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大题保分练 2
1．(2022·合肥质检)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝1，S＝a －3.
n n 1 n n＋1
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)已知数列{c}满足________，记T 为数列{c}的前n项和，证明：T<2.
n n n n
从①c＝；②c＝两个条件中任选一个，补充在第(2)问中的横线上并作答．
n n
(1)解 ∵S＝a －3，①
n n＋1
∴当n＝1时，a＝a－3，∴a＝4；
1 2 2
当n≥2时，S ＝a－3，②
n－1 n
由①－②得，a ＝2a，
n＋1 n
又∵＝4≠2，
∴数列{a}是从第2项起公比为2的等比数列，
n
即当n≥2时，a＝a·2n－2＝2n.
n 2
∴a＝
n
(2)证明 若选择①：c＝
n
＝
＝
＝2，
∴T＝2
n
＝2<2.
若选择②：c＝＝，
n
则T＝＋＋…＋＋，③
n
T＝＋＋…＋＋，④
n
由③－④得
T＝＋－
n
＝＋－，
∴T＝2－<2.
n
2．(2022·海东模拟)新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．
新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生
的某次历史测试成绩(满分 100 分)，把其中不低于 50 分的分成[50,60)，[60,70)，…，
[90,100]五段后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求出这100名学生中历史成绩低于50分的人数；
(2)根据调查，本次历史测试成绩不低于70分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于70分
的学生，高考将选考物理科目．按分层抽样的方法从测试成绩在[0,70)，[70,100]的学生中选
取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人高考都选考历史科目的概率．
解 (1)因为各组的频率和等于1，
所以低于50分的频率为1－(0.015×2＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.1，
所以低于50分的人数为100×0.1＝10.
(2)由(1)可知，学生成绩在[0,70)的频数为 0.4×100＝40，学生成绩在[70,100]的频数为
0.6×100＝60.按分层抽样的方法从中选取5人，则从成绩在[0,70)的学生中抽取×5＝2(人)，
分别记为a，a，从成绩在[70,100]的学生中抽取×5＝3(人)，分别记为b，b，b.
1 2 1 2 3
从中任意选取2人，有aa ，ab ，ab ，ab ，ab ，ab ，ab ，bb ，bb ，bb ，共10种
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3
选法，其中高考都选考历史科目的选法有bb，bb，bb，共3种．
1 2 1 3 2 3
所以这2人高考都选考历史科目的概率为P＝.
3.如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AC＝AA＝2AB＝2AC＝2BC＝4，∠BAA＝60°.
1 1 1 1 1 1
(1)证明：平面ABC⊥平面AABB；
1 1
(2)设P是棱CC 上一点，且CP＝2PC ，求三棱锥A－PBC 的体积．
1 1 1 1 1
(1)证明 如图，连接AB.
1
在三棱柱ABC－ABC 中，AC＝AA＝2AB＝4，∠BAA＝60°.
1 1 1 1 1 1
则AB2＝AA＋AB2－2AA·ABcos 60°＝42＋22－2×4×2×＝12，
1 1
则AB＝2，则AB2＋AB2＝AA，
1 1
∴AB⊥AB，
1
又∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，
1 1 1
又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，
∴AB⊥平面ABC，
1∵AB⊂平面AABB，
1 1 1
∴平面ABC⊥平面AABB.
1 1
(2)解 如图，取AB的中点D，连接CD，AB，∵AC＝BC，∴ CD⊥AB，
1
又由(1)知，平面ABC⊥平面AABB，平面ABC∩平面AABB＝AB，CD⊂平面ABC，
1 1 1 1
则CD⊥平面AABB，且CD＝.
1 1
则三棱锥C－ABA 的体积为××2×4××＝2，
1
则三棱柱ABC－ABC 的体积为6，
1 1 1
∵CP＝2PC ，
1
∴在四边形C BBC中，
1 1
又∵四棱锥A－C BBC的体积为6－2＝4，
1 1 1
∴三棱锥A－PBC 的体积为 ＝×4＝.
1 1 1
4．(2022·合肥模拟)已知f(x)＝|x－4|＋|2x＋2|－|x－1|的最小值为m.
(1)求实数m的值；
(2)若a＋b＋c＝－3，证明：a2＋b2＋c2≥.
(1)解 由题意，函数f(x)＝|x－4|＋|2x＋2|－|x－1|，
当x<－1时，可得f(x)＝4－x－2x－2＋x－1＝1－2x，此时f(x)>f(－1)＝3；
当－1≤x<1时，可得f(x)＝4－x＋2x＋2＋x－1＝5＋2x，此时f(x)≥f(－1)＝3；
当1≤x<4时，可得f(x)＝4－x＋2x＋2＋1－x＝7；
当x≥4时，可得f(x)＝x－4＋2x＋2＋1－x＝2x－1，此时f(x)≥f(4)＝7，
所以函数f(x)的最小值为3，即m＝3.
(2)证明 由m＝3，可得a＋b＋c＝－3＝－3＝－2，
所以4＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3(a2＋b2＋c2)，
当且仅当a＝b＝c＝－时取等号，
所以a2＋b2＋c2≥.
