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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练 专题20
函数的基本性质综合问题 多选题（新高考通用）
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足
，且 为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
【答案】BC
【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，
结合偶函数的定义及对称性意义判断CD作答.
【详解】依题意， 上的函数 ， ，则
，函数 的周期为4，A错误；
因为函数 是偶函数，则 ，函数 的图象关于 对
称，
且 ，即 ，函数 图象关于 对称，B正确；
由 得 ，则函数 为偶函数，C正确；
由 得 ，由 得
，
因此 ，函数 的图象关于 对称，D错误.
故选：BC
2．（2023·广东茂名·统考一模）已知函数 对 ，都有 ，为奇函数，且 时， ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图像关于点 中心对称
B． 是周期为2的函数
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据 为奇函数得 ,推出 ，判
断A；结合 ，推出 ，判断B；采用赋值法求
得 ，判断C;利用函数的周期性结合题设判断D.
【详解】由题意 为奇函数得 ，即 ，
故 的图像关于 中心对称，故A正确；
由 ， 得 ，
所以 ，即 是周期为4的函数，故B错误；
由 ，令 ，则 ，
故 ，故C正确；
时， ，
∵ 的周期为4，∴ ，故D正确，
故选:
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知定义域为 的函数 在 上单调递增， ，且图像关于 对称，则
（ ）
A． B．周期
C．在 单调递减 D．满足
【答案】AC
【分析】根据题意化简得到 ，得到 的周期为 ,结合
，求得 ，得到A正确，B错误；再由 的对称性和单调
性，得出 在 单调递减，可判定C正确；根据 的周期求得
， ， ，结合特殊函数 的图象，可
判定D不正确.
【详解】由 ，可得 的对称轴为 ，所以
又由 知： ，
因为函数 图像关于 对称，即 ，故 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 的周期为 ,所以 ，所以 ，
故A正确，B错误；
因为 在 上单调递增，且 ，所以 在 上单调递增，
又图像关于 对称，所以 在 上单调递增，
因为关于 对称，所以 在 上单调递减，
又因为关于 对称，可得函数 在 单调递减，故C正确；
根据 的周期为 ，可得 ，因为关于 对称，所以 且 ，
即 ，
由函数 在 上单调递减，且关于 对称，可得 在 上单调递增，
如图所示的函数 中，此时 ，
所以 不正确.
故选：AC.
【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性
有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单
调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数
的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用
单调性解决相关问题.
4．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设定义在 上的函数 与 的导函数
分别为 和 ．若 ， ，且 为奇函数，
则下列说法中一定正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由 得 ，结合 得
，即可令 求得 .对A，由 可判断其对称性；
对C，由 为奇函数可得 的周期、对称性及特殊值，从而化简；
对BD，由 ，结合C即可判断.
【详解】对A，∵ ，则 ，则 ，
又 ，所以 ，令 ，可得 ，即
.
所以 ，所以函数 的图象关于 对称，A错；
对C，∵ 为奇函数，则 图像关于 对称，且
，
∴ ， ， ， ，∴ .
又 ，∴ ，∴ 的周期
，
∴ ，C对；
对B， ，则 是周期 的函数，
，B对；
对D，
，D
错.
故选：BC.
5．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）定义在R上的奇函数 满足，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 时，
C． D．
【答案】AC
【分析】根据函数的满足 ，可确定函数的周期性，从而可判断A；结合
周期性由 时的解析式即可得 时的解析式，从而可判断B；根据函数
周期性与对称性即可判断C，D.
【详解】因为函数 的 ，所以 ，则
，故函数 的周期为 ，所以 ，故A正确；
又当 时， ，则当 时， ，
，故B不正确；
由周期可得 ，又函数 是R上的
奇函数 ，
所以 ，即 ，所以
，故C正确；
当 时， ，所以 ，又因为
，所以 ，
，则 ，所以
，故D不正确.
故选：AC.
