文档内容
成都七中2023届高三上学期入学考试数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的.）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设i为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
3． 的展开式中含 项的系数为（ ）
A． B．24 C． D．
4．已知 ，则 外接圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个半径为 的扇形圆心角为 ，面积为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在 世纪
年代提出，其内容是：任意给定正整数 ，如果 是奇数，则将其乘 加 ；如果 是偶
数，则将其除以 ，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到 ．下边的程序框图
演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入 的值为 ，则输出 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，
每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开
放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉
为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含
的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是
（ ）
A． B． C． D．
8．设 表示直线， 表示平面，使“ ”成立的充分条件是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ， ， ，
9．等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 为（ ）
A．1或9 B．1 C．9 D．3
10．设函数 定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B． 为奇函数
C． 在 上为减函数
D． 的一个周期为8
11．已知 是椭圆 ： 的左焦点，经过原点 的直线 与椭圆 交于
， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设 ， ， ，则 的大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量 ， ， ，则 ________.
14．如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为 ，高为 ，则这个茶叶盒的表面
积约为______ ．
15．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
，若 为 的面积，则 的最小值为______.
16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 做倾斜角为 的动直线 交 于 两
点，过 分别作 的切线 ， ， 与 交于点 ， ， 与 轴的交点分别为 ，则
四边形 的面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）
已知公差d不为0的等差数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 ， ，求数列 的前n项和 ．
18．（12分）如图所示，在四棱锥 中， 平面 平面
， ，又 为 中点
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
19．（12分）《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量
超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量 （单位：千万辆）
折线图．
（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）
(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立 关于 的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．
参考数据： ， ， ， ，
， ．
参考公式：相关系数 ，线性回归方程 中，斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为 ， ．20．（12分）已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的两倍，且过点
.
(1)求椭圆 的方程.
(2)设椭圆 的下顶点为点 ，若不过点 且不垂直于坐标轴的直线 交椭圆 于 ， 两
点，直线 ， 分别与 轴交于 ， 两点.若 ， 的横坐标之积是2，证明：直线
过定点.
21．（12分）已知函数 .
（1）已知 恒成立，求 的值；
（2）证明：当 时， ；
（3）当 时，不等式 ，求 的取值范围.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线 的参数方程为 （t为参
数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 的极坐标方程
为 ．
(1)求曲线 的普通方程；
(2)若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ，求实数a的值．
