文档内容
9.4 有关坐标的新定义综合问题【重难点培
优】
一．解答题（共30小题）
1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到
x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判
断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
2．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B
是点A的“a倍相关点”．
例如，点A（1，3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2×3＝7，纵坐标为：2×1+3＝5，所以点A的“2
倍相关点”B的坐标为（7，5）．
1
（1）已知点P（﹣2，3）的“ 倍相关点”是点Q（s，t），求s+t的值；
3
（2）已知点M（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点N，且点N在y轴上，求点N到x轴的距离．
3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到
x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“完美点”．
4．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x+ky）（其中k为常数且
k≠0），则称点 B 是点 A 的“k 级关联点”．例如：点 A（1，4）的“3 级关联点”B 的坐标为
（3×1+4，1+3×4），即B（7，13）．
（1）点（1，2）的“2级关联点”的坐标为 ；
（2）若点A（2，﹣1）的“k级关联点”坐标为（9，m），求k+m的值；
（3）若点M（a﹣1，2a）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
5．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B
是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，2）的“3倍相关点”B的横坐标为：1+3×2＝7，纵坐标为：
3×1+2＝5，所以点A的“3倍相关点”B的坐标为（7，5）．
1
（1）已知点M（﹣4，6）的“ 倍相关点”是点N（s，t），求2s+t的值；
2
（2）已知点P（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离．
6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”．
（1）点A（﹣1，4）的“长距”为 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣2）是“龙沙点”，求a的值；
（3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“龙沙点”．
7．已知点P（a，b），当a，b满足2b＝8+a时，称P（a，b）为“开心点”．
（1）若点A是开心点，且点A的横坐标为﹣4，则点A的坐标是 ，点A到原点的距离是
．
（2）若点M（m，m+2）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
8．在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到
x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等
距点．
（1）已知点A的坐标是（﹣3，1），在点G（0，3）、H（3，﹣3）、I（﹣2，5）中，点A的“等距
点”是 ；
（2）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点
C的坐标；
（3）若点D（﹣1，t ）与点E（4，t ）是直线l：y＝kx﹣3（k＞0）上的两个“等距点”，求k的值．
1 2
9．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级
开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），
即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 ；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N
到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”．
（1）若点P（2m﹣1，﹣1）是“完美点”求m的值；
（2）若点Q（3n+1，﹣4）的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为（﹣5，1﹣2n），试
说明点D是“完美点”．
11．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a
阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），
即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
12．点 P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点 Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中 k为常数且
k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即
点Q为（4，5）．（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；
（2）若点P（﹣1，m）的“4拓点”Q的坐标是（﹣2，n），求mn的值．
13．点 P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点 Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中 k为常数且
k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即
点Q为（4，5）．
（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；
（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），求点P的坐标．
14．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称点P（m，n+2）为“开心点”．例如：点A（6，6）
为“开心点”．因为当点A的坐标为（6，6）时，m＝6，n+2＝6，所以m＝6，n＝4，所2m＝2×6＝
12，8+n＝8+4＝12，所以2m＝8+n．所以点A（6，6）是开心点”．
（1）试判断点B（6，8）是否为“开心点”；
（2）若点M（a，a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
15．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a阶
开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如点P（1，4）的“2阶开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即
Q（6，9）．
（1）若点C的坐标为（﹣2，1），求点C的“3阶开心点”D的坐标；
（2）若点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”N在第一象限，且到x轴的距离为9，求点N的坐标．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x
轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“方格点”．
例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“方格点”；点（2，﹣2），（﹣2，0）互为“方格点”．
已知点P（1，﹣4）．
（1）①点Q （4，﹣6） （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
1
②点Q （﹣4，4） （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
2
③点Q （﹣3，5） （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
3
（2）若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，求m的值；
（3）若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，求n的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d ，到y轴
1
的距离记作为d ．
2
（1）若点M在y轴上，则t＝ ；
（2）若t＝3，则d +d ＝ ；
1 2
（3）若t＜0，d ＝d ，求点M的坐标．
1 2
18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a
级关联点”（其中 a 为常数，且 a≠0），例如，点 P（1，4）的“2 级关联点”为 Q（2×1+4，
1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．
19．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×
（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍
理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）（﹣2，2） “﹣2 倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（3，2）是
倍理想坐标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平
面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q
到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“完美点”．
21．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×
（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍
理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）（❑√2，❑√2） “2 倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（2，3）是
倍理想坐标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平
面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
n+2
22．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1， ）为“好点”．
2
3 1
（1）判断点A（ ，− ），B（4，10）是否为“好点”，并说明理由；
2 2
（2）若点M（a，2a﹣1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
23．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数
对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，3﹣2），即（5，1）．
（1）有序数对（2，﹣1）的“3阶结伴数对”为 ；
（2）若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（2，4），求a，b的值；
（3）是否存在实数k使得有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身？若存在，请求k的
值；若不存在请说明理由．
24．对于平面直角坐标系中的点 P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，
2×1+4），即P′（9，6）．
（1）直接写出点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标 ．
（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（20，36），请求出点P的坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a
级关联点”（其中 a 为常数，且 a≠0），例如，点 P（1，4）的“2 级关联点”为 Q（2×1+4，
1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P'是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点P'位于坐标轴上，求m的值．
26．对于平面直角坐标系xOy中的点A（a，b），若B的坐标为（ta，b+t），其中t为常数，且t≠0，则
A、B互为“t系关联点”，比如：A（2，3）的“2系关联点”为B（2×2，3+2），即：B（4，5）．
（1）计算点C（﹣1，2）的“3系关联点”D的坐标；
（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q，且Q点到x轴距离是到y轴距离的一半，求P点的坐
标．
27．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组
y+2
的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点Q(x−2， )中x，y的值若满足2x﹣y
2
＝4，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：
（1）判断点A（3，4）是否为“直线点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？
28．对于平面直角坐标系xOy中的点M（a，b），若N的坐标为（ka，b+k），其中k为常数，且k≠0，
则M、N互为“k系关联点”，比如：M（2，3）的“2系关联点”为N（2×2，3+2），即：N（4，
5）．
（1）（﹣1，2）的“3系关联点”为 ；
（2）若点P（m，﹣2）的“﹣1系关联点”为Q（x，y），且满足x+y＝﹣9，求m的值．
29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当
点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣1，﹣4）的“短距”为 ；
（2）若点B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，求m的值；
（3）若C（﹣2，2n﹣1），D（n﹣3，5）两点为“等距点”，求n的值．
n+2
30．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称P (m−2， ) 为“河南点”．
2
（1）请任意写出一个“河南点”： ；
（2）判断点A（3，4）是否为“河南点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a﹣1）是“河南点”．请通过计算判断点M在第几象限？
