文档内容
8.3 实数及其简单运算【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 无理数】..................................................................................................................................................2
【必考点1 无理数的定义】......................................................................................................................................2
【知识点2 实数的概念及分类】..............................................................................................................................3
【必考点2 实数的分类】..........................................................................................................................................3
【知识点3 实数与数轴的关系】..............................................................................................................................6
【必考点3 实数在数轴上的表示】..........................................................................................................................6
【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】.................................................................................................8
【必考点5 实数的性质综合运用】..........................................................................................................................9
【知识点4 实数的运算】........................................................................................................................................12
【必考点6 实数的混合运算】................................................................................................................................13
【必考点7 实数的新定义运算】............................................................................................................................15
【知识点5 实数大小比较】....................................................................................................................................16
【必考点8 无理数的大小比较】............................................................................................................................17
【必考点9 无理数的估算】....................................................................................................................................18
【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】.............................................................................................20
【知识点1 无理数】
1.定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.
2.常见的无理数形式：
①开方开不尽的数，如 ， 等；
②化简后含有π的数，如π， ；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…
【必考点1 无理数的定义】
22 1
【例1】在实数❑√4， ，− ，0.3 ⋅ 01 ⋅ ， ，√3 9，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无
7 3
π
理数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据无理数的意义逐个数进行判断即可．22 1
⋅ ⋅
【解答】解：❑√4=2， ，− ，0.301 都是有理数，
7 3
而 ，√3 9，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）都是无限不循环小数，因此是无理数，
所以π无理数的个数有3个，
故选：A．
【变式1】实数3.14， ❑√3 ，√38，0，
5.6
. ，− 3 π，❑√9，− 1 ，√3−16，﹣2.5656656665⋯（相邻两个5之
2 5 3
间6的个数逐次加1）．其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
【分析】根据无限不循环的小数判断即可．
【解答】解：无理数的定义：无限不循环的小数，
∵√38=2，❑√9=3，
1
∴有理数为：3.14，√3 8，
5.6
. ，0，❑√9，− ；
3
❑√3 3
∴无理数为： ，− π，√3−16，﹣2.5656656665…（相邻两个5之间6的个数逐次加1），共4个，
2 5
故选：A．
22 2π
【变式2】在 ， ，❑√2，−❑√3，√3−8，−❑√16，3.14，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数
7 3
逐次加1）中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
2π
【解答】解： ，❑√2，−❑√3，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无限不循环
3
小数，它们均为无理数，
即无理数的个数是4个，
故选：C．
1
【变式3】已知实数：❑√2， ， ，0，3.1415926，√35，0.2 ⋅
5
⋅ ，❑√(−4) 2，0.1010010001…（两个1之间依
3
π
次多一个0），则无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先求出❑√(−4) 2=4，然后再根据无理数的定义一一判断即可．【解答】解：❑√(−4) 2=4，4是有理数，
1
在❑√2， ， ，0，3.1415926，√35，
0.2
.
5
. ，❑√(−4) 2，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）无
3
π
理数有：❑√2， ，√35，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）一共4个，
故选：C． π
【知识点2 实数的概念及分类】
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按定义分：实数
按符号分：实数
【必考点2 实数的分类】
【例1】把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
π 22
①− ，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥ ，
3 7
1
⑦−|− |．
3
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【分析】利用实数的分类逐一判断各个数即可．
【解答】解：整数集合：②③．
负分数集合：⑤⑦．
正有理数集合：③⑥．
无理数集合：①④．
故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④．【变式1】把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
11 π
①− ，②√32，③1−❑√4，④0，⑤❑√0.4，⑥√3−125，⑦− ，⑧0.13030030003•••（相邻的
12 4
⋅⋅
两个3之间依次多1个0），⑨0.23 ，⑩3.14．
（1）整数集合：{ }：
（2）分数集合：{ }，
（3）无理数集合：{ }．
【分析】（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
11
【解答】解：（1）①− 是分数，②√32是无理数，③1−❑√4=1−2=−1是整数，④0是整数，⑤
12
π
❑√0.4是无理数，⑥√3−125=−5是整数，⑦− 是无理数，⑧0.13030030003•••（相邻的两个3之间
4
⋅⋅
依次多1个0）是无理数，⑨0.23 是分数，⑩3.14是分数．
整数集合：{③④⑥}：
故答案为：③④⑥．
（2）分数集合：{①⑨⑩}，
故答案为：①⑨⑩．
（3）无理数集合：{②⑤⑦⑧}．
故答案为：②⑤⑦⑧．
【变式2】把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
11 π
①− ，②√32，③1−❑√4，④0，⑤−❑√0.4，⑥√3−125，⑦− ，⑧0.13030030003…（相邻的
12 4
. .