6．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋
2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ ＋b，若f(0)＋f(3)＝－1，则（ ）
A．b＝－2 B．f(2023)＝－1
C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于 对称
【答案】AC
【分析】根据f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，求出函数f(x)的周期，并结合f(0)＋
f(3)＝－1求出a，b的值，即可判断A；由f(x)的周期可求出f(2023)即可判断B；f(x＋
2)为偶函数得 ，结合f(x)的周期即可判断C；由
即可判断D．
【详解】 为奇函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
又 为偶函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
，用 替换 ，则 ，
，则 的一个周期为4，
由 ，解得 ，故A正确；
，故B错误；由 ，得 ，得 为偶函数，故C正确；
时， ， 不关于 对称，故D错
误，
故选：AC．
7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知奇函数 满足 ，
当 时， ，且 ，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意可知函数 是周期 的周期函数，利用周期性可求出a的值.
【详解】由题意函数
是周期 的周期函数，
，
若 ，则 ， .
所以 ， ，
则 的所有可能取值为 ，
经验证可知A，C正确，
故选：AC.
8．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知 为偶函数，
且 恒成立．当 时 ．则下列四个命题中，正确的是
（ ）
A． 的周期是 B． 的图象关于点 对称
C．当 时， D．当 时，【答案】ACD
【分析】由 可以得出函数 的周期，判断选项A；由于 又
是偶函数， 可以推出函数的对称性，判断选项B； 是偶
函数及周期性，判断选项C，D.
【详解】由 得， ，所以 的周期是
．A正确．
因为 是偶函数，所以 就是 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称．B不正确．
根据偶函数的对称性，C显然正确．
当 时， ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，即 ．
所以D正确．
故选：ACD．
9．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知 是定义在 上的奇函数，
，设 ，则（ ）
A．函数 的周期为 B．
C． 是偶函数 D．
【答案】ABD
【分析】先由函数是奇函数， ，可判断函数的周期，再根据周期性可将
选项B中的函数值转化，由函数奇偶性的定义判断 是奇函数，根据函数周期性可以推得 ，进而求得 .
【详解】对于A：因为 ，所以 是
周期为 的函数，故A正确；
对于B：因为 的周期为 ，所以 ，所以 ，
，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 是奇函数，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
，
，故D正确.
故选：ABD．
10．（2023·云南·统考一模）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的
奇函数，且 ， 在 单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合 ，
逐项判断即可.【详解】因为 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，且两函数
在 上单调递减，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以BD正确，C错误；
若 ，则 ，A错误.
故选：BD
11．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知 是定义在R上
的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
【答案】BD
【分析】利用函数的性质求出 ， 利用代入法当 和当 时
求解析式,即可判断A、B；对于C，分别求出 ，在计算即可，对于D，由 ，利用等比数列的求和公式求 .即可.
【详解】因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
所以
任取 ，则 ，
所以 ，
故A错误；
任取 ，则 ， ，
所以 ，
故B正确；
因为 ，所以 ，
所以
，
当 且 时，
所以，
当 时， ，
满足 ，
所以 ，
所以 ，
故C错误；
由C的结论， ，
则 ，
故D正确，
故选：BD．
12．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知定义在 上的奇函数
满足 ，当 时， ，则下列选项正确的
是（ ）
A．
B．方程 有5个不同的根
C．若 有解，则D．若 无实数解，则 可以取
【答案】BD
【分析】构造函数 ，根据题意得到 为奇函数且周期 ，画出
图象.对于A：利用周期和奇函数可判断；对于BCD:结合图象可判断.
【详解】令 ，因为 和 都为奇函数，则 为奇函数，即
为其对称中心，
且由 ，
知： ，即 ，
则 关于点 对称，所以 ，
所以 的周期为 ，
又 时， ，最大值 ，
则 的图象如下：
对于A： ，
∴ ，A错误；
对于B：方程 的根等价于 与 的交点，
结合图像，由 ，则当 时，共5个交点；
当 时， ，没有交点，所以共5个交点，B正确；对于C：若 有解，则 ，C错误；
对于D：若 无实数解，则 ，D正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：
这道题的关键是构造函数 ，结合题意得到 的性质画出 的图象，
数形结合即可求解.
