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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题13 三角函数与解三角形 多选题 （新高考通用）
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． 在 上单调递增 D． 在 上有且仅有四个零点
【答案】BD
【分析】根据图象求得 ，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正
确答案.
【详解】由图可知， ，
所以 ，
，所以 ，
，
由于 ，所以 ，A选项错误.
所以 ，
当 时， ，所以 ，B选项正确.当 时， ，
所以 在 上单调递减，C选项错误.
当 时， ，
所以当 时， ，
即 在 上有且仅有四个零点，D选项正确.
故选：BD
2．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示， ，则（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 在 上的值域为
C．
D．曲线 在 处的切线斜率为
【答案】AC
【分析】首先根据函数图象，先求函数的解析式，利用代入法分别判断函数的单调性
和值域，即可判断AB；
根据对称性，得 ，消元后，利用利用 ，即可判断C；
利用导数的几何意义，求切线的斜率，即可判断D.【详解】由 ，即 ，
而 ，所以 ，
由 ，得 （五点法），
所以 ，则 ．
对于A，当 时， ，此时函数 单调递减，所以A正
确；
对于B，当 时， ，所以 ，
所以函数 在 上的值域为 ，所以B错误；
对于C，令 得 ，由三角函数图象的对称性得 ，
所以
，所以C正确；
对于D， ，则 ，所以D错误．
故选：AC．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的有
（ ）
A． 在 上单调递增
B．若 ，则
C．函数 的图象可以由 向右平移 个单位得到D．若函数 在 上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令 ，则 ，即 的单调增区间为 ，则
在 不单调，故选项 错误；
令 ，则 或 ，即 或 ，
由 ，则 或 ， ，即 或 ，故
选项 正确；
向右平移 个单位变为
故选项 错误；
对于 ， ，
在 上恰有两个极大值点，即 ，
即 ，故选项 正确.
故选：
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）将函数 的图象向左平移
个单位长度得到 的图象，则（ ）
A． 在 上是减函数
B．由 可得 是 的整数倍
C． 是奇函数
D．函数 在区间 上有 个零点【答案】AC
【分析】对于A，确定 的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，
举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定 的解析式，
再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.
【详解】由题意知 ，
对于A.当 时， ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上是减函数，A正确
对于B.当 ， 时， ，但 不是 的整数倍，B错
误
对于C.由题意，得 ，故 是奇函数，C正确
对于D.由 ，可得 .
当 时， ，
令 或 ，则 或 ，
因此 在 上有两个零点，而 含有 个周期，
因此 在区间 上有 个零点，D错误.
故选：AC.
5．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知 是函数的一个零点，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 只有一个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】ABD
【分析】先利用函数的零点解出 ，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质
判断ABC，利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题意得 ，所以 ， ，即
， ，
又 ，所以 时， ，故 ，
选项A：当 时， ，由正弦函数 图象可得
在 上单调递减，正确；
选项B：当 时， ，由正弦函数 图象可得
只有1个极值点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值
点，正确；
选项C，当 时， ， ，故直线 不是对称轴，错误；选项D，由 得 ，
所以 或 ， ，解得 或 ，
，
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为 即 ，正确；
故选：ABD
6．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 既是奇函数，又是周期函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值为 D． 在 上单调递增
【答案】AB
【分析】根据奇函数和周期函数的定义即可判断选项 ；根据对称轴的性质即可判断
选项 ；根据二倍角的余弦公式化简换元成关于正弦的三次函数，利用导数判断函数
的单调性求出最值，进而判断选项 ；利用导数的正负与函数的单调性的关系即可判
断选项 .
【详解】对于 ，因为函数 的定义域为 ，
又 ，所以函数 为奇函数；
又因为 ，所以函数 为周期函
数，故选项 正确；
对于 ，若函数 的图象关于直线 对称，则 成立，
因为 ，所以 ，故选
项 正确；
对于 ，因为函数 ，令 ，则函数可化为 ， ，令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，又因为
， ，所以函数 的最大值为 ，
故选项 错误；
对于 ，因为 ，若函数 在 上单调递增，则
在 上恒成立，取 ，则 ，故选项 错
误，
故选： .
