文档内容
专题02勾股定理热点题型归纳（九大题型）
重难点题型归纳
【题型01 已知两边长求第三边长】
【题型02 已知两点坐标求两点距离】
【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型04 用勾股定理解三角形】
【题型05 勾股定理与无理数】
【题型06赵爽线图的证明及应用】
【题型07用勾股定理构造图形解决问题】
【题型08 直角三角形的判定】
【题型09勾股定理的逆定理应用】
【题型01 已知两边长求第三边长】
1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）直角三角形的两直角边长是6和8，则该直角三
角形的周长为（ ）
A．10 B．14 C．24 D．34
2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若∠C=90°，
BC=4米，AB=5米，则边AC需要的篱笆长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
3．（24-25八年级上·福建三明·期末）若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为6和
10，则另一条直角边的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2❑√34
4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、满足 ，则此直角三角形的斜边为（ ）
b ❑√(a−3) 2+(b−4) 2=0
A．5 B．5或❑√7 C．4 D．4或5
5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
若AB=5，AD=4，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．18 C．12 D．13
6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）把两块同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示
放置，其中一块的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，
C，D在同一直线上，若AC=3❑√2，则CD的长是（ ）
A．5❑√3−3 B．5 C．3❑√3+3 D．8
【题型02 已知两点坐标求两点距离】
7．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，点P(−2,−5)到坐标原点O
的距离为( )
A．2 B．5 C．❑√29 D．7
8．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点M(0,3)发出一束光，经x轴反射，过点
N(6,5)，则这束光从点M到点N所经过的路径的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12.59．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）两点之间的距离公式：若数轴上两点A ，A 分别
1 2
表示实数 ， ， 两点间的距离记作 ，那么 ．
x ，x A A |A A ) |A A )=|x −x )
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
问题提出：对于平面上的任意两点A ，A 间的距离是否有类似的结论呢？我们作出了
1 2
如下猜想．
猜想：运用勾股定理，就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式．根据这个思路，
让我们一起进行如下探究吧！
问题探究：
(1)①如图1， ， 两点之间的距离 _______；
A A |A A )=
1 2 1 2
②如图2，已知平面上两点A(1,1)，B(5,4)，求这两点之间的距离|AB)；
(2)一般地，已知平面上任意两点 ， ，如图3，请计算A，B两点之
A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2
间的距离|AB)．
10．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角标系中，A，B两村庄位置的坐标
分别为(2,2)，(7,4)，一辆汽车从原点O出发，沿x轴正方向行驶．
(1)如果汽车行驶到离A村最近的位置用点M表示，请你在图中画出点M，并写出点M
的坐标；
(2)汽车行驶到点P时，到A，B两村的距离相等，请你在图中找出点P的位置，并求点P的坐标．（用尺规作图，不写作法和结论）
【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】
11．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个
正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．❑√6
12．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字
母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
13．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，
在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，
再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶
茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积S ，S ，S 之间的关系为（
① ② ③
）
A．S +S =S B．S +S =S
① ② ③ ① ③ ②
C． D．
S2 +S2 =S2 S2 +S2 =S2
❑
① ② ② ① ③ ② ❑
15．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，
AC，BC为边在AB同侧作正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．设
△ABC的面积为S ，△BDF的面积为S ，△DHG的面积为S ，四边形CHET的面积
1 2 3
为S ，四边形ATMN的面积为S ，则下列结论正确的是（ ）
4 5
A．S +S =S +S +S B．S +S =S +S +S
1 4 2 3 5 2 5 1 3 4
C．S +S =S +S +S D．S +S =S +S +S
1 5 2 3 4 4 5 1 2 3
16．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，
在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，
再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶
茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【题型04 用勾股定理解三角形】
17．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC的垂直
平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD，若△ABC的周长为12,BC=3，则
△BCD的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
18．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分
别交AB、AC于点D、E，若BC=❑√5，AE:EC=3:2，则AB的长为（ ）
A．❑√41 B．❑√30 C．❑√10 D．3
19．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，高速公路上有A, B两点相距14km，
C, D为两村庄，已知DA=6km，CB=8km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，
现要在AB上建造一个服务站点E，使得C, D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是
（ ）
A．8km B．7km C．7.2km D．8.5km
20．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠CDB=30°，BD=❑√3AD，且BC=❑√3，求AB的长度．【题型05 勾股定理与无理数】
21．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC
于点C，且BC=1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点
A表示的数是（ ）
A．❑√5 B．−❑√5 C．2−❑√5 D．❑√5−2
22．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为−1，Rt△ABC的直
角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆
心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．❑√10+1 B．❑√10−1 C．❑√5+1 D．❑√5−1
23．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连
结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边
长为1，得到阴影正方形面积为2：
(1)发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是
_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
(2)如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为_______；
(3)如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成，画出面积是5的正方形，使它的
顶点在网格的格点上．
24．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知OA=OB，BC=2，OC=3．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)求出点A表示的数的倒数为______；
(3)在数轴上找出❑√10对应的点．（保留作图痕迹）
【题型06赵爽线图的证明及应用】
25．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，
它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB=17,AH=8，则正方形EFGH的边长
是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
26．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了