13．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数 ， 是定
义域为 的奇函数， 的图像关于直线 对称，函数 的图像关于点
对称，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的一个周期为
B．函数 的图像关于点 对称
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性及对称性得到 的周期性，令 ，则 关于点
对称，即可得到 ，从而得到 ，即可得
到 的对称性，再根据 的奇偶性得到 的周期性，最后根据周期性判断
C、D.
【详解】解：对于A：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
又 的图像关于直线 对称，所以 ，即，
所以 ，则 ，即函数 的一个周期为 ，故
A正确；
对于B：令 ，则 关于点 对称，
所以 ，即 ，即
，
所以 ，即 的图像关于点 对称，故B正确；
对于C：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，又 的图像关于
点 对称，
所以 ，所以 ，即函数 的一个周期为 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，故D错误；
故选：ABC
14．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数 对任意实数 ， 都满足
，且 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数C． D．
【答案】AC
【分析】令 可得 ，从而可判断B；令 可判断A；令 ，
可得 ，令 可判断C；由AC的解析可得函数 的周期为2，从而可判
断D.
【详解】在 中，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，故B错误；
令 可得 ,即 ，
故函数 是偶函数，即 是偶函数,故A正确；
令 ，则 ，故 ，
令 ，可得 ,
故 ，故C正确；
因为 是偶函数，所以 ，故 ,
即 ，
所以 ,所以 ，故函数 的周期为2，
因为 ， ，所以 ，
.
所以 ，故D错误.
故选：AC.15．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）已知定义域为R的函数
满足 是奇函数， 为偶函数，当 时， ，则（ ）
A．函数 是偶函数
B．函数 的最小正周期为8
C．函数 在 上有4个零点
D．
【答案】BCD
【分析】由已知得出函数 的图象关于点 对称，关于直线 对称，周期是
8的周期函数，由对称性作出函数图象，由图象判断各选项．
【详解】 是奇函数，即图象关于原点对称，因此 的图象关于点 对称，
， ，
是偶函数，即图象关于 轴对称，因此 的图象关于直线 对称，
， ，
∴ ，也即 ， ，
从而 ， 是周期函数，8是其一个周期，且
，
由此结合对称性作出函数 的图象，如图，
由图可知，A错，BCD正确，
故选：BCD．
16．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知函数 ， 的定义域均为， 为偶函数，且 ， ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 为奇函数
C． 是以3为周期的周期函数 D． 是以4为周期的周期函数
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可.
【详解】对于选项 ，由 ，将 换成 可得： ，
又因为 ，所以 ，
即 ，将 换成 可得： ，
所以 ，所以 为偶函数，故选项 正确；
对于选项 ，由 可得： ，将 换成 可得：
，因为 为偶函数，所以 ，所以函数
为偶函数，函数 关于直线 对称，因为 ，
所以 ，即 ，将 换成 可得：
，又因为 ，所以 ，
则 ，所以函数 为奇函数，故选项 正确；
对于选项 ，由 的分析可知：函数 关于直线 对称，且 ，
则 ，所以函数 是以4为周期的
周期函数，故选项 错误；
对于选项 ，由选项 的分析可知： ，又因为 为偶函数，
所以 ，则函数 是以4为周期的周期函数，故选项 正确；
故选： .
17．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的奇函数，当
时， ，若函数 是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于 对称
B．
C．
D． 有100个零点
【答案】ABD
【分析】根据条件可得 ， ， ，即函数 关于直
线 对称且周期为4的奇函数，利用周期性求出 ，判断选
项 ；再画出函数 与 的函数部分图象，数形结合判断它们的交点
情况判断选项 .
【详解】因为函数 是偶函数，则 ，即 ，
所以函数 关于直线 对称，故选项 正确；
又函数 为 上的奇函数，所以 ，则 ，即函数
是周期为4的奇函数，由 ，即 .