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知函数
，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的一个周期是
C． 的最大值为 D． 是区间 上的减函数
【答案】BC
【分析】利用诱导公式判断 与 是否相等判断A，判断 与
是否相等判断B，利用三角函数及复合函数的单调性判断CD.
【详解】由 ，
对于A， ，
故A不正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，因为 ，所以 的最大值为 ，当 时， ，取得最大值，
所以 的最大值为 ，故C正确；
对于D， ，又函数连
续，故D错误；
故选：BC
8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数
，将函数 的图象向右平移 个单位长度，再
把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，则（ ）
A． 的周期为
B． 为奇函数
C． 的图象关于点 对称
D．当 时， 的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换得到 ，再由函数图象的变换得到
，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.
【详解】函数 ，
对于A选项：函数 的最小正周期为 ，所以A选项正确；
对于B选项：函数 的定义域为 ， ，则函数 是 上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到：
，
再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变）得到： ，
即函数 ，
对于C选项：令 （ ），解得： （ ），
当 时， ，此时 ，
即函数 的图象关于点 对称，所以C选项正确；
对于D选项：当 时， ，
由余弦函数的图象和性质得： ，即 ，
所以D选项错误；
故选：AC.
9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数 的
图象在 上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A． 在 上只有一个零点
B． 在 上可能有4个零点
C． 在 上单调递增D． 在 上恰有2个极大值点
【答案】ACD
【分析】求函数 的对称轴方程，由条件列不等式求 的范围，再求函数的零点，
判断A，B，求函数的单调区间判断C，求函数的极值点判断D.
【详解】由 ，可得 ，
所以函数 的对称轴方程为 ，
令 ，可得 ，
因为函数 的图象在 上恰有两条对称轴，
所以 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
令 ，可得 ，
当 时， 或 ，此时函数 在 上有两个零点，A错误；
令 ，可得 ，
当 时， 或 或 或 ，所以函数 在 上可能有4
个零点，B正确；
由 可得 ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以函数 在 上不是单调递增函数，C错误；由 可得 ，
所以当 时， ，此时函数 在 上有三个最大值，
故 在 上恰有3个极大值点，D错误；
故选：ACD.
10．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A． 是以 为周期的函数
B． 是曲线 的对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．若函数 在 上恰有2021个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据周期性定义判断A，由对称性定义判断B，在一个周期区间上 分类
讨论，并利用 与 的关系换元求得最值判断C，先研究函数在
上的零点个数然后根据周期性得 上周期性，从而得参数范围判断D．
【详解】因为
，
所以 是以 为周期的函数，故A正确；
又 ，
故B错误；
由A知只需考虑 在 上的最大值．
①当 时， ，
令 ，则 ，且 ，即，
则 ，易知 在区间 上单调递减．所以 的最大值为
，最小值为 ．
②当 时， ，
令 ，则 ，且 ，即
，
则 ，易知 在区间 上单调递增，所以 的最大值为
，最小值为 ，
综上可知：函数 的最大值为 ，最小值为 ，故C正确；
因为 是以 为周期的函数，可以先研究函数 在 的零点个数，易知
．
当 时，令 ，解得 或1，
在 上无解，
在 上仅有一解 ，
当 时，令 ，解得 或1．
在 上无解，
在 上无解．综合可知：函数 在 上有两个零点，分别为 和 ．
又因为 是以 为周期的函数，所以，若 ，则 在 上恰有 个零点．
又已知函数 在 上恰有2021个零点，所以 ，故D正确．
故正确的是ACD．
故选：ACD．
11．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 的图
象的一条对称轴为 ，则（ ）
A．当 时， 在 上存在零点
B． 是 的导数 的一个零点
C． 在区间 上单调，则
D．当ω为偶数时， 是偶函数
【答案】BC
【分析】根据三角函数的图象性质与周期之间的关系可判断A,C，根据对称轴与极值
点的关系可判断B，利用特殊值举反例可判断D.