两个3之间依次多1个0），⑨0.23 ，⑩3.14．
（1）负实数集合： ；
（2）分数集合： ；
（3）无理数集合： ．【分析】（1）根据负实数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【解答】解：（1）由题意知，1−❑√4=1−2=−1，√3−125=−5，
11 π
∴− ，1−❑√4，−❑√0.4，√3−125，− 是负实数，
12 4
故答案为：①③⑤⑥⑦；
11 . .
（2）由题意知，− ，
0.23
，3.14是分数，
12
故答案为：①⑨⑩；
π
（3）由题意知，√32，−❑√0.4，− ，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，
4
故答案为：②⑤⑦⑧．
【变式3】将下列各数填在相应的集合里．
5
√3512， ，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（每两个3之间依次多1个0），0， ，√3 9，❑√(−7) 2
11
π
，❑√0.1．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
整数集合：{ …}．
【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外
的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．
5
【解答】解：根据定义知：有理数有：√3512，3.1415926，﹣0.456，0， ，❑√(−7) 2；
11
无理数有： ，3.030030003…，√3 9，❑√0.1；
π 5
正实数有：√3512， ，3.1415926，3.030030003…， ，√3 9，❑√(−7) 2，❑√0.1；
11
π
整数有：√3512，0，❑√(−7) 2；
5
故答案为：√3512，3.1415926，﹣0.456，0， ，❑√(−7) 2； ，3.030030003…，√3 9，❑√0.1；√3512，
11
π5
，3.1415926，3.030030003…， ，√3 9，❑√(−7) 2，❑√0.1；√3512，0，❑√(−7) 2；
11
π
【知识点3 实数与数轴的关系】
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴
上的点是一一对应的.
【必考点3 实数在数轴上的表示】
【例1】如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和❑√3，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所
对应的实数为（ ）
A．2❑√3−1 B．1+❑√3 C．2+❑√3 D．2❑√2+1
【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方
程求解．
【解答】解：设点C所对应的实数是x，
则有x−❑√3=❑√3−1，
解得：x=2❑√3−1，故A正确．
故选：A．
【变式1】如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（ ）
A．0 B．❑√2−1 C．√3−9 D．
【分析】考查用数轴上的点表示实数，关键是要准确理解选项所表示的π实数．
【解答】解：0是有理数，不符合题意．
❑√2−1≈0.414，是无理数且在线段AB上．
√3−9≈−2.0801， ≈3.14都是无理数但都不在线段AB上．
所以只有❑√2−1符π合题意．
故选：B．
【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、
如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E
在点A左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（ ）A．﹣1.5 B．1−❑√5 C．−❑√5 D．2−❑√5
【分析】根据正方形的面积为5得到AD=❑√5，再结合AD＝AE，点A表示的数为1，点E在点A的左
侧，然后确定点E表示的数即可．
【解答】解：∵正方形的面积为5，
∴AD=❑√5，
∵AD＝AE，
∴AD=AE=❑√5，
∵点A表示的数为1，且点E在数轴上（点E在点A左侧），
∴点E所表示的数为：1−❑√5．
故选：B．
【变式3】如图，已知线段OA，OB的长度分别是1，❑√3，以原点为圆心，分别以OA，OB的长为半径画
弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则a﹣b的值为（ ）
A．1−❑√3 B．−1+❑√3 C．−1−❑√3 D．1+❑√3
【分析】求出a和b，再计算a﹣b即可．
【解答】解：∵线段OA，OB的长度分别是1，❑√3，
∴b为−❑√3，a为﹣1，
∴a﹣b＝﹣1﹣（−❑√3）＝﹣1+❑√3，
故选：B．
【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】
