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9.4 有关坐标的新定义综合问题【重难点培
优】
一．解答题（共30小题）
1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到
x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 5 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判
断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“角平分线点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的
较大值称为点P的“长距”，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，
∴|4﹣2a|＝|﹣2|，
∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2，
解得a＝1或a＝3；
（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，
∴3b﹣2＝4，解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“角平分线点”．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线
点”．
2．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B
是点A的“a倍相关点”．
例如，点A（1，3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2×3＝7，纵坐标为：2×1+3＝5，所以点A的“2
倍相关点”B的坐标为（7，5）．
1
（1）已知点P（﹣2，3）的“ 倍相关点”是点Q（s，t），求s+t的值；
3（2）已知点M（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点N，且点N在y轴上，求点N到x轴的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，分别求出s和t，再计算s+t的值即可；
（2）根据题意，分别求出点N的横坐标和纵坐标，根据“点N在y轴上”，求出m的值，点N到x轴
的距离即点N纵坐标的绝对值．
1 1 7
【详解】解：（1）根据题意，得s＝﹣2+ ×3＝﹣1，t= ×（﹣2）+3= ，
3 3 3
7 4
∴s+t＝﹣1+ = ；
3 3
（2）设点N的坐标为（p，q），则p＝1﹣4m，q＝﹣2+2m，
∴点N的坐标为（1﹣4m，﹣2+2m），
∵点N在y轴上，
1
∴1﹣4m＝0，解得m= ，
4
3
∴点N的坐标为（0，− ），
2
3 3
∴点N到x轴的距离为|− |= ．
2 2
【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特点是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到
x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 3 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“完美点”．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，得点A（﹣1，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点A的“长距”为3．
故答案为：3；
（2）∵点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，
∴|4a﹣1|＝|﹣3|，
∴4a﹣1＝3或4a﹣1＝﹣3，
1
解得a＝1或a=− ；
2
（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C 在第二象限内，∴3b﹣2＝4，
解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 D 是“完美点”．
【点评】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与
“完美点”．
4．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x+ky）（其中k为常数且
k≠0），则称点 B 是点 A 的“k 级关联点”．例如：点 A（1，4）的“3 级关联点”B 的坐标为
（3×1+4，1+3×4），即B（7，13）．
（1）点（1，2）的“2级关联点”的坐标为 （ 4 ， 5 ） ；
（2）若点A（2，﹣1）的“k级关联点”坐标为（9，m），求k+m的值；
（3）若点M（a﹣1，2a）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“2级关联点”的计算方法列式即可求解；
（2）根据“k级关联点”的计算方法列式即可求解；
（3）根据“﹣4级关联点”的计算，求出点N的坐标表示，再根据点在坐标轴上的特点即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可得，1×2+2＝4，1+2×2＝5，
∴点（1，2）的“2级关联点”的坐标为（4，5），
故答案为：（4，5）；
（2）根据题意可得，2﹣k＝m，
∴k+m＝5﹣3＝2；
（3）根据点M（a﹣1，2a）的“﹣4级关联点”得，横坐标为：﹣4（a﹣1）+2a＝4﹣2a，纵坐标为：
a﹣1﹣8a＝﹣1﹣7a，
∴点N的坐标为（4﹣2a，﹣1﹣7a），
∵N位于坐标轴上，
∴当点N在x轴上时，﹣1﹣7a＝0，
1
解得，a=− ，
7
30
∴N( ，0)；
7
当点N在y轴上时，4﹣2a＝0，
解得，a＝2，
∴N（0，﹣15），
30
综上所述，点N的坐标为( ，0)或（0，﹣15）．
7【点评】本题主要考查的是点的坐标，理解“k级关联点”的含义和计算方法，掌握点的坐标规律，解
一元一次方程的方法是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B
是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，2）的“3倍相关点”B的横坐标为：1+3×2＝7，纵坐标为：
3×1+2＝5，所以点A的“3倍相关点”B的坐标为（7，5）．
1
（1）已知点M（﹣4，6）的“ 倍相关点”是点N（s，t），求2s+t的值；