【详解】对于A，当 时，周期 ，所以 ，
因为区间 的区间长度为 ，
所以 在 上不存在零点，
根据对称性可得， 在 上不存在零点，A错误；
对于B，因为图象的一条对称轴为 ，
所以 为函数 的一个极值点，所以 ，
所以 是 的导数 的一个零点，B正确；
对于C，因为 在区间 上单调，且图象的一条对称轴为 ，所以区间 的长度 ，即 ,也即 ，
解得 ，C正确；
对于D，例如， ，则 为奇函数，D错误；
故选:BC.
12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）2022年9月钱塘江多处出
现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一
股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似
函数 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 （
是函数 的导函数）的图像．已知当 时，两潮有一个交叉点，且破碎
的涌潮的波谷为 ，则（ ）
A． B．
C． 的图像关于原点对称 D． 在区间 上单调
【答案】BC
【分析】对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；
对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；
对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；
对于D，利用整体思想，整体换元结合余弦函数的性质，可得答案.
【详解】 ，则 ，由题意得 ，
即 ，故 ，因为 ，所以 ，由 则，
，故选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为 ，所以 的最小值为 ，即 ，得 ，所
以 ，则 ，
故选项B正确；
因为 ，所以 ，所以 为奇函数，
则选项C正确；
，由 ，得 ，因为函数 在
上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上不单调，则选项D错误，
故选：BC.
13．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数 ，将
的图像上所有点向右平移 个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵
坐标不变，得到函数 的图像．若 为奇函数，且最小正周期为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．函数 的图像关于点 中心对称
B．函数 在区间 上单调递减
C．不等式 的解集为
D．方程 在 上有2个解
【答案】ACD
【分析】根据图像变换求出函数 与 的解析式，利用三角函数的对称，单调性分别进行判断即可.
【详解】根据题意可得， ，
又因为 最小正周期为 ，则 ，且 ，则 ，
即 ，
又因为 为奇函数，则
解得 ，且 ，
所以当 时， ，所以 ，
则 ，
对于A，当 时， ，所以点 是 的对称中心，
故正确；
对于B，令 ，解得 ，所以 不是
的子集，故错误；
对于C，因为 ，即 ，
所以 ，解得 ，故正确；
对于D，分别画出 与 在 的图像，通过图像即可得到共有两个交点，故正确.
故选:ACD
14．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数 ，其图象
相邻对称轴间的距离为 ，点 是其中一个对称中心，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 图象的一条对称轴方程是
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，
再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到正弦函数 的图象
【答案】AB
【分析】由周期求出 ，由图像的对称性求出 的值，可得 的解析式，再利用正
弦函数的图像和性质，得出结论.
【详解】已知函数 （ ， ），
其图像相邻对称中轴间的距离为 ，故最小正周期 , ，
点 是其中一个对称中心， 有 ，
, ，由 ，∴ ，
可以求得 .最小正周期 ，故选项 正确；
由于 ，所以 是函数 图象的一条对称轴方程，故
选项 正确；时， 正弦曲线的先增后减，故选项 错误；
将函数 图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把
得到的图像向左平移 个单位长度，可得到 ，选项D错误.
故选： .
15．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数 （ ，
），将 的图像上所有点向右平移 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图像．若 为偶函数，且最小正周期为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的图像关于 对称
B． 在 上单调递增
C． 的解集为 （ ）
D．方程 在 上有3个解
【答案】BCD
【分析】先根据图像平移伸缩变换可得 ，再根据奇偶性和最
小正周期可求得 和 ，通过赋值法可判断A，根据整体代入法可判断B，通过余弦函
数图像的性质可判断C，通过正切函数图像的性质可判断D.
【详解】将函数 的图像上所有点向右平移 个单位长度，
得到 ，
然后横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
若 最小正周期为 ，则有 ，得 ，
又因为 为偶函数，
所以 ，即
又 ，所以 ， ，
故 ， ，
对于A， ，所以 的图像不关于 对称，A错误；
对于B，令 ，得 ， ，
当 时，函数 的单调递增区间为 ，
所以 在 上单调递增，B正确；
对于C，由 ，得 ，所以 ，
所以 （ ），
解得 （ ），C正确；
对于D， 等价于 ，
即 ，所以 ，
所以 （ ），即 （ ），
又 ，故当 时，可得 ， ， .即方程 在 上有3个解，D正确.