【例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：❑√a2−|a+b|+|b−c|+√3 b3= ．
【分析】先算开方和绝对值，再算加减即可．
【解答】解：由数轴可知，a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，∴❑√a2−|a+b|+|b−c|+√3 b3
＝﹣a+a+b﹣b+c+b
＝b+c．
故答案为：b+c．
【变式1】已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：
❑√a2+√3 b3+|b+c|−❑√(a−b−c) 2= ．
【分析】先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可．
【解答】解：由图可知：a＜b＜0＜c，且|c|＞|b|，
∴b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣a+b+b+c﹣b﹣c+a＝b；
故答案为：b．
【变式2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请化简|c|−❑√(a−b) 2−❑√(b−c) 2+√3 b3．
【分析】根据数轴可得b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，则a﹣b＞0，b﹣c＜0，再去根号即可．
【解答】解：由图可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，
∴a﹣b＞0，b﹣c＜0，
∴|c|−❑√(a−b) 2−❑√(b−c) 2+√3 b3
＝﹣c﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+b
＝﹣c﹣（a﹣b）﹣[﹣（b﹣c）]+b
＝﹣a+3b﹣2c
【变式3】实数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）化简：❑√a2= ，|a+b|＝ ；
1
（2）先化简再求值：❑√(a+1) 2+❑√(b−2) 2，其中a是 的一个平方根，b是3的算术平方根．
4【分析】（1）由数轴得出﹣1＜a＜0，1＜b＜2，进一步判断出a+b＞0，再根据算术平方根、绝对值的
意义化简即可；
1
（2）由数轴判断出a+1＞0，b﹣2＜0，再根据算术平方根的意义化简，根据a是 的一个平方根，b是
4
3的算术平方根求出a、b的值，即可求出原式的值．
【解答】解：（1）由数轴得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+b＞0，
∴❑√a2=−a，|a+b|＝a+b，
故答案为：﹣a；a+b；
（2）由图可知﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣2＜0，
∴❑√(a+1) 2+❑√(b−2) 2=a+1+2−b=a−b+3，
1
∵a是 的一个平方根，b是3的算术平方根，﹣1＜a＜0，
4
1
∴a=− ，b=❑√3，
2
1 5
∴ ❑√(a+1) 2+❑√(b−2) 2=a−b+3=− −❑√3+3= −❑√3．
2 2
【必考点5 实数的性质综合运用】
【例1】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，点A表示−❑√2，设点B所表示的
数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且|2c+d|与❑√d+4互为相反数，求3c+d的值；
（3）在数轴上还有E点表示实数x，且1＜x＜m，化简：|x−1|+❑√(x−2) 2．
【分析】（1）由“蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B”即可求解；
（2）利用算术平方根和绝对值的非负性即可求解．
（3）先判定x﹣1＞0，x﹣2＜0，再化简即可．
【解答】解：（1）∵点A表示−❑√2，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，∴实数m的值是：−❑√2+3，
故答案为：−❑√2+3；
（2）∵|2c+d|与❑√d+4互为相反数，所以|2c+d|+❑√d+4=0．
∴2c+d＝0，d+4＝0，
∴c＝2，d＝﹣4，
∴3c+d＝2×3+（﹣4）＝2．
（3）∵1＜x＜m，m=−❑√2+3，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴|x−1|+❑√(x−2) 2
＝|x﹣1|+|x﹣2|
＝x﹣1+2﹣x
＝1．
【变式1】如图，在数轴上，点A表示的数❑√5，若把点A向左平移4个单位得到的点为B，设点B所表示
的数为m
（1）实数m的值是 ；
（2）求（4+m）2+|m+1|的值；
1
（3）在数轴上有一点C表示的实数是c，若BC= AB，求实数c的值．
2
【分析】（1）❑√5减去4即得；
（2）把第（1）小问中求得的m的值代入（4+m）2+|m+1|中化简即得；
