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大题保分练 2
1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos
A＝1，B＝.
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理知，
＝＝＝2R，
∵acos C＋ccos A＝1，
∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，
即2Rsin B＝1，
∴b＝2Rsin B＝1.
(2)在△ABC中，由余弦定理得
cos B＝＝，
∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，
∴(2－)ac≤1，
∴ac≤2＋，
又∵S ＝acsin B＝ac，
△ABC
∴S ≤，
△ABC
即△ABC面积的最大值为.
2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，
先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者
得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，乙得4分的概率；
(2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值．
解 (1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，
败一场，最后一局比赛，甲胜．
则比赛结束，乙得4分的概率为
C×××＝.
(2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分，
其概率为2＝；
若甲连败两局结束比赛，甲得2分，其概率为2＝；
若甲以2∶1结束比赛，甲得6分，
其概率为C×××＝；
若乙以2∶1结束比赛，甲得4分，
其概率为C×××＝，
故X的分布列为
X 2 4 6
P
E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
3．(2022·襄阳模拟)已知等差数列{a}满足a ＝1，且前四项和为28，数列{b}的前n项和S
n 1 n n
满足2S＝3b－3λ(λ∈R)．
n n
(1)求数列{a}的通项公式，并判断{b}是否为等比数列；
n n
(2)对于集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}．若λ＝1，设数列{a}和{b}中的所有
n n
项分别构成集合A，B，将集合A－B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c}，
n
求数列{c}的前30项和T .
n 30
解 (1)∵{a}是等差数列，a＝1，且前4项和为28，∴S＝4×1＋×d＝28，解得d＝4，
n 1 4
∴a＝1＋4(n－1)＝4n－3.
n
∵2S＝3b－3λ，
n n
∴当n≥2时，2S ＝3b －3λ，
n－1 n－1
两式相减得2b＝3b－3b (n≥2)，
n n n－1
即b＝3b (n≥2)，
n n－1
又2b＝3b－3λ，
1 1
∴b＝3λ.
1
∴当λ＝0时，数列{b}的通项公式为b＝0，不是等比数列；
n n
当λ≠0时，数列{b}是首项为3λ，公比为3的等比数列，且b＝λ3n.
n n
(2)由(1)知b＝3n，
n
则b＝81，b＝243，
4 5
∵a ＝4×30－3＝117，
30
∴b
