文档内容
专题01 函数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 函数的概念
题型二 函数的解析式
题型三 求自变量的取值范围
题型四 求自变量的值或函数值
题型五 用表格表示变量间的关系
题型六 用关系式表示变量间的关系
题型七 用图象表示变量间的关系
题型八 函数图象的识别
题型九 从函数的图象获取信息
题型十 用描点法画函数图象
题型十一 动点问题的函数图象
题型十二 函数的三种表示方法
【知识梳理】
知识点一：变量与常量
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果
当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
知识点二：自变量取值范围
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
知识点三：函数定义
像 这样，用关于自变量的数学式子表示
函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式
知识点四：函数的图像
【经典例题一 函数的概念】【例1】下列是关于变量x，y的关系式：① ② ；③ ；④ .其中 是 的
函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【变式训练】
1．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．设 表示关于 的函数，若 ，且 ，那么 ．
3．下列各式中， 是否是 的函数？为什么？
(1) ；
(2) ．
【经典例题二 函数的解析式】
【例2】若点 是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为
( )
A． B． C． D．【变式训练】
1．如图，在 中，已知 ，BC边上的高线 ，动点 由点C沿CB向点B移动（不与点B
重合），设 的长为x， 的面积为S，则S与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．某书定价为30元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打9折，试写出付款金额 （单位：
元）与购书数量 （单位：本）之间的函数关系式为 ．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 是 上与 、 不重合的任意一点，设 ，点
到 的距离为 ，求出 关于自变量 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围．
【经典例题三 求自变量的取值范围】
【例3．函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
【变式训练】
1．小明在劳动技术课中要制作一个周长为 的等腰三角形，则底边长 ，腰长 的函数表达
式和自变量的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
2．在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
3．写出下列函数中自变量 的取值范围：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【经典例题四 求自变量的值或函数值】
【例4】按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是 ，若输入x的值是
1，则输出y的值是（ ）
A．−3 B．−2 C．0 D．2
【变式训练】
1．已知 ，那么 的值是（ ）
A．-6 B．-9 C．9 D．6
2．已知直线 ： 与直线 ： 交于点 ，则代数式 取最大值时，点 到原点的距离为 ．
3．已知一块边长为 的正方形草地．
(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少 （ ），再将另一边增加 ，设变化后的草地的面积
为 ，则 _____（填“是”或“不是”）关于x的函数．
(2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加 ，设扩充后的草地的面积为 ．
①写出y与x之间的函数关系式；
②当 时，求y的值．
【经典例题五 用表格表示变量间的关系】
【例5】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） 0 10 20 30
34
声速（m/s） 318 324 330 336 348
2
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高 时，声速增加
D．当空气温度为 时，声音可以传播
【变式训练】
1．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（ ）与下滑的时间（ ）的关系如下表：
支撑物高 10 20 30 40 50 …下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当 时， 约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当 时， 一定小于2.56秒
D．高度每增加 ，时间就会减少0.24秒
2．我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——
纳米气凝胶，该材料导热率 \与温度 的关系如表：
温度
导热率
根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，则温度为 ．
3．如图，把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变
化而变化的情况如表格所示：
凳子的数量（个） 1 2 3 4 5 …
高度（ ） 50 55 60 65 70 …
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用 表示这摞凳子的高度，x（个）表示这摞凳子的数量，请写出h与x之间的函数关系式；
(3)当这摞凳子的高度为 时，求这摞凳子的数量．【经典例题六 用关系式表示变量间的关系】
【例6】汽车油箱中有汽油 ．如果不再加油，那么油箱中的油量 （单位： ）随行驶路程 （单位：
）的增加而减少，平均耗油量为 ．当 时， 与 的表达式为（ ）
A． B．y C． D．
【变式训练】
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系：
x(kg) 0 1 2 3 4 5
y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是因变量 B．物体质量每增加1kg，弹簧长度 增加0.5cm
C．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm D． 与 的关系表达式是
2．某市区出租车的收费标准是起步价 元（行程小于或等于 千米），超过 千米每增加 千米（不足 千
米按 千米计算）加收 元，则出租车费 （元）与行程 （千米）（ ）之间的关系式为 ．
3．某玩具公司对一款长90厘米的玩具火车做性能测试．现有一斜坡轨道 ，如图玩具火车从A点匀速
出发，途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点．火车头到达 B点时火车停留了2秒，
然后进行倒车测试，火车匀速倒回点A运动停止．设运动时间为t秒，车尾离A的距离为m厘米，车头离
B的距离为n厘米，记 ，已知火车从A向B运动过程中， 和 的时候与之对应的y的值互
为相反数．火车从点A出发到倒回到点A，整个过程总用时36秒（含停留时间）．
(1)火车从A向B运动的速度为_______厘米/秒；
(2)轨道 的长为________厘米；
(3)求火车倒回过程中y与t的函数表达式；
(4)在整个过程中，若 ，求t的值．【经典例题七 用图象表示变量间的关系】