2
（2）已知点P（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离．
3
【答案】（1）2；（2） ．
2
【分析】（1）根据题意可求出s、t的值，然后代入即可得出答案；
（2）根据题意可求出m的值，然后求出点P的纵坐标，再求出点Q的坐标即可得出答案．
1 1
【详解】解：（1）∵s＝﹣4+ ×6＝﹣1，t= ×（﹣4）+6＝4，
2 2
∴2s+t＝2×（﹣1）+4＝2．
（2）∵点Q在y轴上，
∴点Q的横坐标为0，
∵点Q是点P的“﹣2倍相关点”，
∴1+（﹣2）×2m＝0，
1
解得：m= ，
4
1 1
∴点P的纵坐标为2× = ，
4 2
1 3
∴点Q的纵坐标为1×（﹣2）+ =− ，
2 2
3 3
∴点Q到x轴的距离为|− |= ．
2 2
【点评】本题主要考查点的坐标，理解题意是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到
x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”．
（1）点A（﹣1，4）的“长距”为 4 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣2）是“龙沙点”，求a的值；
（3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“龙沙点”．
3 1
【答案】（1）4；（2）a= 或a=− ；（3）说明见解析．
4 4
【分析】（1）根据“长距”的定义，即可；
（2）根据“龙沙点”的定义，则|4a﹣1|＝|﹣2|，即可求出a的值；（3）根据“长距”的定义，先求出b的值，再根据“龙沙点”的定义，即可．
【详解】解：（1）∵点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，
∴点A（﹣1，4）到x轴的距离为：1；A（﹣1，4）到y轴的距离为4，
∴点A（﹣1，4）的“长距”为4．
故答案为：4；
（2）∵点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”，
∴当点B（4a﹣1，﹣2）是“龙沙点”，|4a﹣1|＝|﹣2|，
∴4a﹣1＝±2，
3
当4a﹣1＝2，解得：a= ；
4
1
当4a﹣1＝﹣2，解得：a=− ；
4
3 1
∴a= 或a=− ；
4 4
（3）∵点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，
∴|3b﹣2|＝4，
2
解得：b＝2或b=− ；
3
∵C在第二象限内，
∴3b﹣2＞0，
∴b＝2，
∵点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），
∴点D（5，﹣5），
∵|5|＝|﹣5|，
∴点D是“龙沙点”．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握“长距”和“龙沙点”的定义是关键．
7．已知点P（a，b），当a，b满足2b＝8+a时，称P（a，b）为“开心点”．
（1）若点A是开心点，且点A的横坐标为﹣4，则点A的坐标是 （﹣ 4 ， 2 ） ，点A到原点的距离是
2❑√5 ．
（2）若点M（m，m+2）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【答案】（1）（﹣4，2）；2❑√5；（2）在第一象限，理由见解析．
【分析】（1）根据P（a，b）坐标，代入2b＝8+a中，求出b的值；
（2）直接利用“开心点”的定义得出m的值进而得出答案．
【详解】解：（1）∵点A是开心点，且点A的横坐标为﹣4，
1
∴点A的纵坐标： ×（8﹣4）＝2，
2
∴点A的坐标是（﹣4，2），∴点A与原点的距离❑√(−4) 2+22=2❑√5．
故答案为：（﹣4，2）；2❑√5；
（2）点M在第一象限．
理由如下：
∵M（m，m+2）是“开心点”，
∴2×（m+2）＝8+m，
整理得：2m﹣m＝4，
∴m＝4，
故m+2＝4+2＝6，
∴M（4，6），
故点M在第一象限．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键．
8．在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到
x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等
距点．
（1）已知点A的坐标是（﹣3，1），在点G（0，3）、H（3，﹣3）、I（﹣2，5）中，点A的“等距
点”是 G ， H ；
（2）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点
C的坐标；
（3）若点D（﹣1，t）与点E（4，t）是直线l：y＝kx﹣3（k＞0）上的两个“等距点”，求k的值．
1 2
【答案】（1）G、H；
（2）（﹣4，﹣3）或（3，4）；
（3）1或2．
【分析】（1）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；
（2）根据“等距点”的定义解答即可；
（3）将T （﹣1，t ）、T （4，t ）代入y＝kx﹣3（k＞0）得t ＝﹣k﹣3，t ＝4k﹣3．由k＞0，依据
1 1 2 2 1 2
“等距点”定义可得关于k的不等式，即可解答本题．
【详解】解：（1）∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，点G（0，3）、H（3，﹣3）到到
x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是G、H，
故答案为：G、H；
（2）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；
②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，
综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；
（3）∵D（﹣1，t ）、E（4，t ）是直线l上的两点，
1 2
∴t ＝﹣k﹣3，t ＝4k﹣3．
1 2∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．
依据“等距点”定义可得：
当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1，
∵k＝1时，4k﹣3＝1＜4，
∴k＝1；
当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．
