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微专题07 函数压轴小题
【秒杀总结】
一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函
数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的
范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．
三、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点.
四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，
利用数形结合的方法求解.
【典型例题】
例1．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均R，若 为
偶函数，且满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
例2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，对 ， ，有
，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（ ）
A． B．
C． D．例4．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数 的定义域为R，且 偶函数，
关于点 成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2；
② ；
③ 的一个对称中心为 ；
④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
例5．（多选题）（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数 的定义域均为R，且
.若 的图像关于直线 对称，且 ，则（ ）
A． B． 的图像关于点 对称
C． 是周期函数，且最小正周期为8 D．
例6．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知函数 （ 为自然对数的底数），若
关于 的方程 有且仅有四个不同的解，则实数 的取值范围是_________．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程 有
3个不同的实数根，则 的取值范围为______．
例8．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 ，若关于x的方程
有5个不同的实数根，则a的取值范围为_______.
例9．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数 ，有三个不同的零点，（其中 ），则 的值为
A． B． C．-1 D．1
例10．（2023·全国·高二）若存在两个正实数 、 ，使得等式 成立，其中
为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）设
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数 ， ， 的定义域均为 ， 为 的导函数.
若 为偶函数，且 ， .则以下四个命题：① ；② 关
于直线 对称；③ ；④ 中一定成立的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知m、n为实数， ，若 对 恒成立，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．3
4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若 ， ， ，则 、 、 的大
小关系为（ ）
A． B．
C． D．5．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数 及其导函数 的定义域均为 且都为连续函数，记
，若 ， 均为奇函数， ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．2023
6．（2023·江苏南通·高三统考期末）两条曲线 与 存在两个公共点，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西新余·高三统考期末）已知函数 ， ，若 与 图像的公
共点个数为 ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
8．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在 上且周期为4的奇函数，当 时，
，令 ，则函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，若 在 有2023个零点，则 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）函数 满足 ，令 ，对任意的
，都有 ，若 ，则 （ ）
A． B．3 C．1 D．
二、多选题
11．（2023·山东枣庄·高三统考期末）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ，
且 ， ，且 为奇函数，则（ ）A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．
D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 和 ，存在直线 与两条曲线
和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 、 的定义域均为 ．且满足 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．
14．（2023·江苏南通·高三统考期末）设定义在 上的函数 与 的导数分别为 与 ，已
知 ， ，且 关于直线 对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·广东清远·高三统考期末）设 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）已知函数 与 的定义域均为 ，且
， ，若 为偶函数，则（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称 B．
C．函数 的图象关于点 对称 D．
三、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程 恰有两个不相等的实数根 ，且 ，则 的取值范围是______．
18．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知定义在 上的单调递增函数 ，对于任意
的 ，都有 ，且 恒成立，则 ______.
19．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，
．若 的图象关于直线 对称，且 ，则 ______．
20．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为D，若存在闭区间 ，使得函数 满足：
① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍值区
间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
① ； ② ；
③ ； ④ ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的定义域为 ，若对 ， ，
， 成立，且 ，则
__________.