所以 ，故选项 正确；
， ，
所以 ，故选项 错误；
综上： ，作出 与 的函数部分图象如
下图所示：当 时，函数 过点 ，
故 时，函数 与 无交点；
由图可知：当 时，函数 与 有一个交点；
当 时，函数 的每个周期内与 有两个交点，共 个交
点，而 且 ，
即 时，函数 与 无交点；
当 时， 过点 ，
故当 时，函数 与 无交点；
由图可知：当 时，函数 与 有3个交点；
当 时，函数 的每个周期内与 有两个交点，共 个
交点，而 且 ，
即 时，函数 与 无交点；
综上，函数 共有 个零点，故选项 正确，
故选： .
【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的
函数值以及周期是解题关键.
18．（2023秋·山东德州·高三统考期末）已知定义在 上的奇函数 图象连续不断，
且满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的周期T＝2 B．
C． 在 上有4个零点 D． 是函数 图象的一个对
称中心【答案】ABD
【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并
结合中心对称的性质，判断选项.
【详解】A.因为函数 满足 ，所以函数是周期函数，周期 ，
故A正确；
B.因为函数是定义域为 的奇函数，所以 ，且 ，又函数是周期
为2的函数，所以 ，所以 ， ，
，所以 ，故B正确；
C.根据周期可知 ，且 ，所以函数在区间 上
至少有5个零点，
故C错误；
D.因为函数周期为2的奇函数，所以 ，且 ，所以
，所以函数 关于点 对称，故D正确.
故选：ABD
19．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知偶函数 与奇函数 的定义域
均为R，且满足 ， ，则下列关系式一定成立的是
（ ）
A． B．f（1）=3
C．g（x）=-g（x+3） D．
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质，利用 换为 可判断A，利用
赋值可判断B，推理得出 后赋值可判断C，由条件推理可得，即可判断D.
【详解】由 ，将 换为 知 ，故A对；
，奇函数 中 ，
则 ， ，由 为偶函数， ，故B错；
， ，
又 ， ，
， ，故C错，
，则 ，即 .
， ，
，即 ，
为偶函数， ，
①， ②
由①②知 ，故D对.
故选：AD.
20．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 、 的定义域均为 ，
为偶函数，且 ， ，下列说法正确的有
（ ）
A．函数 的图象关于 对称 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以 为周期的周期函数 D．函数 是以 为周期的周期函数
【答案】BC
【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为 为偶函数，所以 ．
由 ，可得 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，A错；
对于B选项，因为 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，B对；
对于C选项，因为函数 为偶函数，且 ，
则 ，从而 ，则 ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数，C对；
对于D选项，因为 ，且 ， ，
又因为 ，所以， ，
又因为 ，则 ，所以， ，
故 ，因此，函数 是周期为 的周期函数，D错.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数 的图象关于直线 和 对称，则函数 的周期为 ；
（2）若函数 的图象关于点 和点 对称，则函数 的周期为
；
（3）若函数 的图象关于直线 和点 对称，则函数 的周期为.
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设定义在 上的函数 与
的导函数分别为 和 ，若 ， ，且
为奇函数， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据 逆向思维得到 ，代入
推出 的对称轴 ，即可判断A选项；根据 为奇函数
推出对称中心 ，进一步得出 ，即 的周期为4，即可判断C选
项；由 是由 的图像变换而来，所以 的周期也为4，进而判
断B选项；再算出 时的函数值以及一个周期内的值即可求解，判断D选项.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
用 去替 ，所以 ，所以 .
因为 ，取 代入得到 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的图象关于直线 对称，所以 ，故A正确；因为 为奇函数，则 过 , 图像向右移动两个单位得到 过 ，
故 图像关于 对称， ，所以 ，且 .