综上所述，k的值为1或2．
【点评】本题主要考查了“等距点”的定义，此题属于阅读理解类型题目，读懂“等距点”的定义是解
题的关键．
9．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级
开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），
即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 （ 2 ， 1 4 ） ；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐
标．
【详解】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8），
{2x+ y=4)
∴
x+2y=8
{x=0)
解得 ，
y=4
∴点P的坐标为（0，4）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），
①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
1
解得：m=− ，
5
16
∴﹣3（m﹣1）+2m= ，
516
∴P′（ ，0）．
5
②P′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
16
综上所述，点P′的坐标为（ ，0）或（0，﹣16）．
5
【点评】本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N
到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”．
（1）若点P（2m﹣1，﹣1）是“完美点”求m的值；
（2）若点Q（3n+1，﹣4）的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为（﹣5，1﹣2n），试
说明点D是“完美点”．
【答案】（1）m＝1或m＝0；（2）是，理由见详解．
【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可；
（2）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵点P（2m﹣1，﹣1）是“完美点”，
∴|2m﹣1|＝|﹣1|，
∴2m﹣1＝1或2m﹣1＝﹣1，
2m＝2，
解得：m＝1，
2m＝0，
解得：m＝0，
故m＝1或m＝0；
（2）∵点Q（3n+1，﹣4）的长距为5，且点Q在第三象限内，
∴3n+1＝﹣5，
解得n＝﹣2，
∴1﹣2n＝5，
∴点D的坐标为（﹣5，5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“完美点”．
【点评】本题主要考查了点的坐标，掌握题目里定义的“长距”与“完美点”是关键．
11．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a
阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 （﹣ 5 ，﹣ 7 ） ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【答案】（1）（﹣5，﹣7）．
（2）1．
1 1
（3） 或 ．
4 8
【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；
（2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整
数解；
（3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到
m的值．
【详解】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣
5，﹣7）．
故答案为：（﹣5，﹣7）．
（2）∵点B（2，﹣3），
∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．
又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限，
{2a−3＜0)
∴ ，
2−3a＜0
2 3
解得 ＜a＜ ，
3 2
∵a取整数，
∴a＝1；
（3）∵点C（m+2，1﹣3m），
∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）．
∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴|16m﹣3|＝1，
∴16m﹣3＝1 或 16m﹣3＝﹣1．
1 1
解得 m= 或 m= ．
4 8
【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决
问题．
12．点 P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点 Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中 k为常数且
k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即
点Q为（4，5）．（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；
（2）若点P（﹣1，m）的“4拓点”Q的坐标是（﹣2，n），求mn的值．
【答案】（1）点Q的坐标为（﹣5，1）；
（2）14．
【分析】（1）根据题意可得：点Q的坐标为（3×（﹣2）+1，﹣2+3×1），然后进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：﹣1×4+m＝﹣2，﹣1+4m＝n，然后进行计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5，﹣2+3×1＝﹣2+3＝1，
∴点Q的坐标为（﹣5，1）；
（2）由题意得：﹣1×4+m＝﹣2，﹣1+4m＝n，
解得：m＝2，n＝7，
∴mn＝2×7＝14．
【点评】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．点 P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点 Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中 k为常数且
k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即
