大小，得出 ，即可得出答案．
【详解】解：设点 对应的实数为 ，依题意，
又
即
，则点 的位置在 和 之间
故选：D．
2．【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有
理数；反之为无理数．如 不能表示为两个互质的整数的商，所以 是无理数．可以这
样证明：
设 ，a与b是互质的两个整数，且 ，
则
即 ① ．
因为b是整数且不为0，
所以a是不为0的偶数．设 （n是整数，且 ），
则 ．
所以 ② ．
所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．
所以 是无理数．
【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
(2)证明： 是无理数，
【答案】(1)①表示的代数式 ；②表示的代数式
(2)证明见解析
【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三．
（1）根据等式性质得出结论即可；
（2）类比 是无理数的证明进行证明即可．
【详解】（1）解：设 ，a与b是互质的两个整数，且 ，
则
即 ．
因为b是整数且不为0，
所以a是不为0的偶数．
设 （n是整数，且 ），
则 ．
所以 ．
所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．
所以 是无理数．（2）设 ，a与b是互质的两个整数，且 ，则 ，
所以 ，
∵a，b是整数且不为0，
∴a为7的倍数．
设 （n是整数），
∴ ，
∴b也是7的倍数，与a与b是互质的整数矛盾，
∴ 是无理数．
3．如图，半径为1个单位的圆片上有一点 与数轴上的原点重合， 是圆片的直径．
(1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的数是 数（填
“无理”或“有理”），这个数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次
运动情况记录如下： ， ， ， ， ．
①第几次滚动后， 点距离原点最近？第几次滚动后， 点距离原点最远？
②当圆片结束运动时， 点运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
【答案】(1)无理，
(2) 或
(3)①第4次滚动后， 点距离原点最近；第3次滚动后， 点距离原点最远；②当圆片结
束运动时， 点运动的路程共有 ，此时点 所表示的数是
【分析】本题主要考查了正数和负数的应用、用数轴上的点表示有理数、绝对值的应用、
有理数运算等知识，理解题意，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
（1）根据圆片半径，可知把圆片沿数轴向左滚动1周，点 到达数轴上点 的位置，点
表示的数是 ，即可获得答案；
（2）分圆片沿数轴向左滚动2周和向右滚动2周两种情况，分别求解即可；（3）①求出每一次滚动后所表示的数，然后比较绝对值的大小，即可获得答案；②将各数
的绝对值进行求和，然后根据圆的周长计算公式得出答案；将各数进行相加，乘以圆的周
长即可得出答案．
【详解】（1）解：把圆片沿数轴向左滚动半周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的
数是无理数，这个数是 ．
故答案为：无理， ；
（2）把圆片沿数轴向左滚动2周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的数是
，
把圆片沿数轴向右滚动2周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的数是 ．
故答案为： 或 ；
（3）①第1次滚动后， 点表示的数为 ，
第2次滚动后， 点表示的数为 ，
第3次滚动后， 点表示的数为 ，
第4次滚动后， 点表示的数为 ，
第5次滚动后， 点表示的数为 ，
∵ ，
∴第4次滚动后， 点距离原点最近；第3次滚动后， 点距离原点最远；
② ，
，
即当圆片结束运动时， 点运动的路程共有 ；
，
即当圆片结束运动时，点 所表示的数是 ．
