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9.5 平面直角坐标系与几何相结合的压轴问题
【重难点培优】
一、解答题
1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，
， ，
(1)把 向右平移 个单位长度得到 ，请在图中画出平移后的 ；
(2)若点 ，求 的面积；
(3)在（2）的条件下，点 在 轴上，当 的面积是 的面积的 倍时，求点 的坐标．
2．（23-24七年级下·辽宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分
别是 ， ， ， ，若 ， ， ，且 ．
(1)求三角形 的面积；
(2)求证： ；
(3)如图2，若 ，延长 到Q，使 ，线段 交y轴于点K，求 的值．
3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且
，点 从 点出发以每秒2个单位沿 轴负方向运动．(1) ________， ________；
(2)如图1，连接 、 交于点 ，则当点 运动多少秒时， ；
(3)如图2，点 是 轴负半轴上的一点，过点 作 轴的平行线 ，在直线 上取两点 、 （点 在点
右侧），满足 ， ．当点 运动到某一位置时，四边形 的面积有最大值，请直接写出
面积的最大值．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于
两点，且点 ， 在直线 上．我们可以用面积法求点B的坐标．
【问题探究】
（1）请阅读并填空：
过点C作 轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形 的面积为_____________．
过点C作 轴于点 ， _____________．
，
∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________；
【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标；
【问题拓展】（3）若点 在直线 上，且 的面积等于3，请直接写出点H的坐标．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，已知 三点．若
a，b，c满足关系式： ．(1)求a，b，c的值；
(2)求四边形 的面积；
(3)是否存在点 ，使三角形 的面积为四边形 面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知 ，且 ．C为x轴负半轴上一点，
且满足三角形 的面积为15．
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；
(2)如图①，平移直线 使其与x轴交于点C，与y轴交于点E，求点E的坐标；
(3)如图②，若点 在平行于x轴的直线l上，且满足三角形 的面积为10，求m的值．
7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， 其中 ， 满足
．
(1)填空： ______， ______；
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积；
(3)在（ ）的条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，请求出点 的坐标．
8．（24-25七年级下·全国·期中）如图①，在平面直角坐标系中， ，且满足
，过点C作 轴于点B．
(1)求三角形 的面积；
(2)如图②，若过点B作 交y轴于点D，且 ， 分别平分 ，求 的度数；
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形 和三角形 的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不
存在，请说明理由．
9．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的顶点A、C分别在x轴、
y轴上， 轴， 轴，点B的坐标为 ，且 ．
(1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______．
(2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形
的面积是长方形 面积的的 时，点P停止运动，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形 的面积与长方形 的面积相等？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（23-24七年级下·全国·期末）在长方形 中， ，点P是 边上的点， ．
以点O为原点，以 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点Q从原
点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线运动，点Q运动到点C停止运动．设运动时
间为t．(1)点B坐标是 ；
(2)若三角形 的面积为6，
①求t的值；
②当点Q在边 上时，过点Q作 轴，交 于点M，求出点M坐标．
11．（22-23七年级上·河北邢台·期末）如图，长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标
为 ，C点的坐标为 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着
的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
(1)写出点B的坐标________．
(2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出P点的坐标．
(3)在移动过程中，当 的面积为10时，求P移动的时间和此时P的坐标．
12．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，第一象限的点 坐标为
，且点 到 轴、 轴的距离相等．
(1)点 的坐标为________；
(2)如图1， 轴的正半轴上有一点 ，连接 、 ，点 为 轴上一动点，动点 从原点 出发，
以每秒2个单位长度沿 轴的正方向运动．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，请用含 的式子表
示 （不要求写 的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，过点 作 轴平行线 ， 交 轴于点 ．当点 从原点 出发1秒时，
此时点 从点 出发，以每秒1个单位长度在直线 上运动，当 的面积是 的面积的2倍时，
请直接写出此时 的值和点 的坐标．
13．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐
标为 ，点C的坐标为 ，且a，b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，
以每秒2个单位长度的速度沿着折线 线路运动一周停止．
备用图
(1)求点B的坐标；
(2)在移动过程中，当点P到y轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