点Q为（4，5）．
（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；
（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），求点P的坐标．
【答案】（1）（﹣5，1）；
（2）（﹣1，2）．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算，然后求出点Q的坐标即可；
（2）设P（x，y），根据已知条件中的新定义，列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可．
【详解】解：（1）∵﹣2×3+1＝﹣6+1＝﹣5，﹣2+3×1＝﹣2+3＝1，
∴点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标为（﹣5，1）；
（2）设P（x，y），
∵点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），
{4x+ y=−2①)
∴ ，
x+4 y=7②
由②得：x＝7﹣4y③，
把③代入①得：4（7﹣4y）+y＝﹣2，
28﹣16y+y＝﹣2，
﹣15y＝﹣30，
y＝2，
把y＝2代入③得：x＝﹣1，
{x=−1)
∴方程组的解为： ，
y=2
∴点P（﹣1，2）．【点评】本题主要考查了点的坐标，解题根据是理解已知条件中的新定义和熟练掌握利用加减或代入消
元法解二元一次方程组．
14．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称点P（m，n+2）为“开心点”．例如：点A（6，6）
为“开心点”．因为当点A的坐标为（6，6）时，m＝6，n+2＝6，所以m＝6，n＝4，所2m＝2×6＝
12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以点A（6，6）是开心点”．
（1）试判断点B（6，8）是否为“开心点”；
（2）若点M（a，a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据B点坐标，代入（m，n+2）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否
成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
【详解】解：（1）点B（6，8）不是“开心点”，理由如下，
当B（6，8）时，m＝6，n+2＝8，
此时m＝6，n＝6，
所以2m≠8+n，
所以B（6，8）不是“开心点”；
（2）点M在第一象限，
理由如下：
∵点M（a，a﹣1）是“开心点”，
∴m＝a，n+2＝a﹣1，
即m＝a，n＝a﹣3，
代入2m＝8+n有2a＝8+a﹣3，
解得a＝5，
∴M（5，4），
故点M在第一象限．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键．
15．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a阶
开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如点P（1，4）的“2阶开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即
Q（6，9）．
（1）若点C的坐标为（﹣2，1），求点C的“3阶开心点”D的坐标；
（2）若点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”N在第一象限，且到x轴的距离为9，求点N的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“a阶开心点”的定义求解即可；
（2）先根据新定义求出点A的“﹣3阶开心点”的坐标，再根据到x轴的距离为9列方程求解即可．
【详解】解：（1）依题意得3×（﹣2）+1＝﹣5，﹣2+3×1＝1，
∴点C的“3阶开心点”D的坐标为（﹣5，1）．
（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”为N，∴点N的坐标为（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1﹣3×2m），即N（﹣m+3，﹣5m﹣1）．
∵点N在第一象限，且到x轴的距离为9，
∴﹣5m﹣1＝9，解得m＝﹣2，
∴﹣m+3＝5，
∴点N的坐标为（5，9）．
【点评】本题考查新定义运算，整式的加减，解一元一次方程等知识点，正确理解题目中“a阶开心
点”的定义是解题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x
轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“方格点”．
例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“方格点”；点（2，﹣2），（﹣2，0）互为“方格点”．
已知点P（1，﹣4）．
（1）①点Q（4，﹣6） 不是 （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
1
②点Q（﹣4，4） 是 （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
2
③点Q（﹣3，5） 不是 （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
3
（2）若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，求m的值；
（3）若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，求n的值．
【答案】（1）①不是；②是；③不是；
（2）m＝﹣3或5；
（3）n＝3或n＝﹣0.5．
【分析】（1）根据“方格点”的定义解答即可；
（2）根据“方格点”的定义，解m﹣1＝±4即可；
（3）分情况讨论，n+1＝±4，|2n﹣3|＜4时或2n﹣3＝±4，|n+1|＜4时，进而求得符合条件的n的值．
【详解】解：（1）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，
①点Q （4，﹣6）到x轴，y轴的距离的较大值为6，
1
∴点Q （4，﹣6）不是点P的“方格点”；
1
②点Q （﹣4，4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，
2
∴点Q （﹣4，4）是点P的“方格点”；