（3）根据平移求出AB的长度，根据AB与BC的关系求出BC的长度，根据点C在点B的左边或右边
两种情况分类计算，求出实数c．
【解答】解：（1）实数m的值是❑√5−4；
故答案为：❑√5−4；
（2）当m=❑√5−4时，
(4+m) 2+|m+1|=(4+❑√5−4) 2+|❑√5−4+1|
=(❑√5) 2+|❑√5−3|=5+3−❑√5
=8−❑√5；
（3）由平移可得，AB＝4，
1
∵BC= AB，
2
1
∴BC= ×4=2，
2
∵B点表示的数为❑√5−4，
∴当点C在点B右边时，点C表示的实数是c为❑√5−4+2=❑√5−2；
∴当点C在点B左边时，点C表示的实数是c为❑√5−4−2=❑√5−6．
【变式2】已知一个数m的两个平方根分别为a和a−2❑√10．
（1）求m的值；
（2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧
且满足BA＝2AM，求b−3❑√10+28的立方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可；
（2）根据BA＝2AM，先求解b，可得b−3❑√10+28，再根据立方根的定义进行求解即可
【解答】解：（1）∵一个数m的两个平方根分别为a和a−2❑√10，
∴a+a−2❑√10=0，
解得：a=❑√10，
∴m＝a2＝10；
（2）∵点A表示的数是❑√10，点M表示的数是10，点B表示的数是b，点B在点A的左侧，
∴AB=❑√10−b，AM=10−❑√10，
∵BA＝2AM，
∴❑√10−b=2(10−❑√10)，
解得：b=3❑√10−20，
∴b−3❑√10+28
=3❑√10−20−3❑√10+28
＝8；
∴b−3❑√10+28的立方根是2；
【变式3】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示❑√3，设点A所表示的
数为m．（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值；
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与❑√d−4互为相反数，求2c+2d的平方
根．
【分析】（1）由题意可直接求出m的值即可；
（2）将（1）所求m=❑√3−2的值代入计算即可；
（3）根据相反数的定义可得出|2c+4|=❑√d−4=0，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出c＝
﹣2，d＝4，进而可求出的平方根．
【解答】解：（1）依题意得：m=❑√3−2，
故答案为：❑√3−2；
（2）由（1）得：m=❑√3−2，
∴(❑√3−2+2) 2+|❑√3−2+1|
=(❑√3) 2+|❑√3−1|
=3+❑√3−1
=❑√3+2；
（3）依题意得：|2c+4|+❑√d−4=0，
∴2c+4＝0，d﹣4＝0，
∴c＝﹣2，d＝4，
∴2c+2d＝2×（﹣2）+2×4＝4，
∴2c+2d的平方根为±2．
【知识点4 实数的运算】
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算
结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.【必考点6 实数的混合运算】
【例1】计算：
（1）(π−3.14) 0+❑√(−2) 2−√3−27；
√ 1
（2）❑√9+❑√(−4) 2×❑2 +√3−64−(−1) 2025．
4
【分析】（1）先根据零指数幂、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算
即可；
（2）先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的混合运
算法则计算即可．
【解答】解：（1）(π−3.14) 0+❑√(−2) 2−√3−27
＝1+2﹣（﹣3）
＝1+2+3
＝6；
√ 1
（2）❑√9+❑√(−4) 2×❑2 +√3−64−(−1) 2025
4
√9
=3+4×❑ +(−4)−(−1)
4
3
=3+4× −4+1
2
＝3+6﹣4+1
＝6．
【变式1】计算：
（1）(−3) 2+2×(❑√2−1)−|−2❑√2|．
（2）−22−(√3−8+8)+❑√(−6) 2−|❑√7−3|．
【分析】（1）先计算乘法及化简各式，然后再加减计算即可解答；
（2）先根据乘方、立方根、算术平方根及绝对值的运算法则化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）原式=9+2❑√2−2−2❑√2=7；
（2）原式=−4−(−2+8)+6−(3−❑√7)
=−4−6+6−3+❑√7=❑√7−7．
【变式2】计算：
（1）❑√25+|❑√2−1|+√3−27−(−1) 2024；
√16
（2）−12+(√3−64+8÷❑ )×(−3) 2．
25
【分析】（1）先化简二次根式、计算绝对值、立方根和乘方，再计算加减即可；
（2）先化简二次根式、立方根和乘方，再计算括号内的，最后计算乘法和加减即可．
