专题01二次根式全章复习攻略（3个概念4个性质1个运算2个技巧专练）学生版_初中数学_八年级数学下册（人教版）_期末专项复习-U276_2024版

专题 01 二次根式全章复习攻略（3 个概念 4 个性 质 1 个运算 2 个技巧专练） 3个概念 【考查题型一】二次根式 1 3, , 0.02, 0 a(a0) 2 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. a a0 a0 a 要点诠释：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， a 才有意义. 【例1】．（22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式中，不是二次根式的是( )A． B． C． D． 【变式1-1】．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式1-2】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若 都是实数，且 ， 的值为 ． 【变式1-3】．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知 ，求 的值． 【考查题型二】代数式 【例2】．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知 ， ． (1)分别求 ， 的值； (2)利用（1）的结果求下列代数式的值： ① ； ② ． 【变式2-1】．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知 ，则代数式 的值是 ． 【变式2-2】．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 ． 【变式2-3】．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点 ，则由勾股定理可得，这两点间的距离 ．例如．如图1， ，则 ． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点 ，P为x轴上任一点，求 的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【考查题型三】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可 化为平方数或平方式的因数或因式． 【例3】（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当 时， 和 两个最简二次根式是同类二次根式． 【变式3-2】．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 . 【变式3-3】．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列二次根式 ， ， ， ， 中，是最简 二次根式的为 ． 4个性质 （1） ； （2） ； （3） . a a ( a)2 a0 要点诠释：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 3 3 x0 （ ）. a2 a a a2 （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同 a2 a ( a)2 a 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； a2 a ( a)2 a a0 = ， = （ ）. a a2 ( a)2 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 【考查题型四】 【例4】．化简(－3)2的结果为( ) A．21 B．－21 C．147 D．63 【变式4-1】．化简：()2＝ ；()2＝ . 【变式4-2】.计算： (1)()2； (2)(－)2； (3)(4)2.【变式4-3】．计算下列各题： (1)2()2; (2)(2)2； (3)(－2)2; (4)()2. 【考查题型五】＝a(a≥0) 【例5】计算： (1)； (2)； (3). 【考查题型六】积的算术平方根的性质 【例6】．（21-22八年级下·广西梧州·期中）计算 正确的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】．（22-23八年级下·广西南宁·期中）计算 的结果是 ． 【变式6-2】．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）化简： ． 【变式6-3】．（23-24八年级上·广东茂名·期中）计算： ；【考查题型七】商的算术平方根的性质 【例7】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简： ． 【变式7-1】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【变式7-2】．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简： (1) ； (2) ； (3) ． 【变式7-3】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 1个运算 【考查题型八】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  (a0,b0) a a  (a0,b0) b b b b要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类 二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次 23 25 2 (135) 2  2 根式.如 . 【例8】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1) ； (2) ． 【变式8-1】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1) ； (2) ． 【变式8-2】．（22-23八年级下·四川广安·期末）计算： (1) (2) 【变式8-3】．（22-23八年级下·四川南充·期末）计算：(1) ； (2) ． 【考查题型九】倒数法比较大小 【例9】．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ， ， ， ，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较 与 的大小． 【变式9-1】．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）已知： 分别是 的整数部分和小数部分， (1)求： 的值； (2)比较 与 的大小 ． 【变式9-2】．（21-22八年级下·江西宜春·期中）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式， 我们你这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理 化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：(1)化简： _______； ________； (2)比较 与 的大小，并说明理由； (3)解方程： 【变式9-3】．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简： ______， ______（n为正整数） (2)比较大小： ______ （填“ ”，“ ”或“ ”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： ______ 【考查题型十】整体代入求值 一、解答题 【例10】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）已知 ，求下列式子的值： (1) ； (2)【变式10-1】．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知 ， ，求下列代数式的值： (1) ； (2) ． 【变式10-2】．（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知 ，求 的值． 【变式10-3】．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知 ，求代数式 的值．下面是小敏的解题方法： 解：由 ，得 ，所以 ，所以 ，即 ．把 作为整 体代入，得 ． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若 ，求代数式 的值； (2)若 ，求代数式 的值．