2
③点Q （﹣3，5）到x轴，y轴的距离的较大值为5，
3
∴点Q （﹣3，5）不是点P的“方格点”，
3
故答案为：①不是；②是；③不是；
（2）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，
∴m﹣1＝±4，
解得：m＝﹣3或5；
（3）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格
点”，
∴2n﹣3＝±4，|n+1|≤4，解得：n＝﹣5或3，
当n＝﹣5时，|2n﹣3|＝13＞4（舍），
当n＝3时，|2n﹣3|＝3＜4，
∴n＝3；
2n﹣3＝±4，|n+1|＜4，
n＝3.5或﹣0.5，
当n＝3.5时，|n+1|＝4.5＞4（舍），
当n＝﹣0.5时，|n+1|＝0.5＜4，
∴n＝﹣0.5，
综上：n＝3或n＝﹣0.5．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d ，到y轴
1
的距离记作为d．
2
（1）若点M在y轴上，则t＝ 2 ；
（2）若t＝3，则d+d＝ 7 ；
1 2
（3）若t＜0，d＝d，求点M的坐标．
1 2
【答案】（1）2；（2）7；（3）（4，﹣4）．
【分析】（1）根据点M在y轴上，得出点M的横坐标为0，据此列式计算，即可作答．
（2）把t＝3分别代入2﹣t，2t，得出点M的坐标是（﹣1，6），再结合距离定义，即可作答．
（3）先由t＜0，得出2﹣t＞0，2t＜0，再根据d ＝d 代入数值，进行计算，即可作答．
1 2
【详解】解：（1）依题意，∵点M在y轴上，
∴2﹣t＝0，
∴t＝2，
故答案为：2．
（2）∵t＝3，
∴2﹣3＝﹣1，2×3＝6，
∴点M的坐标是（﹣1，6），
∴d +d ＝6+1＝7，
1 2
故答案为：7．
（3）∵t＜0，
∴2﹣t＞0，2t＜0，
∵d ＝d ，
1 2
∴2﹣t＝|2t|＝﹣2t，
∴t＝﹣2，
则2﹣（﹣2）＝4，2×（﹣2）＝﹣4，
∴点M的坐标为（4，﹣4）．【点评】本题考查了点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a
级关联点”（其中 a 为常数，且 a≠0），例如，点 P（1，4）的“2 级关联点”为 Q（2×1+4，
1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为 （ 2 ， 2 ） ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解；
（2）点P的坐标为（x，y），根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x，y，即可求解；
（3）先表示出点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”Q，再分Q在x轴、y轴两种情况讨论即可解答．
【详解】解：（1）点 P 的坐标为（﹣1，3），则它的“1 级关联点”的坐标为（﹣1×1+3，﹣
1+1×3），即（2，2）．
故答案为：（2，2）；
（2）解：点P的坐标为（x，y），
{ 3x+ y=7 )
由题意可知 ，
x+3 y=−3
{ x=3 )
解得： ，
y=−2
∴点P的坐标为（3，﹣2）；
（3）解：∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为Q（﹣2（m﹣2）+3m，m﹣2+（﹣2）×3m），即
（m+4，﹣5m﹣2），
①Q位于x轴上，
∴﹣5m﹣2＝0，
2
解得：m=− ；
5
②Q位于y轴上，
∴m+4＝0，
解得：m＝﹣4．
2
综上所述，m的值为− 或﹣4．
5
【点评】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“a级关联
点”的定义是解题的关键．
19．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×
（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍
理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：13
（1）（﹣2，2） 是 “﹣2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（3，2）是 倍理想坐标．
6
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平
面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
13
【答案】（1）是， ；
6
（2）（a，b）的坐标是（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；
（3）（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．
【分析】（1）根据“n倍理想坐标”的概念分别求解即可；
（2）根据坐标轴上的点的特征，得到a＝0或b＝0，再由“n倍理想坐标”的概念，得到a2+b2＝nab＝
0，然后结合非负数的性质，即可求出（a，b）的坐标；
（3）根据象限角平分线上的点的特点，分两种情况讨论：①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的
点（原点除外）时，则a＝b≠0；②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则 a
＝﹣b≠0，根据“n倍理想坐标”的概念分别求解即可．
【详解】解：（1）∵（﹣2）2+22＝8，（﹣2）×（﹣2）×2＝8，
∴（﹣2）2+22＝（﹣2）×（﹣2）×2，
∴（﹣2，2）是“﹣2倍理想坐标”，
∵32+22＝3n×2＝6n，
13
∴n= ；
6
13
故答案为：是， ；
6
（2）∵（a，b）在坐标轴上，
∴a＝0或b＝0，
∴ab＝0，
∵（a，b）为“n倍理想坐标”，
∴a2+b2＝nab＝0，
∴a＝0且b＝0，
∴（a，b）的坐标是（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；
（3）（3）分两种情况：
①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b≠0，
∵a2+b2＝2a2＝2a•a＝2ab，
∴（a，b）是2倍理想点；
②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b≠0，
∵a2+b2＝2a2＝2a（﹣b）＝﹣2ab，
