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专题 01 根的判别式的四种考法
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
1．一元二次方程x2+x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无法判断
D．无实数根
2．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+5＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
5．一元二次方程x2＝1解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程无实数根
D．方程有一个实数根
6．一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．一元二次方程x2+6＝3x的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
8．一元二次方程x2﹣20x+100＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
9．对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣
2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
10．关于x的一元次方程kx2﹣4x﹣4k＝0，其根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．无实根
C．无法判断
D．有两个不相等的实数根
11．已知不等式组 有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0的根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
12．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
14．已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的方程
ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
15．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
16．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
17．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0．
（1）当m＝2时，解这个方程；
（2）试判断方程根的情况，并说明理由．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
21．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
22．关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．C． 且k≠0 D． 且k≠0
23．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≤5 C．m＞5 D．m＜5
24．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤2且k≠0 C．k＜2且k≠0 D．k≥2且k≠0
25．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则6n2﹣9n+2024的值为（ ）
A．2015 B．2033 C．2024 D．2027
26．关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且m≠0 D． 且m≠0
27．已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a＝0．
（1）证明：不论a为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有两个不相等的正实数根，求a的取值范围．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0．
（1）若方程的一个根为2，求k的值；
（2）若方程有实数根，求k的取值范围．类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
29．关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形
一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
30．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且关于x的一元二次方程（c+b）x2﹣2ax+c﹣b＝0有两个相等
的实数根，若|a﹣5|+（b﹣5）2＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
31．已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程 x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，
判断△ABC的形状，正确的结论是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
32．已知a、b、c为ABC的三边，且关于x的一元二次方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个
相等的实根，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．不等边三角形
33．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣4bx+4（c﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．34．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
35．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0其中a，b，c分别是△ABC三边的长．
（1）若该方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，请求出该方程的实数根．
