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专题 1 根的判别式的四种考法
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
1
3．关于一元二次方程
x2−2x+2=0的根的情况，下列说法正确的是（
）
2
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
4．关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
5．方程3x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
6．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
7．一元二次方程（x+3）（x﹣3）＝5（x+3）的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
8．你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最
小的数设为x，那么可得方程x2+（x+1）2＝（x+2）2，则该方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况
1．若k＜0，关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
2．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定根的情况
3．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
5．已知关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的
情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
1
6．已知关于x的一元二次方程x2−2ax+ab= b2+1，其中a，b满足2a﹣b＝1，关于该方程根的情况，
4
下列判断正确的是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
7．已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝
0根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定根的存在情况
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程一个根为﹣1，求m的值．
9．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围
1．若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k＞ B．k≥ C．k＜ D．k≤
4 4 4 4
2．已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
9 9 9 9
A．m≤ 且m≠0 B．m＜ 且m≠0 C．m＞ D．m≥
4 4 4 4
3．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k≥﹣3
C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2
4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥ 且k≠2
2 2
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥ B．k≥ 且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
4 4
6．一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
1 1
A．a≤− B．a≥− ，且a≠0
2 2
1 1
C．a≥− D．a≤ 且a≠0
2 2
m2−3
7．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+ =0有两个不相等的实数根．
4
（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
8．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．
9．定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法
和乘法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
⊕ ⊕
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
⊕
（2）若关于x的方程[x2+1，x] ⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
⊕
类型四：利用根的判别式判断三角形的形状
1．△ABC的三边长分别为a，b，c，关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的
实数根，则△ABC的形状一定为（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．已知关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx＝c（1﹣x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果
方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的
三角形说法正确的是（ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90°
1
4．已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程 x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，判
4
断△ABC的形状，正确的结论是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
1
5．已知关于x的方程 x2+bx+a2+c2＝0有两个相等的实数根，则以a、b、c为三边长的三角形的形状一定
4
是
三角形．
6．已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）＝2a❑√mx＝0，当m＞0时有两个
相等的实数根，则△ABC的形状是 三角形．
7．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
