文档内容
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试
文科数学
本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴
区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 1或1
3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标
的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在 的概率约为0.5
4．若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）．
A． B．4 C．5 D．14
5．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是两条异面直线，直线 与 都垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．若 平面 ，则 B．若 平面 ，则
C．存在平面 ，使得 D．存在平面 ，使得
7．已知函数 是奇函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．一个容器装有细沙 ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， 后剩余的细沙量为
，经过8 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过
的时间为（ ）.A．24 B．26 C．8 D．16
9．已知α满足 ，则 （ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
10．已知曲线 在 处的切线为l，若l与 相切，则实数 （ ）
A．2或 B． 或3 C．2 D．3
11．三棱锥 ， 平面 ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的半
径为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 ： 上一点 ，曲线 ： 上一点 ，当 时，对
于任意 ， 都有 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆 ，则椭圆的焦点坐标是______．
14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是_____．
15．若直线 与抛物线 交于点 ，则 的值为______.
16．已知函数 在区间 上单调，且满足 ．有下列结论：
① ；
②若 ，则函数 的最小正周期为 ；
③关于 的方程 在区间 上最多有 个不相等的实数解；
④若函数 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围为 ．
其中所有正确结论的编号为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
B
sin(A+C)=8sin2
ΔABC a,b,c 2
17．（12分） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
cosB
（1）求 ；
ΔABC
（2）若 ， 面积为2，求 ．
18．（12分）广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上
学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过
关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级 人，他们的测试成绩的频数分布如下表：
2市一诊分数
段
人数 5 10 15 13 7
“过关”人
1 3 8 8 6
数
（1）由以上统计数据完成如下 列联表，并判断是否有 的把握认为市一诊数学成绩不低于 分与测试“过
关”有关？说明你的理由；
分数低于 分人数 分数不低于 分人数 合计
“过关”人
数
“不过关”
人数
合计
（2）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形， ， ， ，且
，平面 平面 ，M，N分别为EF，CD的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求多面体 的体积.
20．（12分）已知点 是椭圆 的左顶点，椭圆 的离心率为 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)斜率为 的直线交椭圆 于 两点，点 在椭圆 上， ，且 ，证明： .
21．（12分）已知函数 在 处的切线的斜率为1．
(1)求 的值及 的最大值．
1 1 1
1+ + +...+ >ln(n+1),(n∈N+)
2 3 n
(2)证明：
(3)若 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分．22．在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 ， ，与直线 的交点为
，求线段 的长．
23．设 ．
（1）对一切 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知 最大值为M， ，且 ，求证： ．
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试
文科数学参考答案：
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．D 10．A 11．A 12．A
13． ， 14． 15． 16．①②④．
17．（1） ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（1）根据题意得 列联表如下：
分数低于 分人数 分数不低于 分人数 合计
“过关”人
12 14 26
数
“不过关”
18 6 24
人数
合计 30 20 50
所以， .
因此有 的把握认为期末数学成绩不低于 分与测试“过关”有关.
（2）设该市一诊考试数学成绩的中位数为 .
市一诊分数段
人数 5 10 15 13 7
频率 0.1 0.2 0.3 0.26 0.14
4根据题意有： ，解得： .
所以，该校市一诊考试数学成绩的中位数为 分.
19．解：（1）如图，取AD的中点O,连接OM，ON，
在矩形ADEF中，∵O，M分别为线段AD，EF的中点，∴ .
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
在 中，∵O，N分别为线段AD，CD的中点，
∴ .又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又 ， 平面 ，∴平面 平面
又 平面 ，∴ 平面 .
（2）如图，过点 作 于 .
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
同理 平面 .
连接 ， .在 中，∵ ， ，∴ .同理 .
∵ ，∴等边 的高为 ，即 .连接 .
∴
.
20．(1)依题意， ，椭圆半焦距c，则 ，即 ，因此 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)直线 的方程为： ，由 消去y并整理得：
，设 ，由 得 ，
于是得 ，因 ，即直线 的斜率为 ，同理得 ，
而 ，即 ，整理得 ，
令 ，则 是 的零点，又 ，因此 在 单调递增，
又 ，即 在 有唯一的零点，且零点 在 内，所以 .
21．（1）函数的定义域为 ．
由已知得 ，得 ，解得 ．
此时 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 在 单调递减，
所以 ；（2）由（1）得 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，则 ，所以 ，
将上述 个不等式依次相加，得 ；
（3）因为 ，若 恒成立，则 ，
① 时，显然成立② 时，由 ，得 ．
当 时， 单减，当 时， 单增，
所以 在 处取得极小值，即最小值， ，即 恒成立，
综合①②可知，实数 的取值范围为 .
22．（1）因为，圆 的参数方程 （ 为参数），消去参数可得： ；
把 代入 ，化简得： ，即为此圆的极坐标方程；
（2）设 两点的极坐标为： ， ，
因为直线 的极坐标方程是 ，射线 ，
将 代入 得 ，即 ；
将 代入 得 ，所以 ．
23（1）由题意 ,所以 ，所以，实数m的取值范围是 ；
（2）证明：由（1）知， ，由 得 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立；
，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立；
综上所述， ．
6