【例7】晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，
接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）
之间的关系的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢
和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下
列信息，其中错误的是（ ）
A．点 表示老刘出发 ，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为
C． 老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在 的速度比 的速度慢
2．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下
来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程 和小明所用时间 的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明
吃早饭用时 ；②小华到学校的平均速度是 ；③小明跑步的平均速度是 ；④小华到
学校的时间是7：05．
3．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y与生产时间t(时)的关
系如图所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时；
②当 时，甲、乙生产的零件个数相等；
(2)试求出甲在 时内每小时生产零件的个数．
【经典例题八 函数图象的识别】
【例8】如图所示，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过10分钟漏完，H是
沙漏中沙面下降的高度，则H与下落时间t（分钟）的函数关系用图象表示应该是（如图所示）（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．我们知道 ，小明同学据此画出了函数 的大致图象，你认为小明同学所作图
象正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式 中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．3．下列各情景分别可以用哪幅图来近似地刻画？
(1)一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）；
(2)一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；
(3)足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；
(4)匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．
【经典例题九 从函数的图象获取信息】
【例9】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向勾速步行，先到终点的人休息．已知
甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如
图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲步行的速度为75米/分钟 B．起点到终点的距离为5940米
C．甲走完全程用了79分钟 D．乙步行的速度为90米/分钟
【变式训练】
1．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中 (分钟)表示时间，
(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ）A．小红从家到图书馆用了 分钟，图书馆离小红家有 千米
B．小红在图书馆看书用了 分钟
C．超市离小红家有 千米，小红从超市回家的平均速度是 千米 分钟
D．从图书馆到超市用了 分钟，图书馆离超市有 千米
2．已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙
先到达目的地，两人之间的距离 与运动时间 的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有
．
①两人出发 后相遇；②甲骑自行车的速度为 ；③乙比甲提前 到达目的地；④乙到达目的地时
两人相距 ．
3．甲乙两车从 A 地出发，匀速驶向 B 地， 甲车以 的速度行驶 后，乙车才沿相同路线行
驶， 乙车先到 达 B 地并停留 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇， 在此过程中， 两车之间
的距离 与乙车行驶时间 之间的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
(1)乙车的速度为 ；
(2) ．(3)点 H 的坐标为 ．
(4) ．
【经典例题十 用描点法画函数图象】
【例10】变量 的一些对应值如下表：
… …
… …
根据表格中的数据规律，当 时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．小明在画函数 （ ＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一
个不在该函数图象上的点，这个点是
A． B． C． D．
2．描点法画函数图象的一般步骤：
第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
3．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 m 0 2.64 …
其中 _______．
(2)在如图所示的平面直角坐标系 中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：__________．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程 有______个互不相等的实数根；
②若关于x的方程 有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是______．
【经典例题十一 动点问题的函数图象】
【例11】如图1，在 中， ，D，E分别是 ， 的中点，连接 ， ，点P从
点C出发，沿 的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为 ，图2是点P运动时，
的面积 随 变化的图象，则a的值为（ ）A．2.5 B．4 C．5 D．10
【变式训练】
1．如图（1），在 中， ， ，动点P从点B出发，沿 匀速
运动，设点P运动的路程为x， 的面积为y（当A，B，P点共线时，不妨设 ），y与x之间的函
数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（ ）
图（1） 图（2）
A．16 B．15 C．14 D．13
2．如图1所示，在矩形 中，动点 从点 出发，沿矩形的边由 运动，设点 运动
的路程为 ， 的面积为 ，把 看作 的函数，函数图象如图 所示，则 的面积为
．
3．已知动点 从点 出发沿图1的边框按 的路径运动（边框拐角处都互相垂
直），相应的 的面积 与 点移动路程 的关系图象如图2，根据图象信息回答下列问题：(1) ， ；当 时，点 应运动到图1的顶点 处；
(2)根据以上信息，求 的值；
(3)当 时，求 的值．
【经典例题十二 函数的三种表示方法】
【例12】李强一家自驾车到离家 的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程
与油箱剩余油量 之间的部分数据：
轿车行驶的路程 10 40
0 200 300 …
0 0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余 油