因为 ，所以 ，则 的周期 ，
所以 ，故C错误；
因为 ， ，所以 的
周期也为4，
所以 ， ，
所以 ，故B正确；
因为 ， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
22．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数 的定义域为R，且
为奇函数， 为偶函数，且对任意的 ，且 ，都有
，则下列结论正确的为（ ）
A． 是偶函数 B．
C． 的图象关于 对称 D．
【答案】ABC
【分析】由已知奇偶性得出函数 的图象关于点 对称且关于直线 对称，再
得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】 为奇函数， 为偶函数，所以 的图象关于点 对称且关于直线 对称，
所以 ， ， ，
，所以 是周期函数，4是它的一个周期．
，
，B正确；
， 是偶函数，A正确；
因此 的图象也关于点 对称，C正确；
对任意的 ，且 ，都有 ，即 时，
，所以 在 是单调递增，
， ， ，
，∴ ，故D错．
故选：ABC．
23．（2023·云南·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，对于任意的 恒
有 ，且 ，若存在正数t，使得 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B． C． 为偶函数 D． 为周期函
数
【答案】BCD
【分析】根据条件运用赋值法逐项分析.
【详解】对于A，对于任意的 恒有 ，
令 可得： ，又 ， ，A错误；对于B，对于任意的 恒有 ，
令 ，则有 ，即 ，则有 ，
B正确；
对于C，对于任意的 恒有 ，
令 ，则有 ，变形可得 ，则 为偶
函数，C正确；
对于D，对于任意的 恒有 ，
令 可得： ， ，
，即 是周期为 的周期函数，D正确；
故选：BCD.
24．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 、 的定义域均为 ．且满足
， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】BC
【分析】利用题干等式逐项递推，可判断A选项的正误；利用函数的对称性的定义可
判断BC选项；记 ， ，其中 ，分析可知，这两个数列均
为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，结合等差数列的求和公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 ，所以，函数 的图象关于点
对称，
所以， ，
因为 ，所以， ，即 ，因为 ，所以， ，
则 ，所以， ，A错；
对于B选项，因为定义域为 的函数 的图象关于点 对称，则 ，B对；
对于C选项，因为 ，所以， ，
联立 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，C对；
对于D选项，因为 ，令 可得 ，
所以， ，故 ，
因为 ，所以， ，可得 ，
所以， ，可得 ，则 ，
记 ， ，其中 ，且 ， ，
则 ， ，
所以，数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，则 ，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ，
所以， ，D
错.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数基本性质的推导，解题的关键在于通过不断
的迭代、消元，结合函数基本性质的定义进行判断.
25．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数 的定义域均为R，且 .若 的图像关于直线 对称，且
，则（ ）
A． B． 的图像关于点 对称
C． 是周期函数，且最小正周期为8 D．
【答案】ABD
【分析】结合函数性质得 最小正周期为4，且图像关于点 对称，再结合选项
理解辨析.
【详解】令 ，则 ，又 ，故 ，故A正确；
因为
则 ，即 ①
又 ，②
①+②得： ，则 的图像关于点 对称，且
故B正确；
的图像关于直线 对称，则 ，则 ，
则 ，又 ，
两式相减得 ，故 ，故 最小正周期为4，
故C错误；
最小正周期为4，且图像关于点 对称，
， ，
因为 ，故
，故D正确；
故选：ABD.
26．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数 的定义域为R，且
为偶函数，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即
可判断；对于C，利用换元法结合 的奇偶性即可判断；对于D，先推得 的一
个周期为6，再依次求得 ，从而利用 的周期性
即可判断.
【详解】对于A，因为 ，
令 ，则 ，故 ，则 ，故A正确；
对于B，因为 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ，又 不恒为0，故 ，
所以 为奇函数，故B错误；
对于C，因为 为偶函数，所以 ，
令 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，故 ，
又 为奇函数，故 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，由选项C可知 ，
所以 ，故 的一个周期为6，
因为 ，所以 ，
对于 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以由 的周期性可得：
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得 的
奇偶性，再结合题设条件推得 为周期函数，从而得解.
27．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
为奇函数，且对于任意 ，都有 ，则（ ）A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】BCD
【分析】依题意可得 ，再由奇偶性得到 ，从而得
到 ，即可判断A，由 ，可得 ，再由
，即可求出 ，从而判断B，再结合奇偶性的定义判断C、D.
