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专题 02 圆的切线的证明的三种类型
类型一：见半径，证明垂直
类型二：连半径，证明垂直
类型三：作垂直，证明半径
类型一：见半径，证明垂直
1．如图，线段AB经过 O的圆心O，交 O于A，C两点，BC＝5，AD为 O的弦，连接BD，∠BAD＝
∠ABD＝30°，连接DO并延长交 O于点E，连接BE交 O于点M．
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（1）求证：直线BD是 O的切线；
⊙ ⊙
（2）求 O的半径和线段BM的长
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2．如图，AB为 O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在 O上且满
足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
⊙ ⊙
（1）求证：BE是 O的切线；
（2）当BE＝6时，求 O半径的长．
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3．如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延长线
⊙ ⊙于点C，过点O作OE，OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE与 O相切．
（2）若CA＝4，CD＝6，求DE的长．
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4．如图，AB是 O的直径，D是 O上的一个动点，过点B作 O的切线，连接AD并延长，交过点B的
切线于点C，E是BC的中点，连接OD、DE．
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（1）求证：DE是 O的切线．
（2）连接OE交 ⊙O于点F，连接DF，当BC＝18 ，OA＝ 时，四边形ADFO是菱形．
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5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一
点，以OA为半径的 O经过点D，交AB于点E．
⊙（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．
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6．如图， O是△ABC的外接圆，AC是 O的直径，点D是 的中点，点E是AB延长线上的一点，连
接CE，∠E＝∠ADB．
⊙ ⊙
（1）求证：CE是 O的切线；
（2）若∠ADB＝60⊙°， ，求BC的长．
7．如图，AC是 O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是 O的切线；
⊙
⊙（2）若 O的半径为4，PC＝2 ，求线段AB的长．
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类型二：连半径，证明垂直
8．如图，AB为 O的直径，OC⊥AB交 O于点C，D为OB上一点，延长CD交 O于点E，延长OB至
F，使DF＝FE，连接EF．
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（1）求证：EF为 O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求 O的半径．
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9．如图 O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．
（1）求证：AD与 O相切；
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（2）若AE＝2 ，⊙CE＝2．求 O的半径和AB的长度．
⊙10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点
D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长．
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11．如图，AB是 O的直径，AC是弦，D是 的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且
CF＝EF．
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（1）求证：CF为 O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
⊙12．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已
知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是 O切线；
（2）若AE＝4，CD＝6，求 O的半径和AD的长．
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13．如图，AB是 O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF
与AB的延长线相交于点F，连接AD．
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（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
⊙14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作 O，与AB相交于点E，作线
段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
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（1）求证：EN是 O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4， O的半径为1，求线段EN的长．
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类型三：作垂直，证明半径
15．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M，与
AB，AD分别相交于点E，F．
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（1）求证：CD是 O的切线．
（2）若正方形ABCD的边长为2，求 O的半径．
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⊙16．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点， O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．
（1）求证：BC是 O的切线；
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（2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数．
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17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆
心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F．
（1）求证：AB与 O相切；
（2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长．
⊙18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的 D与AC相交于
点E
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（1）求证：BC是 D的切线；
（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
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19．如图，AB是 O的直径，AM，BN分别切 O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分
∠ADC．
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（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长．
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