文档内容
专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 判断三边是否构成直角三角形
题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
题型三 在网格中判断直角三角形
题型四 利用勾股定理的逆定理求解
题型五 利用勾股定理的逆定理证明
题型六 勾股定理逆定理的实际应用
题型七 勾股定理逆定理的拓展问题
题型八 勾股定理逆定理的综合运用
【知识梳理】
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2 b2 c2
，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为
直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如c）.
（2）
验证c2 与a2 b2 是否具有相等关系.若c2 a2 b2
，则△ABC是∠C＝90°的直角三
角形；若c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
注意：当a2 b2 c2 时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2
时，此三角形为锐角三角
形，其中c为三角形的最大边.
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【经典例题一 判断三边是否构成直角三角形】
【例1】（2024上·四川成都·八年级统考期末） 的三边长a，b，c满足
，则 是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【变式训练】
1、（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）下列由三条线段 构成的三角形：
①如果 ；② ；③如果 ；④
（ 为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
2．（2022上·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）在 中， 的对边
分别为a、b﹑c，下列条件中：① ；② ；③ ；④
．能判断 是符合条件的直角三角形的有 个．
3．（2023上·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知平面内两个点分别为 ， ，其两点间距离公式为 ．例如：
点 和 )的距离为 ．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于 轴或平行于
轴时，两点间的距离公式可简化成： 或 ．
(1)已知 、 两点在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，则 、 两点的距离为
；(2)线段 平行于 轴，且 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标是 ；
(3)已知 个顶点坐标为 ， ， ，请判断此三角形的形状，并说明理由．
【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例2】（2023下·浙江台州·八年级校考期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．
点C也在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90º
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
2．（2021上·江西九江·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为
．
3．（2023·浙江温州·校考二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点
的三角形称为整点三角形．如图，已知整点 ， ，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要
求的整点三角形．(1)在图1中画一个 ．
(2)在图2中画一个 ，使点Q的横纵坐标相等，且 的面积等于3．
【经典例题三 在网格中判断直角三角形】
【例3】（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． 的面积为10 B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【变式训练】
1．（2021下·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在单位为1的正方形网格图中有 四条线段，从
中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段 的两个
端点均在格点（正方形的顶点）上．
（1）线段 的长为 ；
（2）若 是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有 个．
3．（2024上·山西晋城·八年级统考期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的
顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为13的正方形．
(2)在图2中，以格点为顶点画一个三边为 、 、 的三角形，并求出此三角形的面积是________．
(3)在图3中，以格点为顶点画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形．
【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求解】
【例4】（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示， ， ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ．将 沿射
线 折叠，使点 与 边上的点 重合， 为射线 上一个动点，当 周长最小时， 的长为
．
3．（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）如图，在四边形 中， ，
， ．(1)求证： ：
(2)如果 平分 ，且 ，求 的面积．
【经典例题五 利用勾股定理的逆定理证明】
【例5】（2023下·辽宁营口·八年级统考期末）三角形的三边长分别为 ，且满足等式
，则此三角形是（ ）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．以 为腰的等腰三角形
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点P
为直线 上一点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2023下·山西大同·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ，中线 ， ，
则 长为 ．
3．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
(1)现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站 ．使得这个加油站 到三座城市
A，B，C的距离相等，则加油站 点一定是 三条______的交点；（请在以下选项中选出正确答案并
将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
(2)判断 形状，并说明理由．
【经典例题六 勾股定理逆定理的实际应用】
【例6】（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地 ，
测得 ， ， ， ，且 ，这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）李伯伯家有一块四边形田地 ，其中 ， ，
， ， ，则这块地的面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其
中 ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H
（A，H，B在同一直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．则原路线
千米．
3．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针
政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八
（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为 ， ， 时，一边的小明很快给出这块试验
基地的面积．你求出的面积为______ ．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为 ， ， 如图），你能帮助他们求
出面积吗？
【经典例题七 勾股定理逆定理的拓展问题】
【例7】（2021上·福建泉州·八年级统考期末）在 中， 的对边分别记为 下列
结论中不正确的是 （ ）
