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专题 02 圆的切线的证明的三种类型
类型一：见半径，证明垂直
类型二：连半径，证明垂直
类型三：作垂直，证明半径
类型一：见半径，证明垂直
1．如图，线段AB经过 O的圆心O，交 O于A，C两点，BC＝5，AD为 O的弦，连接BD，∠BAD＝
∠ABD＝30°，连接DO并延长交 O于点E，连接BE交 O于点M．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：直线BD是 O的切线；
⊙ ⊙
（2）求 O的半径和线段BM的长
⊙
⊙
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形性质外角的性质得∠DOB＝60°，∠ADO＝∠OAD＝
30°，进而可求证∠ODB＝90°，进而可求证结论；
（2）连接DM，利用三角形的特征得 ，进而可得OC＝BC＝5，则可求得 O的半径为5，进
而可得DE＝10， ，在Rt△BDE中和在Rt△BDM中利用勾股定理即可求解．⊙
【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝30°，
∴∠ADO＝∠OAD＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是半径，
∴BD是 O的切线．
（2）解：连接DM，如图：
⊙
由（1）得：∠ODB＝90°，
∵∠ABD＝30°，∴ ，
∵OD＝OC，BC＝5，
∴OC＝BC＝5，
∴ O的半径为5，
∴⊙DE＝10， ，
在Rt△BDE中，∠EDB＝90°，DE＝10， ，
∴ ，
∵DE为直径，
∴∠DME＝90°，
∴DM⊥BE，
∴DE•BD＝DM•BE，即： ，
解得： ，
在Rt△BDM中，∠BMD＝90°， ， ，
∴ ．
2．如图，AB为 O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在 O上且满
足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
⊙ ⊙
（1）求证：BE是 O的切线；
（2）当BE＝6时，求 O半径的长．
⊙
⊙
【分析】（1）先证∠BDE+∠ADC＝90°，再由AC＝AD，EB＝DB得∠ACD＝∠ADC，∠E＝∠BDE，
进而得∠E+∠BCE＝90°，于是有∠EBC＝90°，从而即可证明结论成立；
（2）设 O的半径为r，在Rt△ABD中，利用勾股定理得62+（r+3）2＝（2r）2，求得r＝5；
【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是 O的半径，
∴BE是 O的切线；
⊙
（2）解：设 O的半径为r，
⊙
∵OC＝3，
⊙
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r ＝5，r ＝﹣3（舍去），
1 2
∴ O半径的长为5．
3．如图，AB为 O的直径，过圆上一点 D作 O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，
⊙
OE∥AD交CD于点E，连接BE．
⊙ ⊙
（1）求证：直线BE与 O相切．
（2）若CA＝4，CD＝6，求DE的长．
⊙
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的性质可得∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，进
而可得∠EOB＝∠DOE，则可以利用SAS证明△BOE≌△DOE，得∠OBE＝∠ODE＝90°，可以得到结
论；
（2）设 O的半径为r，根据勾股定理进行列出方程进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
⊙∵直线CD与 O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
⊙
∵OE∥AD，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠EOB＝∠DOE，
在△BOE和△DOE中，
，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，即OB⊥BE，
又∵OB是 O半径，
∴直线BE与 O相切；
⊙
（2）解：设 O的半径为r，
⊙
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，即r2+62＝（r+4）2，
⊙
解得：r＝2.5，
∴AB＝2r＝5，
∴BC＝AC+AB＝4+5＝9，
由（1）得△BOE≌△DOE，
∴BE＝DE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，即92+BE2＝（6+DE）2，
∴92+BE2＝（6+BE）2，
解得： ，
∴DE的长为 ．
4．如图，AB是 O的直径，D是 O上的一个动点，过点B作 O的切线，连接AD并延长，交过点B的
切线于点C，E是BC的中点，连接OD、DE．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
⊙（2）连接OE交 O于点F，连接DF，当BC＝18 ，OA＝ 9 时，四边形ADFO是菱形．
⊙
【分析】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由直角三角形的性质得出DE＝BE＝
CE＝ BC，由等腰三角形的性质得出∠DBE＝∠BDE，∠OBD＝∠ODB，得出∠OBE＝∠ODE＝90°即
可得出结论；
（2）证出△AOD是等边三角形，得出∠A＝60°，由直角三角形的性质得出AB即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
⊙
∵在Rt△BDC中，点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝CE＝ BC，
∴∠DBE＝∠BDE，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBE+∠OBD＝∠BDE+∠ODB，
即∠OBE＝∠ODE，
∵BC是 O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
⊙
∵点D在 O上，
∴DE是 O切线；
⊙
（2）解：∵四边形ADFO为菱形，
⊙
∴OA＝AD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ABC＝90°，BC＝18 ，
∴AB＝tan30°BC＝ ×18 ＝18，∴OA＝ AB＝9，
∴OA＝9时，四边形ADFO是菱形．
故答案为：9．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的 O经过点
D，交AB于点E．
⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．
⊙
【分析】（1）由等边对等角，角平分线可证OD∥AC，则∠BDO＝∠C＝90°，进而结论得证；
（2）设 O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB2﹣OD2＝
BD2，即（ ⊙2+r）2﹣r2＝42，计算求解，然后作答即可．
【解答】（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠C＝90°，
∵OD是半径，
∴BC是 O的切线；
（2）解：设 O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，
⊙
