文档内容
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
2020 级高三上学期期末校际联合考试
数学试题
2023.1
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．设 为实数，若复数 ，则
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， 则
D．若 ， ，则5．若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线垂直，则点
的坐标为
A． B． C． D．
6．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如
图所示（已隐去数据），其部分数据如表：
小数
0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0
记录x
五分
4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
记录y
现有如下函数模型： ， ， 表示小数
记录数据， 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问
① ②
题：
小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 ，则小明同学的小数
记录数据为（附： ）
A． B． C． D．
7．安排 名中学生参与社区志愿服务活动，有 项工作可以参与，每人
参与 项工作，每项工作至多安排 名中学生，则不同的安排方式有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
8．已知 分别为双曲线 的两个焦点，双曲线上的点 到
原点的距离为 ，且 ，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．对于抛物线 ，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为 D．准线方程为
10．已知数列 满足 ， ，则
． B． 是递增数列
A
C． 是递增数列 D．
11． 年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系
中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为双
纽
线．已知点 是双纽线 上一点，下列说法中正确的
有
A．双纽线 关于原点 中心对称
B．
C．双纽线 上满足 的点 有两个
D． 的最大值为
12．已知三棱锥 的棱长均为 ，其内有 个小球，球 与三棱锥 的
四个面都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，如此类推，…，
球 与三棱锥 的三个面和球 都相切( ，且 )，球 的表面积为 ，体积为 ，则
A． B．
C．数列 为等差数列 D．数列 为等比数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式 的展开式中常数项为 ，则 的值为______．
14．已知向量 夹角为 ，且 ， ，则 ______．
15．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体
的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个
如图所示的曲池，它的高为 ， ， ， ， 均与曲池的底面垂直，底面
扇环对应的两个圆的半径分别为 和 ，对应的圆心角为 ，则图中异面直线
与 所成角的余弦值为 ______．
16．设 正 项 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 首 项 ， 关 于 的 方 程
有两个不相等的实根 ，且存在唯一的 ，使
得 ．则公比 的取值范围为______．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知函数 .（1）求函数 的单调增区间；
（2）将函数 图象上点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），再把
所得函数图象向下平移 个单位得到函数 的图象，求 的最小值及取得最小
值时 的取值集合.
18．（12分）
如图，长方形 纸片的长 为 ，将矩形 沿折痕 翻
折，使得 两点均落于 边上的点 ，若 .
（1）当 时，求长方形宽 的长度；
（2）当 时，求长方形宽 的最大值.
19．（12分）
如图，四棱锥 的底面为正方形， ， ，
是侧面 上一点．
（1）过点 作一个截面 ，使得 与 都与 平行．作出 与四棱锥
表面的交线，并证明；
（2）设 ，其中 ．若 与平面 所成角的正弦值
为 ，求 的值．20．（12分）
已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且
.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 , ，求证：数列 是等差数列，并求其前 项和.
21．（12分）
设椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆的上顶点
，点 为椭圆 上一点，且 .
（1）求椭圆 的离心率及其标准方程；
（2）圆 圆心在原点 ，半径为 ，过原点 的直线 与椭圆 交于 两
点，椭圆上一点 满足 ,试说明直线 与圆 的位置关系，并证明.
22．（12分）
已知函数 是 的导函数．
（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 ，判断关于 的方程 在
内实数解的个数，并说明理由．
