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2020 级高三上学期期末校际联合考试
数学试题答案
2023.1
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1-4 AABC 5-8 DBDA
8．【答案】A【解析】设 为双曲线的下焦点， 为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，
如图，过点 作 于点 ,因为 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，
因为双曲线上的点 到原点的距离为 ，即 ，且 ，
所以 ， ，
故 ， ，
因为 ，所以 ， ，
将 代 入 双 曲 线 中 ， 即 ， 化 简 得 ，
，
所以 ，即 ， ，
则该双曲线的渐近线方程为 ，故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.AC 10.ABD 11.ABD 12. AD
【答案】ABD【解析】对于A，因为 ，所以；
10.
C选项；
对于B，因为 ，所以是 递增数列；
因为 ，所以 ，易知 是递增数列；
又 令 ，
，
如图所示：当 时， 递增，即 递增又
对于D项：
由同向不等式的加法可得，
成立，当 时，不等式成立，故D正确.
11．【答案】 【解析】
∴双纽线 关于原点 对称， 对．
,
，∴ ，∴ ， 对．
，则 只有一个点满足条件， 错．
由余弦定理知
∴
∴ ， 对，选 ．
另解： ∴ ，∴ ．
12．【答案】 【解析】如图所示， 是三棱锥 的高， 是三角形 的外心，设
，则 ， ， 是三棱锥 的外接球和内切球球心，
在 上，
设外接球的半径为 ，内切球半径为 ，则由 得， ，
解得 ，所以 ,
则 ,所以 ， ，
过 的中点作与底面 平行的平面，与三条棱 , , 交于点 , , ,则平面 与球 相切，由题意知球 是三棱锥 的内切球，
又三棱锥 的棱长是三棱锥 棱长的 ，所以其内切球半径 ，
同理，球 的半径为 ，则 是公比为 的等比数列， 所以 ， ， ，
所以数列 是公比为 的等比数列， 数列 是公比为 等比数列。
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1 14. 15. 16.
15．【解析】方法一：延长 交于 ， 交于 ，连接 ，以矩形 为侧面构造正
四棱柱 ，则 ，
所以 为异面直线 与 所成角
在 中， ，
所以
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
方法二：设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接
以 为原点，分别以 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
系则
则 ,
,又异面直线所成角的范围为 ,故
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．（建议用几何法解决）
16．【解析】依题意，等比数列 ，首项 ，所以 ，
由于一元二次方程 的两根为 ，
所以 ，且 ，由 ，
得 ．所以 ，可得数列 的公比 ，故为递减数列
因为存在唯一的 ，使得 ，显然不适合，若 ，则 ，因为 ，故 ，此时存在至少两项使得
，不合题意．故 ，即 ，且 ，故 且 ，解得
则公比 的取值范围为
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解:（1）因为
，………………………3分
由 ，得 ，
所以 的单调增区间为 . ………………………5分
（2）将函数 图象上点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平
移 个单位得到函数 的图象，
所以 ，………………………7分
故当 ，即 时， ，即 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，此时 的取值集合为 .………10分
18.解：（1）当 时， ……1分
，设 ，①
，② ………………………4分
.……6分（2）在 中， ①
②
……………9分
. ……………12分
19．解:（1）过点 作 的平行线，分别交 于点 ，过点 作 的平行线，交 于点
，过 作 的平行线，交 于点 ，连接 ，因为 ，所以平面 就是截面 .
……………3分
证明：因为 ， ， ,
故 ，即 ； 同理可证 .…………6分
（2）以点 作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
，设
，则 ，即
……………8分
， ，设平面 的法向量为
，取 ，则
即 ， ……………10分
设PB与平面 所成角为
，整理得
解得 （舍）， ……………12分
20．解：（1）由 ，令 ，得 ， , ……………2分
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
又 ，所以， ；…………………………5分
（2）由 得：
， ……， ，相乘得： ，
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
当 时： ，所以 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，…………………………8分
所以 ， ，
所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，
，所以 ，
所以 ，
， ……………10分
所以 ，所以 ，所以数列 是等差数列，
。 …………………………12分
21.解：（1）设 ， ， .由
得 得 ，即得 ,
又因为 在椭圆 上， 得 ，
得 即椭圆 的离心率为 . ……………3分
，
又 ，所以椭圆 …………………………5分（2）因为 关于原点对称， , , ，所以 ，
设 ， .
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
由直线和椭圆方程联立得 ，即 ，
所以 . ……………7分
因为 ， ，
所以
……………9分
所以 ， ，所以 ， ，
又因为圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相切.
当直线 的斜率不存在时，依题意得 ， .
由 得 ，所以 ，结合 得 ，
所以直线 到原点 的距离都是 ，所以直线 与圆 也相切.
同理可得，直线 与圆 也相切.
所以直线 与圆 相切. …………………………12分
22．解:（1） ，即 ，令 ，
……………1分
当 时，
令 得 ，
得 或 ，
所以 在 和 上为减函数，
在 上为增函数， ……………3分
,故 ，，即 ；综上 . ……………5分
（2） ……………6分
由 得， ，
令 ,令 ，
在 上单调
递减，注意到
存在 使 ，
且当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减,
且
， ……………9分
在 和 上各有一个零点
且当 时， 时， 单调递增,
当 时，
单调递减且
当 时， ；
当 时， ．
在 上有唯一的零点
且当 时， 单调递减；当 时， 单调
递增．
注意到
在 和 上各有一个零点 ，
共两个零点．故方程 有两个实数根. ……………12分