故选：BCD
16．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在 中，内角
所对的边分别为 ，下列命题中，正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在 中，若 ， ，则
C．在 中，若 ，则
D．在 中，
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD；由 确定角A，B的关
系判断C作答.
【详解】在 中，由 及正弦定理得： ，因此 ，A正确；
在 中，由 及正弦定理得： ，B正确；
在 中， ，则 ，因为 ，
则有 或 ，即有 或 ，当 时， ，
当 时，a与b不一定相等，C错误；
令 为 外接圆半径，则 ，于是
，D正确.
故选：ABD
17．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的奇函数，当
时， ，若函数 是偶函数，则下列结论正确的有
（ ）
A． 的图象关于 对称B．
C．
D． 有100个零点
【答案】ABD
【分析】根据条件可得 ， ， ，即函数 关于直
线 对称且周期为4的奇函数，利用周期性求出 ，判断选
项 ；再画出函数 与 的函数部分图象，数形结合判断它们的交点
情况判断选项 .
【详解】因为函数 是偶函数，则 ，即 ，
所以函数 关于直线 对称，故选项 正确；
又函数 为 上的奇函数，所以 ，则 ，即函数
是周期为4的奇函数，由 ，即 .
所以 ，故选项 正确；
， ，
所以 ，故选项 错误；
综上： ，作出 与 的函数部分图象如
下图所示：
当 时，函数 过点 ，
故 时，函数 与 无交点；由图可知：当 时，函数 与 有一个交点；
当 时，函数 的每个周期内与 有两个交点，共 个交
点，而 且 ，
即 时，函数 与 无交点；
当 时， 过点 ，
故当 时，函数 与 无交点；
由图可知：当 时，函数 与 有3个交点；
当 时，函数 的每个周期内与 有两个交点，共 个
交点，而 且 ，
即 时，函数 与 无交点；
综上，函数 共有 个零点，故选项 正确，
故选： .
【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的
函数值以及周期是解题关键.
18．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数 ，
且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 为偶函数 D．
【答案】AC
【分析】利用待定系数法求出 ，即可判断A；再根据正弦函数的单调性即可判断B；判断 的关系即可判断C；求导，再根据辅助角公式即可判断
D.
【详解】由 ，得 ，
又因 ，所以 ，故A正确；
，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 在 上不单调，故B错误；
，是偶函数，故C正确；
，
则 ，
其中 ，当且仅当 时，取等号，故D错误.
故选：AC.
19．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知函数，将 图象上所有的点的横坐标缩短到原
来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，若 在 上恰有一个最值点，则
的取值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】BCD
【分析】由题可得 ，然后根据正弦函数的性质，可得
，求出 的范围，再结合选项判断即可.
【详解】
.
由题意，可得 ，由 ，可得 .
因为 在 上恰有一个最值点，
所以 ，解得 ，
由选项可知A错误，BCD正确.
故选：BCD．
20．（2023·湖南株洲·统考一模）关于函数 有以下四个选项，
正确的是（ ）
A．对任意的a， 都不是偶函数 B．存在a，使 是奇函数
C．存在a，使 D．若 的图像关于 对称，则
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式将函数 化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为 ，其中 ， ，
对于A，要使 为偶函数，则 ，且 ，即对任意的a，
都不是偶函数，故正确；
对于B，要使 为奇函数，则 ，且 ，即不存在a，使
是奇函数，故正确；
对于C，因为 ，故错误；
对于D，若 的图像关于 对称，则 ， ，
解得 ，且 ，所以 ，即 ，故正确.
故选：AD
21．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数 （其中， ，
）， ， 恒成立，且 在区间 上单调，
则下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得 是偶函数 B．
C． 是奇数 D． 的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据题意得 为对称中心， 为对称轴，列出方程组进而可得 为
奇数，根据 在区间 上单调得 ，进而对 逐一分析即可.