【解答】解：（1）原式＝5+❑√2−1﹣3﹣1
=❑√2；
4
（2）原式＝﹣1+（﹣4+8÷ ）×9
5
＝﹣1+6×9
＝﹣1+54
＝53．
【变式3】计算下列各式的值：
1
（1）❑√2(❑√2+2)+|3−2❑√2|+❑√3( −❑√3)；
❑√3
（2）❑ √ 1 24 − √ 3 8 +(❑√5) 2+√3 (−4) 3．
25 125
【分析】（1）先利用乘法分配律和绝对值进行计算，最后计算加减；
（2）先计算二次根式、立方根，再计算加减．
1
【解答】解：（1）❑√2(❑√2+2)+|3−2❑√2|+❑√3( −❑√3)
❑√3
＝2+2❑√2+3﹣2❑√2+1﹣3
＝3；
（2）❑ √ 1 24 − √ 3 8 +(❑√5) 2+√3 (−4) 3
25 125
7 2
= − +5﹣4
5 5
＝2．【必考点7 实数的新定义运算】
{ b(a≤b) )
【例1】对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b = ，则❑√7★（❑√2★❑√3）＝（
❑√a2−b2 (a＞b)
）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】先依据法则知❑√2★❑√3=❑√3，据此得出原式=❑√7★❑√3，再次利用法则计算可得．
【解答】解：∵❑√2＜❑√3，
∴❑√2★❑√3=❑√3，
则原式=❑√7★❑√3
=❑√(❑√7) 2−(❑√3) 2
=❑√7−3
=❑√4
＝2，
故选：B．
【变式1】对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}
＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知，min{❑√15，x}＝x，min{❑√15，y}=❑√15，且x和y为两个连续
正整数，则❑√4x+ y的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根据题意求出x、y的值即可得到答案．
【解答】解：由题意得：❑√15＞x，❑√15＜y，
由于x和y为两个连续正整数，
3＜❑√15＜4，
∴x＝3，y＝4，
❑√4x+ y=❑√4×3+4=4的算术平方根为2，
故选：D．
【变式2】对于实数a、b，定义max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}
＝b．例如：max{1，﹣2}＝1．已知max{❑√29，a}=❑√29，max{❑√29，b}＝b，且a和b为两个连续正
整数，则ab﹣（❑√29）2的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】由题意求得a＝5，b＝6，即可求得ab﹣（❑√29）2＝30﹣29＝1，进一步求得ab﹣（❑√29）2的立方根为1．
【解答】解：∵max{❑√29，a}=❑√29，max{❑√29，b}＝b，
∴❑√29≥a，❑√29＜b，
∵a和b为两个连续正整数，
∴a＝5，b＝6，
∴ab﹣（❑√29）2＝30﹣29＝1，
∴ab﹣（❑√29）2的立方根为1，
故选：B．
{a(若a≥b)) {b(若a≥b))
【变式3】对任意两个实数a，b定义两种运算：a b = ，a b = ，并且定义
b(若a＜b) a(若a＜b)
⊕ ⊗
运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，[（﹣2） 3] 2＝2．那么（
❑√5 2） √327等于（ ） ⊕ ⊗ ⊕ ⊗
A．⊕❑√5 ⊗ B．3 C．6 D．3❑√5
【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】解：（❑√5 2） √327
=❑√5 3 ⊕ ⊗
=❑√5⊗，
故选：A．
【知识点5 实数大小比较】
1.利用数轴比较实数大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小。
2.无理数大小的比较
估算法：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．例
如： ，则 ； ，则 ．常见实数的估算值： ， ， ．
【必考点8 无理数的大小比较】
❑√2−1 1
【例1】比较大小：❑√2 √33； ；﹣7 −❑√50．
3 3
【分析】根据实数大小的比较即可
【解答】解：∵(❑√2) 3=2❑√2≈2×1.4≈2.8，(√33) 3=3，
∴❑√2＜√33；
∵❑√2−1＜1，
❑√2−1 1
∴ ＜ ；
3 3
∵72＝49，(❑√50) 2=50，
∴49＜50，
∴7＜❑√50，
∴−7＞−❑√50．
故答案为：＜；＜；＞．
❑√6+1 3
【变式1】比较大小： （”用“＞”“＜”“＝”填空）．
2 2
❑√6+1 3
【分析】应用放缩法，判断出❑√6+1与3的大小关系，进而推出 与 的大小关系即可．
2 2
【解答】解：∵❑√6+1＞2+1，2+1＝3，
∴❑√6+1＞3，
❑√6+1 3
∴ ＞ ．
2 2
故答案为：＞．