∴（a，b）是﹣2倍理想点．综上所述，（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．
【点评】本题考查了点的坐标，正确理解“n倍理想坐标”的概念是解题关键．
20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q
到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 5 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“完美点”．
【答案】（1）5；
（2）a＝1或a＝3；
（3）D是“完美点“．
【分析】（1）根据“长距“的定义解答即可；
（2）根据“完美点“的定义解答即可；
（3）由“长距“的定义求出 b 的值，然后根据“完美点“的定义求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，得点A （﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
点A的“长距“为5．
故答案为：5；
（2）点B （4﹣2a，﹣2）是“完美点“，
∴|4﹣2a|＝|﹣2|，
∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2，
解得a＝1或a＝3；
（3）点C （﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，
3b﹣2＝4，
解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D 的坐标为（5，﹣5），
点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴D是“完美点“．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义．
21．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×
（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍
理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
13
（1）（❑√2，❑√2） 是 “2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（2，3）是 倍理想坐
6
标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
13
【答案】（1）是， ；
6
（2）（a，b）的坐标为（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；
（3）（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．
【分析】（1）根据“n倍理想坐标”的定义判断即可；
（2）根据坐标轴上的点的特征得到a＝0或b＝0，那么ab＝0，根据“n倍理想坐标”的定义得出a2+b2
＝nab＝0，根据非负数的性质求出a＝0且b＝0，进而求解即可；
（3）根据四个象限角平分线上的点的特征得出a＝±b．再分①当（a，b）是第一、三象限角平分线上
的点；②（a，b）是第二、四象限角平分线上的点两种情况进行讨论，利用“n倍理想坐标”的定义求
解即可．
【详解】解：（1）因为（❑√2）2+（❑√2）2＝2×❑√2×❑√2，所以（❑√2，❑√2） 是“2倍理想坐标”；
13 13
因为22+32= ×2×3，所以（2，3）是“ 倍理想坐标”．
6 6
13
故答案为：是， ；
6
（2）当（a，b）在坐标轴上时，a＝0或b＝0，
∴ab＝0，
∵（a，b）为“n倍理想坐标”，
∴a2+b2＝nab＝0，
∴a＝0且b＝0，
∴（a，b）的坐标为（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），则a＝±b≠0．
分两种情况：
①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b，
∵a2+b2＝2a2＝2a•a＝2ab，
∴（a，b）是2倍理想点；
②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b，
∵a2+b2＝2a2＝2a（﹣b）＝﹣2ab，
∴（a，b）是﹣2倍理想点．
综上所述，（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．
【点评】本题考查了点的坐标，新定义，坐标轴上的点的特征，非负数的性质，四个象限角平分线上的
点的特征．理解“n倍理想坐标”的定义是解题的关键．
n+2
22．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1， ）为“好点”．
23 1
（1）判断点A（ ，− ），B（4，10）是否为“好点”，并说明理由；
2 2
（2）若点M（a，2a﹣1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
n+2
【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1， ）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验
2
等号是否成立即可；
（2）直接利用“好点”的定义得出a的值进而得出答案．
3 1
【详解】解：（1）点A（ ，− ）为“好点”，理由如下：
2 2
3 1 3 n+2 1 5
当A（ ，− ）时，m﹣1= ， =− ，得m= ，n＝﹣3，
2 2 2 2 2 2
则2m＝5，8+n＝5，
所以2m＝8+n，
3 1
所以A（ ，− ）是“好点”；
2 2
点B（4，10）不是“好点”，理由如下：
n+2
当B（4，10）时，m﹣1＝4， =10，得m＝5，n＝18，
2
则2m＝10，8+18＝26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“好点”；
（2）点M在第三象限，理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“好点”，
n+2
∴m﹣1＝a， =2a﹣1，
2
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n得2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3），
所以点M在第三象限．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“好点”的定义是解题关键．