【变式训练】
1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹
车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 ，对这种型号的汽车进行了测试，测
得的数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …………
刹车距离（m） 0 5 10
下列说法中错误的是（ ）
A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离
B．刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加
C．当刹车距离为 时，刹车时的车速为
D．当刹车时的车速为 时，与其前方距离为 的车辆不会追尾
2．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关
系的表达式是 ．
3．结合一次函数的学习经验，探究函数： 的图像和性质，请完善下面的研究过程．
(1)自变量 的取值范围为______；
(2)化简函数解析式：
①当 时， ______；
②当 时 ______；
③当 时 ______；
(3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；(4)若关于 的方程： 有两个解，请直接写出 的取值范围是______．
【拓展培优】
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图 ，点 从四条边都相等的 的顶点 出发，沿 以
的速度匀速运动到点 ，图 是点 运动时， 的面积 随时间 变化的关系图象，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川巴中·模拟预测）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：
张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示张强离
家的时间， 表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（ ）
A．张强从家到体育场用了 B．体育场离文具店
C．张强在体育场锻炼了 D．张强从文具店回家的速度是
3．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）A． B． 且 C． D．
4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）函数 的图象有两点，坐标分别为 ， ，若
，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从
A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离 与骑行时间 之间的函数关系如图所示，下列
结论错误的是（ ）
A．A，B两村相距 B．出发 后两人相遇
C．甲每小时比乙多骑行 D．相遇后两人又骑行了 ，此时两人相距
6．（黑龙江省哈尔滨市部分学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题）在函数 中，自变
量x的取值范围是 ．
7．（2023·江苏盐城·一模）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点
出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当天12点至
13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ．8．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀
速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用 ，立即按原路以另一速度匀
速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为 ，两车之间的距离 （ ）与货车行驶时间 （
）之间的函数图象如图所示，图中点 的坐标为
9．（2023·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是 ，点A在x 轴上，过点A作
x轴的垂线，与过点C垂直于y轴的直线交于点B，连接 ，作 的垂直平分线交 于点E，交 于
点D，连接 ．设点E的坐标为 ，当 时，y关于x的函数解析式为 ．
10．（23-24八年级下·重庆黔江·阶段练习）如图，折线 描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程
中，汽车离出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正
确的是 ．
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；②汽车在整个行驶过程的平均速度是 ；
③汽车共行驶了 ； ④汽车出发 离出发地 ．
11．（2024·湖南·模拟预测）已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y．(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求自变量x的取值范围．
12．（23-24八年级下·全国·随堂练习）画出函数 的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点 ， ， 是否在函数 的图象上；
(4)若点 在函数 的图象上，求出m的值．
13．（22-23七年级下·四川达州·期末）下图表示一辆汽车在行驶途中的速度 （千米/时）随时间 （分）
的变化示意图；
(1)从点A到点 、点 到点 、点 到点 分别表明汽车在什么状态？
(2)分段描述汽车在第 分种到第 分钟的行驶情况；
(3)汽车在点A的速度是多少？在点 呢？(4)司机在第 分钟开始匀速先行驶了 分钟，之后立即以减速行驶 分钟停止，请你在本图中补上从
分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
(5)请你用语言描述这一过程．
14．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一
段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过
），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
谛回答下列问题：
(1)当刹车时车速为 时，刹车距离是_______m；
(2)根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：_________；
(3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 ，推测刹车时车速是多少？并
说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速
公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
15．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图①所示，在 ， 两地之间有一车站 ，甲车从 地出发经 站驶
往 地，乙车从 地出发经 站驶往 地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离 站的
距离 与行驶时间 之间的函数图象．(1)填空： 的值为__________， 的值为__________， 两地的距离为__________ ．
(2)求 小时后，乙车离 站的距离 与行驶时间 之间的函数关系式以及自变量 的取值范围．
(3)请直接写出乙车到达 地前，两车与车站 的距离之和不超过 时行驶时间 的取值范围．