【变式2】比较大小：√36 2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】首先分别求出√36与2的立方的值，比较出它们的立方的大小关系，进而可得出结论．
【解答】解：∵（√36）3＝6，23＝8，6＜8，
∴√36＜2．
故答案为：＜．
【变式3】比较大小：﹣3❑√5 ﹣5❑√2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】首先求出﹣3❑√5、﹣5❑√2的平方，比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的这个数反而小，判断出﹣3❑√5、﹣5❑√2的大小关系即可．
【解答】解：(−3❑√5) 2=45，(−5❑√2) 2=50，
∵45＜50，
∴﹣3❑√5＞−5❑√2．
故答案为：＞．
【必考点9 无理数的估算】
【例1】若a﹣1＜❑√13＜a，且a为整数，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先估算❑√13在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出a即可．
【解答】解：❑√9＜❑√13＜❑√16，即3＜❑√13＜4，
∵a﹣1＜❑√13＜a，
∴a＝4，
故选：A．
【例2】估计❑√81−❑√7的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定
【分析】首先可求出❑√81=9，然后根据4＜7＜9得2＜❑√7＜3，据此可得出﹣3＜−❑√7＜−2，然后根
据不等式的性质可得出6＜9−❑√7＜7，据此可得出答案．
【解答】解：∵❑√81=9，4＜7＜9，
∴2＜❑√7＜3，
∴﹣3＜−❑√7＜−2，
∴﹣3+9＜9−❑√7＜−2+9，
∴6＜9−❑√7＜7，
即：6＜❑√81−❑√7＜7，
∴❑√81−❑√7的值在6和7之间，
故选：B．
【变式1】设n为正整数，且n＜❑√66−1＜n+1，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵64＜66＜81，
∴8＜❑√66＜9，∴7＜❑√66−1＜8，
∴n＝7．
故选：C．
【变式2】若a，b均为正整数，且a＞❑√13，b＞√3 9，则a+b的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由a，b均为正整数，且a＞❑√13，b＞√3 9，推出a＞3，b＞2，由此即可解决问题．
【解答】解：∵a＞❑√13，b＞√3 9，
∴a＞❑√13＞3，b＞√3 9＞2，
∵a，b均为正整数，且最小正整数为：a＝4，b＝3，
∴a+b的最小值为7，
故选：B．
【变式3】正整数a、b分别满足√354＜a＜√3 96，❑√3＜b＜❑√7，则ba＝（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【分析】利用无理数的估算求得a，b的值后代入ba中计算即可．
【解答】解：∵54＜64＜96，3＜4＜7，
∴√354＜4＜√3 96，❑√3＜2＜❑√7，
∴a＝4，b＝2，
∴ba＝24＝16，
故选：A．
【变式4】已知7+❑√15的整数部分是a，15−❑√7的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A．12−❑√7 B．13−❑√7 C．14−❑√7 D．15−❑√7
【分析】先估算出❑√15及−❑√7的值，从而估算出7+❑√15与15−❑√7的值，进而求出a，b的值，进行计
算即可解答．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜❑√15＜4，
∴10＜7+❑√15＜11，
∴7+❑√15的整数部分是：10，
∴a＝10，
∵−3＜−❑√7＜−2，
∴12＜15−❑√7＜13，∴15−❑√7的小数部分是15−❑√7−12=3−❑√7，
∴b=3−❑√7，
∴a+b=10+3−❑√7=13−❑√7，
故选：B．
【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】
【例1】阅读材料
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算❑√14的近似值．
小明的方法：∵❑√9＜❑√14＜❑√16，设❑√14=3+k（0＜k＜1），
∴(❑√14) 2=(3+k) 2，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k，
5 5
解得，k≈ ，∴❑√14≈3+ ≈3.83．
6 6
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算❑√30的近似值．
（2）已知非负整数a、b、m，若a＜❑√m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算❑√m的近似值（用含
a、b的代数式表示）．