23．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数
对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，3﹣2），即（5，1）．
（1）有序数对（2，﹣1）的“3阶结伴数对”为 （ 5 ， 3 ） ；
（2）若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（2，4），求a，b的值；
（3）是否存在实数k使得有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身？若存在，请求k的
值；若不存在请说明理由．【答案】（1）（5，3）；
{ a=2 )
（2） ；
b=−2
1
（3）k= ．
2
【分析】（1）“k阶结伴数对”的定义解答即可；
（2）根据题意得出方程组，再求出方程组的解即可；
（3）根据题意得出ka+b＝a，a﹣b＝b，再求出即可．
【详解】解：（1）有序数对（2，﹣1）的“3阶结伴数对”为（3×2﹣1，2+1），即（5，3），
故答案为：（5，3）；
（2）根据题意，得
{2a+b=2)
，
a−b=4
{ a=2 )
解得 ；
b=−2
（3）存在实数k使得有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身；理由如下：
∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身，
∴ka+b＝a，a﹣b＝b，
∴a＝2b，
把a＝2b代入ka+b＝a得：2bk+b＝2b，
即2bk＝b，
1
解得：k= ．
2
【点评】本题考查了点的坐标，能根据题意列出算式是解此题的关键．
24．对于平面直角坐标系中的点 P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且
k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，
2×1+4），即P′（9，6）．
（1）直接写出点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标 （ 1 1 ， 4 ） ．
（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（20，36），请求出点P的坐标．
【答案】（1）（11，4）；
（2）（11，3）．
【分析】（1）根据“k属派生点”的定义进行计算即可；
（2）根据“k属派生点”的定义列方程求解即可．
【详解】解：（1）由“k属派生点”的定义可知，点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣
1+2×6，6﹣1×2），即（11，4），
故答案为：（11，4）；
（2）设点P的坐标为（a，b），则点P的“3属派生点”P′的坐标为（a+3b，3a+b），由题意得，a+3b＝20，3a+b＝36，
解得a＝11，b＝3，
∴点P的坐标为（11，3）．
【点评】本题考查点的坐标，掌握点的坐标的定义，理解点的“k属派生点”的定义以及二元一次方程
组的解法是正确解答的关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a
级关联点”（其中 a 为常数，且 a≠0），例如，点 P（1，4）的“2 级关联点”为 Q（2×1+4，
1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为 （ 4 ， 4 ） ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P'是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点P'位于坐标轴上，求m的值．
2
【答案】（1）（4，4）；（2）（3，﹣2）；（3）− 或﹣4．
5
【分析】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解；
（2）点P的坐标为（x，y），根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x，y，即可求解；
（3）先表示出点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”P'，再分P'在x轴、y轴两种情况讨论即可解答．
【详解】解：（1）点 P 的坐标为（﹣1，5），则它的“1 级关联点”的坐标为（﹣1×1+5，﹣
1+1×5），即（4，4）．
故答案为：（4，4）；
（2）解：点P的坐标为（x，y），
{ 3x+ y=7 )
由题意可知 ，
x+3 y=−3
{ x=3 )
解得： ，
y=−2
∴点P的坐标为（3，﹣2）；
（3）解：∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为P′（﹣2（m﹣2）+3m，m﹣2+（﹣2）×3m），
即（m+4，﹣5m﹣2）
①P'位于x轴上，
2
∴﹣5m﹣2＝0，解得：m=− ；
5
②P'位于y轴上，
∴m+4＝0，解得：m＝﹣4．
2
综上所述，m的值为− 或﹣4．
5
【点评】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“a级关联
点”的定义是解题的关键．
26．对于平面直角坐标系xOy中的点A（a，b），若B的坐标为（ta，b+t），其中t为常数，且t≠0，则A、B互为“t系关联点”，比如：A（2，3）的“2系关联点”为B（2×2，3+2），即：B（4，5）．
（1）计算点C（﹣1，2）的“3系关联点”D的坐标；
（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q，且Q点到x轴距离是到y轴距离的一半，求P点的坐
标．
【答案】（1）（﹣3，5）；
（2）（6，﹣2）或（﹣6，﹣2）．
【分析】（1）根据“t系关联点”的定义可得D的坐标；
（2）根据定义找到点Q的坐标，根据题意建立等量关系即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：D（﹣1×3，2+3），
即D（﹣3，5）；
（2）由题意得：Q[m×（﹣1），﹣2+（﹣1）]，
即Q（﹣m，﹣3），
Q点到x轴距离为：|﹣3|＝3，Q点到y轴距离为：|﹣m|＝|m|，
1
故3= |m|，解得：m＝±6，
2
故点P（6，﹣2）或P（﹣6，﹣2）．
【点评】本题考查了点坐标的变换以及点到坐标轴的距离，熟练掌握各知识点是解题的关键．
27．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组
