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大题保分练 2
1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos
A＝1，B＝.
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理知，
＝＝＝2R，
∵acos C＋ccos A＝1，
∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，
即2Rsin B＝1，
∴b＝2Rsin B＝1.
(2)在△ABC中，由余弦定理得
cos B＝＝，
∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，
∴(2－)ac≤1，
∴ac≤2＋，
又∵S ＝acsin B＝ac，
△ABC
∴S ≤，
△ABC
即△ABC面积的最大值为.
2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，
先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者
得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，乙得4分的概率；
(2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值．
解 (1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，
败一场，最后一局比赛，甲胜．
则比赛结束，乙得4分的概率为
C×××＝.
(2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分，
其概率为2＝；
若甲连败两局结束比赛，甲得2分，其概率为2＝；
若甲以2∶1结束比赛，甲得6分，
其概率为C×××＝；
若乙以2∶1结束比赛，甲得4分，
其概率为C×××＝，
故X的分布列为
X 2 4 6
P
E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
3．(2022·襄阳模拟)已知等差数列{a}满足a ＝1，且前四项和为28，数列{b}的前n项和S
n 1 n n
满足2S＝3b－3λ(λ∈R)．
n n
(1)求数列{a}的通项公式，并判断{b}是否为等比数列；
n n
(2)对于集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}．若λ＝1，设数列{a}和{b}中的所有
n n
项分别构成集合A，B，将集合A－B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c}，
n
求数列{c}的前30项和T .
n 30
解 (1)∵{a}是等差数列，a＝1，且前4项和为28，∴S＝4×1＋×d＝28，解得d＝4，
n 1 4
∴a＝1＋4(n－1)＝4n－3.
n
∵2S＝3b－3λ，
n n
∴当n≥2时，2S ＝3b －3λ，
n－1 n－1
两式相减得2b＝3b－3b (n≥2)，
n n n－1
即b＝3b (n≥2)，
n n－1
又2b＝3b－3λ，
1 1
∴b＝3λ.
1
∴当λ＝0时，数列{b}的通项公式为b＝0，不是等比数列；
n n
当λ≠0时，数列{b}是首项为3λ，公比为3的等比数列，且b＝λ3n.
n n
(2)由(1)知b＝3n，
n
则b＝81，b＝243，
4 5
∵a ＝4×30－3＝117，
30
∴b<a <b，
4 30 5
∴T 中要去掉{b}的项最多4项，
30 n
即3,9,27,81，
其中9,81是{a}和{b}的公共项，
n n
∴数列{c}的前30项和T 由{a}的前32项和去掉9,81，
n 30 n则T ＝(a＋a＋…＋a )－(9＋81)
30 1 2 32
＝－90＝1 926，
∴数列{c}的前30项和T 为1 926.
n 30
4.(2022·唐山模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，AC＝BC＝CC ＝2，D为BC的中点，
1 1 1 1
E为棱AA 上一点，AD⊥DC .
1 1
(1)求证：BC⊥平面AAD；
1
(2)若平面ADE与平面C DE的夹角为30°，求直线CE与平面C DE所成角的正弦值．
1 1 1
(1)证明 在直三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
CC ⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
1
∴CC ⊥AD，
1
又AD⊥DC ，CC ∩DC ＝C ，
1 1 1 1
CC ⊂平面BCC B，DC ⊂平面BCC B，
1 1 1 1 1 1
∴AD⊥平面BCC B，
1 1
又BC⊂平面BCC B，∴AD⊥BC.
1 1
由直三棱柱的性质知，AA⊥平面ABC，
1
BC⊂平面ABC，
∴AA⊥BC，
1
又AD∩AA＝A，AD⊂平面AAD，
1 1
AA⊂平面AAD，
1 1
∴BC⊥平面AAD.
1
(2)解 由(1)知，AD⊥BC，
又D为BC的中点，∴AB＝AC.
以D为坐标原点，DC的方向为x轴正方向，DA的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系．则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C (1,0,2)，
1
设AE＝t(0≤t≤2)，则E(0，，t)．
由(1)知，平面ADE的一个法向量可取BC＝(2,0,0)，
1
设平面C DE的法向量为n＝(x，y，z)，
1
∵DC1＝(1,0,2)，DE＝(0，，t)，
∴
令x＝2，
解得z＝－，y＝t，
∴n＝(2，t，－)，
∴|cos〈BC，n〉|＝
＝＝，
解得t＝1，此时n＝(2，1，－)，
设CE与平面C DE所成角为θ，
1
∵CE＝(－1，，1)，
∴sin θ＝|cos〈CE，n〉|＝
＝＝，
即直线CE与平面C DE所成角的正弦值为.
1
