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微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题
【秒杀总结】
1、立体图形中的截面问题：
（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.
2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得 关于平面的对称点 ，
从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.
3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不
变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的
一种特殊形式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
【典型例题】
例1．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，
图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下
底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体 的上底
A B C D
面 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体 ．已知
1 1 1 1
， ， ，过直线 作平面 ，则十面体
外接球被平面 所截的截面圆面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知 为圆锥 底面圆
的直径（ 为顶点， 为圆心），点 为圆 上异于 的动点， ，则下
列结论正确的为（ ）
A．圆锥 的侧面积为B． 的取值范围为
C．若 为线段 上的动点，则
D．过该圆锥顶点 的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
例3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）正四棱台 中，
，侧棱 与底面所成角为 分别为 ， 的中点， 为线
段 上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的体积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线 与 所成角的余弦值为
例4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）正方体 的棱长是 ， 、 分
别是 、 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长是
C．平面 截正方体所得的截面周长是
D． 与平面 所成的角的正切值是
例5．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体 的棱长均为
为线段 的中点, ,其中 ,则下列选项正确的是（ ）
A．当 时,
B．当 时, 的最小值为C．若直线 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
D．当 时,正方体被平面 截的图形最大面积为
例6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在正方体 中，
分别为棱 中点， 为 近C三等分点，P在面 上运动，
则（ ）
A． ∥平面
B．若 ，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关
C．
D．若 ，则P点轨迹长度为
例7．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，
，点M，N分别是PB，BC的中点，且 ，
则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．
例8．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体 中，
P，Q分别为 的中点，点T在正方体的表面上运动，满足 ．
给出下列四个结论：
①点T可以是棱 的中点；
②线段 长度的最小值为 ；
③点T的轨迹是矩形；
④点T的轨迹围成的多边形的面积为 ．其中所有正确结论的序号是__________．
例9．（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、
阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值 的点
的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
在平面直角坐标系 中， ，点P满足 ．则点P的轨迹方程为
____________；在三棱锥 中， 平面 ，且 ，该三
棱锥体积的最大值为______________．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京顺义·统考一模）在棱长为1的正方体 中，动点P在棱
上，动点Q在线段 上、若 ，则三棱锥 的体积（ ）
A．与 无关，与 有关 B．与 有关，与 无关
C．与 都有关 D．与 都无关
2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥A－BCD中， ，
∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球
面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外）， ．当三棱锥E－ACF
的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， 平面
， 为线段 的中点， 分别为线段
和线段 上任意一点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．2
4．（2023秋·河北保定·高二统考期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、
踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢
皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点 ，满足 ， 面ABC，
⊥ ，若 ，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·北京密云·高二统考期末）在直三棱柱 中，底面 为等腰直
角三角形，且满足 ，点 满足 ，其中 ，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， 的面积 的最大值为
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，存在点 ，使得 平面
6．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在棱长为2的正方体
中，M为 中点，N为四边形 内一点（含边界），若 平面
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．线段 最小值为 D． 的取值范围为
7．（2023·北京·高三统考阶段练习）已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为，则以 为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体 中， 为棱
的中点．动点 沿着棱 从点 向点 移动，对于下列四个结论：
①存在点 ，使得 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③ 的面积越来越小；
④四面体 的体积不变．
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体 中，O，