y+2
的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点Q(x−2， )中x，y的值若满足2x﹣y
2
＝4，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：
（1）判断点A（3，4）是否为“直线点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？
【答案】（1）点（3，4）是“直线点”；
（2）点M在第一象限．
【分析】（1）根据新定义可知x﹣2＝3，求出x的值，再根据2x﹣y＝4，求出y的值，即可确定纵坐标，
然后再判断即可；
y+2
（3）根据M（a，2a﹣1）是“直线点”，可得x﹣2＝a， =2a﹣1，表示出x和y，再根据2x﹣y＝
2
4，可得2（a+2）﹣（4a﹣4）＝4，求出a的值，进一步即可确定点M坐标，从而可确定点M所在象限．
【详解】解：（1）点（3，4）是“直线点”，理由如下：
当x﹣2＝3时，x＝5，
∵2x﹣y＝4，
解得y＝6，
y+2
∴ = 4，
2
∴点（3，4）是“直线点”；（2）∵M（a，2a﹣1）是“直线点”，
y+2
∴x﹣2＝a， =2a﹣1，
2
∴x＝a+2，y＝4a﹣4，
∵2x﹣y＝4，
∴2（a+2）﹣（4a﹣4）＝4，
解得a＝2，
∴点M坐标为（2，3），
∵2＞0，3＞0，
∴点M在第一象限．
【点评】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点M（a，b），若N的坐标为（ka，b+k），其中k为常数，且k≠0，
则M、N互为“k系关联点”，比如：M（2，3）的“2系关联点”为N（2×2，3+2），即：N（4，
5）．
（1）（﹣1，2）的“3系关联点”为 （﹣ 3 ， 5 ） ；
（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q（x，y），且满足x+y＝﹣9，求m的值．
【答案】（1）（﹣3，5）；
（2）6．
【分析】（1）根据“k系关联点”的定义解答即可；
（2）点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q（x，y），可得点Q（﹣m，﹣2﹣1），由x+y＝﹣9即可
得出m的值．
【详解】解：（1）根据“k系关联点”的求法可知：
（﹣1，2）的“3系关联点”为（﹣1×3，2+3），即（﹣3，5）；
故答案为：（﹣3，5）；
（2）∵点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q（x，y），
∴x＝m×（﹣1），y＝﹣2+（﹣1），
∴x＝﹣m，y＝﹣3，
又∵x+y＝﹣9，
∴﹣m+（﹣3）＝﹣9，
∴m＝6，
即m的值是6．
【点评】本题主要考查点的坐标与新定义，熟练掌握新定义并列出相关的方程是解题的关键．
29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当
点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣1，﹣4）的“短距”为 1 ；
（2）若点B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，求m的值；
（3）若C（﹣2，2n﹣1），D（n﹣3，5）两点为“等距点”，求n的值．【答案】（1）1；
1
（2）m＝1或m=− ；
3
4
（3）n＝5或n= ．
3
【分析】（1）根据“短距”的定义解答即可；
（2）根据“短距”的定义解答即可；
（3）由“等距点”的定义求出不同情况下的n的值即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：点A（﹣1，﹣4）的“短距”为1．
故答案为：1；
（2）∵B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，且|﹣3|≠2，
∴|3m﹣1|＝2，
1
解得：m＝1或m=− ，
3
1
∴m的值为1或− ；
3
（3）根据题意可得：点C（﹣2，2n﹣1）到x轴的距离为|2n﹣1|，到y轴距离为2；点D（n﹣3，5）到
x轴的距离为5，到y轴距离为|n﹣3|，
∵C，D为“等距点”，且2＜5，
∴点D的“短距”是|n﹣3|，
①当|2n﹣1|＞2时，|n﹣3|＝2，
∴n﹣3＝2或n﹣3＝﹣2，
解得n＝5或n＝1（舍）；
②当|2n﹣1|≤2时，|2n﹣1|＝|n﹣3|，
∴2n﹣1＝n﹣3或2n﹣1＝﹣（n﹣3），
4
解得n＝﹣2（舍）或n= ，
3
4
综上所述，n＝5或n= ．
3
【点评】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“短距”与
“等距点”．
n+2
30．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称P (m−2， ) 为“河南点”．
2
（1）请任意写出一个“河南点”： （ 0 ， 1 ）（答案不唯一） ；
（2）判断点A（3，4）是否为“河南点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a﹣1）是“河南点”．请通过计算判断点M在第几象限？
【答案】（1）（0，1）（答案不唯一）；
（2）点（3，4）是“河南点”，理由见解析；（3）点M在第一象限．
【分析】（1）当m＝2时，根据新定义计算出n的值，即可确顶点坐标；
（2）根据新定义可知m﹣2＝3，求出m的值，再根据2m＝4+n，求出n的值，即可确定纵坐标，然后
再判断即可；
n+2
（3）根据M（a，2a﹣1）是“河南点”，可得m﹣2＝a， =2a﹣1，表示出m和n，再根据2m＝
2
4+n，可得2（a+2）＝4+4a﹣4，求出a的值，进一步即可确定点M坐标，从而可确定点M所在象限．
【详解】解：（1）当m＝2时，
∵2m＝4+n，
∴n＝0，
n+2
∴m﹣2＝0， =1，
2
∴点（0，1）是一个“河南点”；
（2）点（3，4）是“河南点”，理由如下：
当m﹣2＝3时，m＝5，
∵2m＝4+n，
解得n＝6，
n+2
∴ = 4，
2
∴点（3，4）是“河南点”；
（3）∵M（a，2a﹣1）是“河南点”，
n+2
∴m﹣2＝a， =2a﹣1，
2
∴m＝a+2，n＝4a﹣4，
∵2m＝4+n，
∴2（a+2）＝4+4a﹣4，
解得a＝2，
∴点M坐标为（2，3），
∵2＞0，3＞0，
∴点M在第一象限．
【点评】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．
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