【详解】解：由 ，得 ．
由 是奇函数，得 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，故选项A错误；
由 ，得 ，由 ，得 ，所以
，故选项B正确；
由 ， ，得 ，即 为偶函数，故
选项C正确；
由 ， ，得 ，则
，
即 为奇函数，故选项D正确．
故选：BCD28．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数 的定义域均为 ，且满
足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】ABD
【分析】由 得出 的图象关于点 对称，即
；由 和 得出
，判断选项A正确；由函数 的图象关于点 对称，判断选
项B正确；由 和 得出 的图象关于点 中心
对称，C错误；记 ，则数列 和 均为等差数列，利用等
差数列的求和公式计算可得D正确．
【详解】因为 ，所以 的图象关于点 对称，所以
，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，A正确；
因为定义域为 的函数 的图象关于点 对称，所以 ，B正确；
由 ，得 ，即 ， ．
因为 ，所以 ，
又因为 ，相减得 ，
所以 的图象关于点 中心对称，C错误；
因为函数 的定义域为 ，所以 ，所以 ．
记 ，结合A、C分析知：数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，数列 是以 为
首项， 为公差的等差数列，
故 ， ，
所以 ，D正确；
故选：ABD．
29．（2023·安徽合肥·统考一模）已知函数 是偶函数，且 ．
当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是奇函数
B． 在区间 上有且只有一个零点
C． 在 上单调递增
D． 区间 上有且只有一个极值点
【答案】ACD
【分析】A选项，由 是偶函数，故 ，结合 ，
推导出 ，A正确；B选项，求出 的一个周期为4，从而只需求
在区间 上的零点个数，结合函数性质得到 ，B错
误；C选项，求导得到 ，换元后得到 ，
，再次求导，得到 的单调性，结合 ， ，得到在 上恒成立，得到 在 上单调递增；D选项，与C选项一
样得到 的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到 的单调性，求
出 区间 上有且只有一个极值点.
【详解】函数 是偶函数，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
将 替换为 ，得到 ，故 为奇函数，A正确；
因为 ，故 ，故 ，
所以 的一个周期为4，
故 在区间 上的零点个数与在区间 上的相同，
因为 ，而 ，故 ，
其中 ，
故 在区间 至少有2个零点，B错误；
时， ，
则 ，
令 ， ，当 时，
所以 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，
故 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递增，C正确；
D选项， 时， ，
故 ，令 ， ，当 时，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ，
，
由零点存在性定理， ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以 区间 上有且只有一个极值点，D正确.
故选：ACD
【点睛】设函数 ， ， ， ．（1）若 ，则函数 的周期为2a；
（2）若 ，则函数 的周期为2a；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a；
（5）若 ，则函数 的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周
期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的
周期为 ；
（9）若函数 是偶函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为2a；
（10）若函数 是奇函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为2a.
30．（2023·福建厦门·统考二模）定义在R上的函数 满足 ，
函数 的图象关于 对称，则( )
A． 的图象关于 对称 B．4是 的一个周期
C． D．
【答案】AD
【分析】对A：由函数 的图象关于 对称可推得 的图象关于 对称.
对B：令 ,由 及 可得到的图象于 对称且关于 对称，故4为 的一个周期,而不是 的一个
周期.
对C：举例 说明 .
对D：由 的周期性求得 的值.
【详解】对A：因为 关于 对称,有 ，
令 ，则 ， 的图象关于 对称.选项A正确；
对B：由题设条件得 ，
令 ，有 ，则 的图象于 对称，
因为 ，有 ，
即 ，则 的图象关于 对称.
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以4为 的一个周期，即 ，
则 .选项B不正确；
对C：由上知 图象关于 对称， 对称，
则令 符合题意，而 .故C不正确;
对D：因为 图象关于 对称，所以 ，
故 ，有 .选项D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：令 是解题的关键，通过研究 的对称性，周期性得到 的性质，关于 的求值问题也转化为 的求值问题.