(3)当点P在 的线路上移动时，是否存在点P使 的面积是12，若存在，直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
14．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形 中， 为平面直角坐标系的原点，
点 坐标为 ，点 的坐标为 ，且点 在第一象限内，点 从原点出发，以每秒2个单位长度的
速度沿着 的线路移动
(1)求点 的坐标．
(2)当点 移动4秒时，请求出点 的坐标．
(3)当点 移动到距离 轴4个单位长度时，求点 移动的时间．
(4)当过点 的直线 把长方形 的周长分成 两部分， 为直线 与长方形的边的交点，直接
写出点 的坐标（不需要写出解题过程）．
15．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）点 三点坐标分别为 ，且 满
足： ．(1)则 ， ， ．
(2)如图1，过点C作直线 交x轴于点D，交y轴于点E，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，点F 为线段 上一点， 设 ，射线 分别平分
，且相交于点P，试用含α、β的式子表示
16．（21-22七年级下·陕西商洛·期末）如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标
为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以
每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动
(1)求点B的坐标．
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
17．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在长方形 中， 为平面直角坐标系的原点，点A坐标
为 ，点 的坐标为 ，且 、 满足 ，点 在第一象限内，点 从原点出发，以
每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动．
(1) _______， _______，点 的坐标为_______；
(2)当点 移动4秒时，求出点 的坐标；
(3)在移动过程中，当点 到 轴的距离为5个单位长度时，求点 移动的时间．
18．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，
以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动．
(1)点B的坐标为 ；当点P移动4秒时，写出点P的坐标 ．
(2)若点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿着 的线路移动，点Q与点P同时出发，
几秒后点Q与点P第一次相遇？
19．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中
满足 ，点M在线段 上．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将 平移到 ，点A对应点 ，点 对应点 ，若 ，求m，n，t的值；
(3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段 上一动点（不包含点A，点B），连接 ， 平分
，试探究 与 的数量关系．
20．（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）在直角坐标系中，已知四边形 各顶点的坐标为：
．(1)若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的 、 、 、
各点的坐标；
(2)求 ；
(3)在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点
坐标．（平行四边形对边平行且相等）
21．（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，
现同时将点 ， 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点 ， 的对应点 ，
，连接 ， ．
(1)求线段 的长度；
(2)动点 在 轴上，连接 ， ，当 时，求点 的坐标．
22．（23-24七年级下·广东汕头·期末）平面直角坐标系中， ， ， ， 均为整数，且满足
，点 在 轴负半轴上且 ，将线段 平移到 ，其中点 的对应点是点 ，
点 的对应点是点 ．(1)请直接写出点 ， ， 的坐标；
(2) 如图（1），若点 的坐标为 ，点 为线段 上一点，且 的面积大于3，求 的取
值范围；
(3)如图（2），若 与 轴的交点 在 点上方，点 为 轴上一动点，请直接写出 ， ，
之间的数量关系．
23．（23-24七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 中，对于点 ，点 ，定义
与 中的较大值为点 ， 的“绝对距离”，记为 ．特别地，当 时，
规定 ．
(1)已知 ， ，
① ；
②点 是坐标系内一动点，当 时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点 坐标；
(2)已知点 ，点 ，当 时， 的最小值是 ， 的最大值是 ；
(3)已知点 ，点 ，点 在线段 上，点 的坐标是 ，点 向右平移1个单位长度
得到点 ，对于线段 上任意一点 ，存在点 满足 ，直接写出 的取值范围．
24．（23-24七年级下·重庆开州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ，
，且a，b满足 ．现同时将点A，B分别向左平移3个单位长度，再向上平移3
个单位长度，得到点A，B的对应点C，D．连接 、 、 ．(1)求C，D两点的坐标．
(2)如图2，P是线段 上的一个动点，Q是线段 的中点，连接 ， ．当点P在线段 上移动时
（点P不与点B、D重合），请找出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)在坐标轴上是否存在点N使三角形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，请直接写出点N的
坐标；若不存在，请说明理由．
25．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为
．
(1)如图1，平移线段 到线段 ，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为 ，
则点D的坐标为 ；
(2)如图2，平移线段 到线段 ，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内．
①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ；
②连接 ， ，若 的面积为7，求点C，D的坐标；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使 与 的面积之比为 ？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