F分别为 ， 的中点，点P为棱 上的动点（不含端点），设二面角 的
平面角为 ，直线OF与平面 所成角为 ，则（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
10．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何
体体积的著名数学命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，
祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”
是几何体的高，意思是在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国
被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线 与它的渐
近线以及直线 围成的图形绕x轴旋转一周得到一个旋转体I，将双曲线C与直
线 围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体II，则关于这两个旋转体叙述正确的
是（ ）
①由垂直于y轴的平面截旋转体II，得到的截面为圆面
②旋转体II的体积为
③将旋转体I放入球中，则球的表面积的最小值为
④旋转体I的体积为
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
11．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 中， 为 内一点，且
，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为
4，点 在平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段
的中点， 、 分别为体对角线 和棱 上任意一点，则 的最小值
为（ ）A． B． C． D．2
14．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为 的正方体 中， 是
正方体 外接球的直径，点 是正方体 表面上的一点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台 中， ， ．
当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ，
， ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正方体 的棱长为 ，
， ，其中 ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 平面 ，则 B．若 平面 ，则
C．存在 ， ，使得 D．存在 ，使得对于任意的 ，都有
18．（2023秋·浙江·高二期末）在矩形 中， ， 为 的中点，将
沿直线 翻折至 的位置，则（ ）
A．翻折过程中，直线 与 所成角的余弦值最大为B．翻折过程中，存在某个位置的 ，使得
C．翻折过程中，四棱锥 必存在外接球
D．当四棱椎 的体积最大时，以 为直径的球面被平面 截得交线长为
19．（2023秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知 为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，
为线段 的中点， 为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． ⊥平面
C．在圆锥侧面上，点A到 中点的最短距离为3
D．圆锥内切球的表面积为
20．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知正方体 的边长
为2，E为正方体内（包括边界）上的一点，且满足 ，则下列说正确的有
（ ）
A．若E为面A B C D 内一点，则E点的轨迹长度为
1 1 1 1
B．过AB作面 使得 ，若 ，则E的轨迹为椭圆的一部分
C．若F，G分别为 ， 的中点， 面FGBA，则E的轨迹为双曲线的一部分
D．若F，G分别为 ， 的中点，DE与面FGBA所成角为 ，则 的范围为
21．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC
的中点，O为DE的中点， ， ．将△ADE沿DE折起到△ 的位
置，如图2．则正确的有（ ）A．当折起使得面 面BCED时，
B．几何体 的最大体积是4
C．DE与面 始终平行
D． 与平面BCED所成角的范围是
22．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）如图，在棱长为2的正方体
中，点 满足 ，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A．有且仅有一点 ，使得
B． 的周长与 的大小有关
C．三棱锥 的体积与 的大小有关
D．当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为
三、填空题
23．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）2022年12月3日，南昌市出
士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥
吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 ，该纸片上的正六边形
的中心为 为圆O上的点，如图（2）所示．
分别是以 为底边
的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起
，使 重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________ ．
24．（2023秋·广东·高三校联考期末）如图正方体 的棱长是3，E是
上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是EF中点， ，则 的最小值
是______．
25．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知四棱锥 的底面为边长为2的正方
形， 分别为 和 的中点，则平面 上任意一
点到底面 中心距离的最小值为__________.
26．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，在直三棱柱
中， ， ， ， ，
．
记 ，给出下列四个结论：
①对于任意点H，都存在点P，使得平面 平面 ；
② 的最小值为 ；
③满足 的点P有无数个；
④当 取最小时，过点A，H，P作三棱柱的截面，则截面面积为 ．
其中所有正确结论的序号是________．27．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在直四棱柱 中，底面ABCD
是边长为1的正方形，侧棱 ，M为侧棱 的中点，N在侧面矩形 内(异于
点 )，则三棱锥 体积的最大值为____________.
28．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知正三棱锥 的六条棱长均为 是底
面 的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交 于 点（不
与顶点 ， 重合）.
给出下列四个结论：
①三棱锥 为正三棱锥；
②三棱锥 的高为 ；
③三棱锥 的体积既有最大值，又有最小值；
④当 时， .
其中所有正确结论的序号是__________.
29．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若四面体 外接球半径为1，
，则其最大体积为__________.
30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设 ， ， 分别是棱长为2 的正方体
的棱 ， ， 的中点， 为 上一点，且 不与 重合，且 ，
， ， 在同一个表面积为S的球面上，记三棱锥 的体积为 ，则 的最小值
是______.