由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，
⊙
解得，r＝3，
∴AB＝2+2×3＝8，
∴AB的长为8．6．如图， O是△ABC的外接圆，AC是 O的直径，点D是 的中点，点E是AB延长线上的一点，连
接CE，∠E＝∠ADB．
⊙ ⊙
（1）求证：CE是 O的切线；
（2）若∠ADB＝60⊙°， ，求BC的长．
【分析】（1）首先根据等量代换得到∠E＝∠ACB，然后根据同角的余角相等得到∠ACE＝90°，进而
证明即可；
（2）连接DO，首先根据点D是 的中点得到∠AOD＝90°，然后根据勾股定理求出AC＝2AO＝8，最
后利用30°角直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图，
∵ ，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵∠E＝∠ADB，
∴∠E＝∠ACB，
∵AC是 O的直径，
∴∠ABC＝90°，
⊙
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠E＝90°，
∴∠ACE＝90°，即：AC⊥CE，
∵OC是 O的半径，
∴CE是 O的切线，
⊙
（2）解：连接DO，
⊙
∵点D是 的中点，AC是 O的直径，
∴ ， ⊙
∴∠AOD＝90°，AD＝2 ，
在Rt△AOD中，设AO＝DO＝x，由勾股定理可得：AD2＝AO2+DO2，（2 ）2＝x2+x2，
解得：x＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝30°，则有BC＝ ，
故BC的长为2．
7．如图，AC是 O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是 O的切线；
⊙
（2）若 O的半径⊙为4，PC＝2 ，求线段AB的长．
⊙
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠OAC，∠BPA＝∠BAP，求得∠CPO＝∠BAP，推出
∠BAO＝90°，根据切线判定定理得到AB是 O的切线；
（2）根据勾股定理得到OP＝ ＝⊙ ＝2，设BA＝BP＝x，根据勾股定理即可
得到结论．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵PB＝BA，
∴∠BPA＝∠BAP，
∵∠CPO＝∠BPA，
∴∠CPO＝∠BAP，
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°，
∴∠C+∠CPO＝90°，
∴∠CAO+∠BAP＝90°，
即∠BAO＝90°，
∵OA是 O的半径，
∴AB是 O的切线；
⊙
（2）解⊙：∵∠COP＝90°，OC＝4，PC＝2 ，
∴OP＝ ＝ ＝2，
设BA＝BP＝x，∵∠BAO＝90°，
∴AB2+AO2＝OB2，
∴x2+42＝（2+x）2，
∴x＝3，
∴线段AB的长为3．
类型二：连半径，证明垂直
8．如图，AB为 O的直径，OC⊥AB交 O于点C，D为OB上一点，延长CD交 O于点E，延长OB至
F，使DF＝FE，连接EF．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：EF为 O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求 O的半径．
⊙
⊙
【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设 O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定
理得得出方程求解即可．
⊙
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为 O的切线；
（2）解：设 O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
⊙
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
⊙
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴ O的半径为3．
9．如图 O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．
⊙
（1）求证：AD与 O相切；
⊙
（2）若AE＝2 ，⊙CE＝2．求 O的半径和AB的长度．
⊙
【分析】（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆
周角定理即可证明；
（2）设 O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2 ，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R
⊙
＝4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH＝BH，再利用面积法计算出OH＝ ，然后根据勾股定
理计算出AH＝ ，再利用垂径定理得出AB＝2AH＝ ．
【解答】（1）证明：连接OA；
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴OA⊥OC；
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，∴AD是 O的切线．
（2）解：⊙设 O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2 ，
在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，
⊙
∴R2+（R﹣2）2＝（2 ）2，解得R＝4，
作OH⊥AB于H，如图，OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
则AH＝BH，
∵ OH•AE＝ •OE•OA，
∴OH＝ ＝ ＝ ，
在Rt△AOH中，AH＝ ＝ ，
∵OH⊥AB，
∴AB＝2AH＝ ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点
D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长．
⊙
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余
角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可
得结论；
（2）设半径为x，在直角三角形ODC中，根据勾股定理列方程即可求出半径．
【解答】（1）证明：连接OD，∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是 O的半径，
∴CD是 O的切线．
⊙
（2）解：∵CD＝AC，
⊙
∴CD＝4，
设半径为x，则OC＝x+2，
在直角三角形ODC中，
OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42，
∴x＝3．
∴半径的长为3．
11．如图，AB是 O的直径，AC是弦，D是 的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且
CF＝EF．
⊙
（1）求证：CF为 O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
⊙
【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可；
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，再根据勾