A．如果 那么 是直角三角形B．如果 ，那么 是直角三角形
C．如果 ，那么 是直角三角形
D．如果 ，那么 是直角三角形
【变式训练】
1．（2023上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
2．（2021上·河北承德·八年级统考期末）阅读下列内容：设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且
最大，我们可以利用 ， ， 之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角
三角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：
若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则最长边是 ， ，故由③可知该三角形是锐角三
角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，且这个三角形是直角三角形，则 的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长 ， ， ，其中 是最长边长，则该三角形是
三角形．
3．（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多
种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三
角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设 交于点
G． ， ， ， ．请你回答以下问题：（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
【经典例题八 勾股定理逆定理的综合运用】
【例8】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期中）定义：a，b，c为正整数，若 ，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12
是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．
【变式训练】
1．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
2．（2023上·河北衡水·八年级校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整
数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 ：等等都是勾
股数．
【探究1】
（1）如果 是一组勾股数，即满足 ，则 为正整数）也是一组勾股数．如；
是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出
公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的 是一组勾
股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当
， 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请根据这一结
论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，并且勾为
时股 ，弦 ；勾 为时，股 ，弦 ；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股 ___ _；弦 ___ _；
（2）如果用 且 为奇数)表示勾，请用含有 的式子表示股和弦，则股 ___ ；弦 __ _；
（3）观察 ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 起也没有间断
过．
_；
请你直接用 为偶数且 ）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．3．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于
一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有 ．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格
点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．
求证：四边形ABCD是勾股四边形．
【拓展培优】
1．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）已知 中， 所对的边的长分别是 ，根
据下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．2．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）下列由三条线段 构成的三角形：
①如果 ；② ；③如果 ；④
（ 为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
3．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
4．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
，且 ，下列结论中：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．② B．①② C．①④ D．①③④
5．（2022上·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
，且 ，则四边形 的面积是（ ）A．4 B． C． D．
6．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，在正方形网格，四边形 的四
个顶点都在格点上，则 的度数为 ．
7．（2024·全国·八年级竞赛）已知一个等腰 的底边 的长为 厘米，腰 上有一点 ，使得
厘米， 厘米，那么等腰 的腰长为 厘米．
8．（2024上·北京石景山·八年级统考期末）如图， 中， ， ． 平分 ．
则
（1） °；
（2）点 到 的距离为 ．
9．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）如图，点 是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站 或
处乘车前往，且 ，因道路施工，点 到点 段现暂时封闭，为方便出行，在 这条路上的
处修建了一个临时车站，由 处亦可直达 处，若 ．则路线 的长为
．10．（2023上·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了
是完全固定的钢架外， ， ， 属于位置可变的定长钢架．如图1所示， ， ，
，伸缩杆 的两端分别固定在 ， 两边上，其中 ， ．当伸缩杆
打开最大时，如图2所示， 成 ，此时 ，则可变定长钢架 的长度为 ．
当伸缩杆完全收拢时， ，则此时床高（ 与 之间的距离）为 ．
11．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市
某中学现有一块四边形的空地 ，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课
外实践活动小组测量得到： ， ， ， ， ．根据你所学过的
知识，解决下列问题：
(1)四边形 的面积；
(2)点D到 的距离．12．（2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行
小范围绿化，要在一块如图所示的 地块内进行绿化改造，点D为 内一点， ，
米， 米， 米， 米．
(1)若将原来的 路段由水泥路改造成一条鹅卵石路，改造成本为每米 元，请问改造此路需要花费多少
元？
(2)若需要在阴影部分区域种植草皮，种植草皮的费用是每平方米 元，那么在阴影部分区域种植草皮共
需投入多少元？
13．（2024上·山东淄博·七年级校联考期末）如图，在 中， ， ，P是 内
一点，且 ， ， ， ．
(1) 与 全等吗？请说明理由；
(2)求 的度数．
14．（2023上·福建漳州·八年级漳州三中校考期中）先阅读下列一段文字，再回答问题：
已知平面内两点 ，这两点间的距离 同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为 或 ．
(1)已知点 ，则 两点间的距离为______；已知点 在平行于 轴的直线上，点
的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，则 两点间的距离______；
(2)已知一个三角形的各顶点坐标分别为 ，你能判定此三角形的形状吗？请说明
理由．
(3)在（2）的条件下，在 轴上有一点 ，若 的值最小，请找出点 （不求坐标，画出图形即可），
求出 的最小值．
15．（2024上·福建漳州·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，点 在直线
的左侧且 ．(1)求证： 是直角三角形；
(2)若 在 边上，求 的长；
(3)若直线 的右侧存在一点 ，且 平分 ， ，当 最大时，求 的长．