【详解】由已知得 是 图像的一个对称中心，
直线 是 图像的一条对称轴，所以，
则 ，于是 ，即 为奇数，故C正确；
因为 在区间 上单调，
所以 得 ，
当 时 ，由于 ，
所以 ，即 ，
在 上单调，但 不是偶函数，满足 ；
当 时 ，由于 ，
所以 ，即 ，
在 上单调，但 不是偶函数，满足 ；
当 时 ，由于 ，
所以 ，即 ，
此时 在 上不单调，故 不合题意；
当 时 ，由于 ，
所以 ，即 ，
此时 在 上不单调，故 不合题意；
综上，选项A错误，选项B和D正确；
故选：BCD.
22．（2023·广东江门·统考一模）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）A． 的值域为 B． 的图像关于点 中心对称
C． 的最小正周期为 D． 的增区间为 （
）
【答案】AD
【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.
【详解】因为 ，所以 ，A正确；
，但 ，因此 的图象不可能关于点 成中心对
称，B错；
的最小正周期是 ，所以 的最小正周期是 ，C
错；
由 得 ， ， ，
时， ，易得 时， 递增， 时，
递减，又 的最小正周期是 ，
所以 的增区间是 （ ），D正确；
故选：AD．
23．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数 ，且
与 的值域相同；将 图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再
向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B． 为偶函数C． 的单调增区间为 D． 与 的图象在区间
内有2个交点
【答案】AC
【分析】根据函数求导公式以及三角函数的值域，可得A的正误；
根据三角函数图象变换，整理函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得B的正误，
利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得C的正误；
利用五点作图法作图，可得D的正误.
【详解】由 ，则 ，由 ，则 ，
故A正确；
由题意，可得 ，故B错误；
由 ，令 ，解得
，故C正确；
由题意，作图如下：
则 与 的图象在区间 内有3个交点，故D错误.
故选：AC
24．（2023·广东广州·统考一模）已知函数 的图像关于直线 对称，则（ ）
A．函数 的图像关于点 对称
B．函数 在 有且仅有2个极值点
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出 ，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计
算判断作答.
【详解】依题意， ，即 ，而 ，则 ，
，
对于A，因为 ，于是函数 的图像关于点 对称，
A正确；
对于B，当 时， ，而正弦函数 在 上有且只有两
个极值点，
所以函数 在 有且仅有2个极值点，B正确；
对于C，因为 ，又 ，因此 中一个为函数
的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数 的周期为 ，所以 的最小值为 ，C错
误；
对于D，依题意， ，
则，因此 ，D正确.
故选：ABD
25．（2023·广东湛江·统考一模）已知 ，函数 ，下列选项正
确的有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定
B错误；根据 在区间 上单调递增，列出不等式组，求得 的范围，得到
当 时，不等式有解，可判定C正确；由 在区间 上只有一个零点，列出
不等式组，求得 的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得 ，得 ，所以A正确；
当 时，可得 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得
，所以B错误；
若 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，
又因为 ，所以只有当 时，此不等式有解，即 ，所以C正确；
若 在区间 上只有一个零点，则 ，解得 ，所以D正确．
故选：ACD．
26．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知 均为第二象限角，
且 ，则可能存在（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式进行化简变形，得到 的关系，然后分类讨论即可.
【详解】
均为第二象限角，化简得：
若 ，则
在第二象限，故A错；
若 ，， 在第二象限
，此时
符合条件，故C正确；
当 ，由C选项可知，符合条件，此时均存在
， 的情况，故B,D正确；
故选：BCD.
27．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知函数
满足 ．下列说法正确的是（ ）．
A．
B．当 ，都有 ，函数 的最小正周期为
C．若函数 在 上单调递增，则方程 在 上最多有4个不相等
的实数根
D．设 ，存在 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A选项，赋值法得到 且 关于 中心对称；B选项，得到
，故 ；C选项，结合函数图象得到 ，即 ，先考虑 时，实数根的个数，
再由函数图象的伸缩变化得到 时根的情况，求出答案；
D选项，分析得到 ，即 在 有两个最大值点，故
，求出 ， ，根据最大值点个数列出不等式组，求出 的
取值范围.
【详解】对应A， 中，令 可得： ，故
，且 关于 中心对称，A正确；
对于B，因为 ， 恒成立，
不妨取 时，此时 之间的距离最长，求得的周期应为函数的最小周期，
∴ ，
∴ ，B错误；
对于C，画出大致图象，因为 关于 中心对称，
又 在 单调递增，
∴ ，
∴ ．
当 时，此时 ，故 ，
将 代入可得 ，解得： ，故 ，不妨令
令 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故令 或 或 或 ，解得： 或 或 或 .