“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个
大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小
正方形（阴影部分）的周长为（ ）A．29 B．14.5 C．14 D．12
27．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点
BD
P．若GO=GP，则 的值是（ ）
BP
3 4
A． B． C．❑√2 D．❑√3
2 3
28．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之
一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以
Rt△ABC(∠ACB=90°)的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方
形BCGF，连接CE．若S =25，S =16，则CE的长为（ ）
正方形ABED 正方形BCGF
A．3❑√7 B．8 C．❑√65 D．❑√66
29．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的
证明方法也十分丰富．下面图形能证明a2+b2=c2的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．②④
30．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于
我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由
四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是2，直角三角形的直角边长
分别为a、b，且a2+b2=ab+10，那么大正方形的面积为（ ）．
A．8 B．10 C．14 D．18
31．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方
形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，
y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2+ y2=64；②x−y=3；
③2xy+9=64；④x+ y=11．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
32．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角
形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较
短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为
80，OC=5，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，若S +S +S =27，求S ．
1 2 3 1 2 3 2
33．（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家
赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形
中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：S = ______；
阴影
方法2：S = ______；
阴影
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．
34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四
边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长
a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2=c2.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
求证：a2+b2=c2
.
证明：由图可知S =4S +S ，
正方形ABED △ABC 正方形CFGH
∵S =c2
，
S =
______，
正方形ABED △ABC
正方形CFGH边长为______，
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2，
2
即a2+b2=c2．
【深入思考】
如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB
的右侧作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂
足为点E
（2）求证：DE=a，BE=b；（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3
所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的
总长度为108，求这个风车图案的面积．
【题型07用勾股定理构造图形解决问题】
35．（24-25八年级上·上海·期末）如图，△ABC中，AB=11，BC=7，AC=12．求
△ABC的面积．
36．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．
为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市
集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试
飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过
程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵
提出的问题．
37．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3
米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，
宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
38．（23-24八年级上·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾
股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”
意思是：如图所示，推开两扇门AD和BC，门边缘D、C两点到门槛的距离是1尺
（即C、D到线段AB的距离为1尺），两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB是多少寸
（1尺=10寸）．
39．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）小青家有一块如图的四边形土地要流转出去，其中，∠D=∠B=90°，∠C=135°，用激光测距仪测得：BC=❑√2（千米），
DC=3❑√2（千米），求这块四边形土地的面积．
40．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC边上
一点，连接BD，已知BC=15，CD=9，BD=12．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由．
(2)求AD的长．
【题型08 直角三角形的判定】
41．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（
）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3
42．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，
CD=13．
(1)求BC的长度；
(2)线段BC与线段BD的位置关系是什么？请说明理由．43．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接
AD,BD，且AD⊥BD．已知AD=4,BD=3,AC=13,BC=12．
(1)求△ABC的周长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【题型09勾股定理的逆定理应用】
44．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从P地航行
到距离P地16海里的B地，它先沿北偏西50°方向航行12海里到达A地接人，再从A
地航行20海里到达B地，此时快艇位于P地的 方向上．
45．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在
塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的
四边形ABCD空地改造为“劳动乐园”．经测量，AB=6米，BC=8米，CD=24米，
AD=26米，∠B=90°．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动．
【解析】(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的A、C两点连接起
来，求至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形ABC区域种植玫瑰，每平方米
种植5株，在三角形ACD区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少
株花卉．
46．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两
个取水点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为
方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修
一条路CD，测得BD=240米，CD=320米，BC=400米．
(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．
47．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居
民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，
将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形
ABCD中，∠B=90°，AB=24米，BC=7米，CD=15米，AD=20米．(1)求AC的长度；
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动
型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
48．（23-24八年级上·福建漳州·期末）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态
环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行
绿化．经测量∠ABC=90°，AB=7m，BC=24m，CD=20m，AD=15m，求空地
的面积．
