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8.3 实数及其简单运算（第一课时 实数的概念）（分层作业）
基础训练
1．下列各实数中，不是无理数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在实数 ， ， ， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列命题中：①无理数都是无限小数；② 的平方根是 ；③无理数与数轴上的点
一一对应；④两个无理数的和一定是无理数；正确的语句个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，数轴上点P表示的数可能是（）
A． B． C． D．
5．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为 ，点B到点A的距离为1个单位长度，
则点B所表示的数为____________________
6．在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点B关于点A的对称点为C，则
C所表示的数为_______________
7.在数轴上的 ， 两点表示的数分别为 和 ，则 ， 两点之间表示整数的点共有
__________________
8．现有四个实数：① ，② ，③ ，④
(1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
(2)请在数轴上近似表示出以上四个实数．(3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“ ”连接．
______ ______ ______ ______
9．把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）：
① ，②π，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ，⑨0，⑩
（每两个1之间依次多一个0）．
正数：{ …}；
整数：{ …}；
分数：{ …}；
非负有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}．
能力提升
1．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的 的值为16时，输出的 的值为
（ ）
A．4 B． C． D．2
2．如果实数 ，那么a， ， ， 自小到大顺序排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七年级上·江苏·专题练习）在 ， ， ，0.3，0， ，21， ， ，
（每两个1之间的0个数逐次增加 中正数有 个，非负整数有 个，正分数
有 个，则 ．4．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．（ ）
(2)无理数都是无限小数．（ ）
(3)无限小数都是无理数．（ ）
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（ ）
(5)不带根号的数都是有理数．（ ）
(6)带根号的数都是无理数．（ ）
(7)有理数都是有限小数．（
(8)实数包括有限小数和无限小数．（ ）
5．比较大小：① 0；② ；③ ．
6．阅读下面的文字，解答问题：
如图1，教材P 页有这样一个探究：把两个边长为 的小正方形分别沿对角线剪开，将
21
所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为 的大正方形，试根据这个研
究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为 的大正方形的边长就是原先边长为 的小正方形的对角线长，因
此，可得小正方形的对角线长为_______ ；如图2，数轴上点A表示的数是______；
(2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长
是______；(3)如图4，在数轴上作出（2）中正方形边长的对应点P（要求尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）；
(4)在（3）题的数轴上，表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且 ，直接写出点
N表示的数．
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拔高拓展
，未
1．数轴上 、 两点分别对应实数 和 ，点 、 关于点 对称，则点 的位置
在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
2．【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有
理数；反之为无理数．如 不能表示为两个互质的整数的商，所以 是无理数．可以这
样证明：
设 ，a与b是互质的两个整数，且 ，
则
即 ① ．
因为b是整数且不为0，
所以a是不为0的偶数．
设 （n是整数，且 ），
则 ．
所以 ② ．
所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．
所以 是无理数．【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
(2)证明： 是无理数，
3．如图，半径为1个单位的圆片上有一点 与数轴上的原点重合， 是圆片的直径．
(1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的数是 数（填
“无理”或“有理”），这个数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点 到达数轴上点 的位置，点 表示的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次
运动情况记录如下： ， ， ， ， ．
①第几次滚动后， 点距离原点最近？第几次滚动后， 点距离原点最远？
②当圆片结束运动时， 点运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