所以 在 两个周期内存在四个根．
时，此时图象纵坐标不变，横坐标变大，整个函数图象拉伸，
故 在 至多4个根，C正确；
对于D， ，
， ，
即 ， ，即 ，
∴ ，
即 在 至少有两个最大值点，故 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
由于 ，所以 ，
① ，解得 ；② ，解得 ；
③ ，解得 ．②与③求并集为 ；
当 时， ，满足 在 至少有两个最大值点，
可知 ，D对．
故选：ACD．
【点睛】在三角函数 图象与性质中， 对整个图象性质影响最大，
因为 可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解 的取值范围是经常考察
的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，
找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此
部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
28．（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）已知函数
的图象关于点 对称，且存在 ，
使 在 上单调递增，则下列选项正确的是（ ）
A． 的最小正周期
B． 在 上单调递增
C．函数 的图象不可能关于点 对称
D．函数 在 内不存在极值点【答案】AC
【分析】A选项，依据周期的定义，计算 的范围可判断；B选项， 的单调增
区间在距对称中心前后 内，令 ，求出 的范围可判断结果；C选项， 的每
个对称中心间隔为 ，计算 对称中心的范围判断 是否在此范围内
即可； D选项， 的极值点为 ，依据周期的范围计算极值
点的范围，判断是否在 内可得结果.
【详解】解：A 选项： ， ，故A正确；
B选项：若存在 ，使 在 上单调递增，则 ，即 ，所
以 在 上不一定单调，故B错误；
C选项：因为 是 的对称中心，所以 也是 的对称
中心， ， ，
，所以 不是 的对称中心，故C正确；
D选项：函数 的极值为 的最值， 是 的对称中心，所以 的
最值点为 ，有 ，所以函数 在 内存在极值点，故D错误.
故选：AC
29．（2023·山东菏泽·统考一模）已知函数 ，下列命题正
确的有（ ）
A． 在区间 上有3个零点
B．要得到 的图象，可将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长
度
C． 的周期为 ，最大值为1
D． 的值域为
【答案】BC
【分析】 ，根据 的范围得出 的零点，即可判断A项；
根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得
，即可判断C项；由已知可得，
，换元根据导函数求解 在
上的值域，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得， .
因为 ，所以 ，
当 或 时，即 或 时，有 ，
所以 在区间 上有2个零点，故A项错误；对于B项，将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度得到函数
，故B项正确；
对于C项，由已知可得，
，
所以， 的周期 ，最大值为 ，故C项正确；
对于D项，
.
令 ， ， ，
则 .
解 ，可得 .
解 ，可得 ，所以 在 上单调递增；
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递减，在
上单调递减.且 ， ，
， .
所以，当 时， 有最小值 ；当 时， 有最大值 .
所以， 的值域为 ，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：求出 .令 ，
， .然后借助导函数求出 在 上的最
值，即可得出函数的值域.
30．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B． 在区间 上单调递增
C．将函数 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向
右平移 个单位长度，可得函数 的图象D．函数 的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数 的解析式，再分析判断
ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数 的周期 ，则 ，而 ，
即有 ，由 知， ，因此 ，A
正确；
显然 ，当 时， ，因此 单调递增，
B正确；
将 图象上各点横坐标变为原来的 得 ，再将所得图象向右平移 个
单位长度，得 ，
而 ，C错误；
由 ，得 ，令 ，则 ，
令 ，显然当 时， ，即恒有 ，函数
在 上无零点，
当 时， ，令 ， ，
函数 在 上都递减，即有 在 上递减，
，
，因此存在 ， ，
当 时， ，当 时， ，有 在 上递增，在 递减，
， ，
于是存在 ， ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上递减，在 递增， ，
，
从而函数 在 上存在唯一零点，而函数 周期为 ， 在
上单调递增，如图，
， ， ，
从而函数 在 上各有一个零点，又0是 的零点，即函数
在定义域上共有7个零点，
所以函数 的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图
象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个
函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