【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出❑√30=5+k（0＜k＜1），再根据
题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
【解答】解：（1）∵❑√25＜❑√30＜❑√36，
设❑√30=5+k（0＜k＜1），
∴（❑√30）2＝（5+k）2，
∴30＝25+10k+k2，
∴30≈25+10k．
1
解得k≈ ，
2
1
∴❑√30≈5+ ≈5+0.5＝5.5；
2
（2）设❑√m=a+k（0＜k＜1），
∴m＝a2+2ak+k2≈a2+2ak，
∵m＝a2+b，
∴a2+2ak＝a2+b，b
解得k= ，
2a
b
∴❑√m≈a+ ．
2a
【变式1】阅读与思考：
【阅读理解】：明明同学在探索❑√126的近似值的过程如下：
∵面积为126的正方形的边长是❑√126且11＜❑√126＜12，
∴设❑√126=11+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积S正方
形
＝112+2×11×x+x2，
又S正方形 ＝126，
∴112+2×11×x+x2＝126，
当x2＜1时，可忽略x2得22x+121＝126，得到x≈0.23，
即❑√126≈11.23．
（1）直接写出❑√253的整数部分的值；
（2）仿照上述方法，探究❑√253的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数❑√253的大小即可；
（2）根据题目所提供的方法进行计算即可．
【解答】解：（1）∵❑√225＜❑√253＜❑√256，
∴15＜❑√253＜16，
∴❑√253 的整数部分是15；
（2）所画的示意图如下：∵面积为253的正方形的边长是❑√253，
∴15＜❑√253＜16，
∵设❑√253=15+x，其中0＜x＜1，
由示意图可得图中大正方形的面积S＝152+2×15×x+x2，
又∵S大正方形 ＝253．
∴152+2×15×x+x2＝253，
当x2＜1 时，可忽略x2得30x+225≈253，
得到x≈0.93，
∴❑√253≈15.93．
【变式2】在数学课上“说不完的❑√2”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
（1）❑√2到底有多大？下面是龙龙探索❑√2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是❑√2，且❑√2＞1.4，设❑√2=1.4+x，画出如图1的示意图：
由图形面积可得x2+2×1.4x+1.96＝2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 ，解得x≈ （保留到0.001），即❑√2≈
．
（2）请仿照上述探究过程探究❑√7的大小．
已知：❑√7＞2.6，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出❑√7的近似值（保留到0.001）．【分析】（1）根据题目所提供的方法进行解答即可；
（2）按照（1）的方法解答，即设❑√7=2.6+y，由图形面积可得y2+2×2.6y+6.76＝7，略去y2，得方程
5.2y+6.76＝7，求出y的值即可．
【解答】解：（1）设❑√2=1.4+x，由图形面积可得，
x2+2×1.4x+1.96＝2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96＝2，解得x≈0.014，即❑√2≈1.414．
故答案为：2.8x+1.96＝2，0.014，1.414；
（2）设❑√7=2.6+y，由图形面积可得，
y2+2×2.6y+6.76＝7．
因为y值很小，所以y2更小，略去y2，得方程5.2y+6.76＝7，解得y≈0.046，即❑√7≈2.646．
【变式3】阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的
方法来探索无理数的近似值．
我们知道，面积为2的正方形的边长为❑√2，易知❑√2＞1．因此可设❑√2=1+x，并画出了如图1所示的
示意图．根据图1中面积关系，得x2+2x+1＝2．忽略去x2，得2x+1≈2．解得x≈0.5
∴❑√2=1+x≈1.5．
易知❑√2＜1.5．因此可设❑√2=1.5−y，并画出如图2所示的示意图．…
（1）上述分析过程中，主要运用的数学思想是 ；
A．数形结合思想
B．统计思想
C．分类讨论思想
（2）把上述内容结合如图2所示的示意图，计算出❑√2更加准确的近似值（结果精确到0.001）
【分析】（1）由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想；（2）根据图2中面积关系，得y2+2y（1.5﹣y）+2＝1.52，整理后略去y2，求出y的近似值，然后根据
❑√2=1.5−y可得答案．
【解答】解：（1）上述分析过程中，主要运用的数学思想是数形结合思想，
故选：A；
（2）根据图2中面积关系，得y2+2y（1.5﹣y）+2＝1.52，
整理得：﹣y2+3y+2＝2.25，
略去y2，得3y+2≈2.25，
解得y≈0.0833，
∴．