股定理可解决问题．【解答】（1）如图，连接OC，OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是 的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OC是半径，
∴CF是 O的切线．
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
⊙
在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2
∴42+r2＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴OB＝OD＝3，
∵∠DOB＝90°，
∴BD2＝OD2+OB2，
∴ ．
12．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已
知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是 O切线；
（2）若AE＝4，CD＝6，求 O的半径和AD的长．
⊙
⊙【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理
即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE＝90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是 O切线；
⊙
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD＝6，
∴DF＝FC＝3．
在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，
∴OD＝ ＝ ＝5，
在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2，
∴AD＝ ，∴AD的长是 ．
13．如图，AB是 O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF
与AB的延长线相交于点F，连接AD．
⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
⊙
【分析】（1）连接OD，连接OC交BD于M，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COD＝∠COB，由OD
＝OB，得到OC⊥BD，又CF∥BD，因此半径OC⊥CF，即可证明CF是 O的切线；
（2）设OM＝x，由勾股定理得到62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，求出x＝1.4，由三角形中位线定理，得到AD
⊙
＝2OM＝2x＝2.8．
【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，
∵CD＝CB，
∴ ＝ ，
∴∠COD＝∠COB，
∵OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM，
∵CF∥BD，
∴半径OC⊥CF，
∴CF是 O的切线；
（2）解：设OM＝x，
⊙
∵OC＝ AB＝5，
∴MC＝5﹣x，
∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝1.4，
∵AO＝OB，DM＝BM，
∴OM是△BAD的中位线，
∴AD＝2OM＝2x＝2.8．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作 O，与AB相交于点E，作线
段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
⊙
（1）求证：EN是 O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4， O的半径为1，求线段EN的长．
⊙
⊙
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出
∠NEM+∠AEO＝90°即可；
（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE＝NB，
∴∠B＝∠NEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠NEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，
即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是 O的切线；
（2）解：如图，连接ON，
⊙
∵MN是BE的中垂线，
∴NE＝NB，
设EN＝x＝BN，
在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，
在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，∴OC2+CN2＝OE2+EN2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝ ，
即EN＝ ．
类型三：作垂直，证明半径
15．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M，与
AB，AD分别相交于点E，F．
⊙
（1）求证：CD是 O的切线．
（2）若正方形ABCD的边长为2，求 O的半径．
⊙
⊙
【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，根据正方形性质推出∠ACB＝∠ACD，根据角
平分线性质推出OM＝ON即可；
（2）若正方形的边长为2，则对角线AC的长为2 ，可用 O的半径表示出OA、OM、OC的长，然
后根据AC的长度求出 O的半径．
⊙
【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，
⊙
∵ O与BC相切于M，
∴OM⊥BC，
⊙
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC
∴OM＝ON∴CD与 O相切．
（2）解：设 O的半径为R，则OM＝R．
⊙
∵正方形ABCD的边长为2，
⊙
∴AC＝2 ，OC＝2 ﹣R．
在Rt△OMC中，
∵sin∠OCM＝ ，
∴sin45°＝ ，
解之，得R＝4﹣2 ．
16．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点， O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数．
⊙
【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥BC于N，先根据切线的性质得OM⊥AB，再由角平分线的性
质得ON＝OM，进而根据切线的判定可得出结论；
（2）设∠ABE＝ ，根据角平分线的定义得ABE＝∠CBE＝ ，∠ABC＝2 ，再由EM∥BC得∠MEB＝
∠CBE＝ ，由OE＝OM得∠MEB＝∠OME＝ ，由此得∠MOB＝2 ，然后根据∠MOB+∠MBE＝90°求
α α α
出 ＝30°，进而可得∠ABC的度数．
α α α
【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示：
α
∵点O为 O的圆心，AB为 O的切线，切点为M，
∴OM为 O的半径，且OM⊥AB，
⊙ ⊙
∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC，
⊙
∴ON＝OM，
即ON为 O的半径，
∴BC是 O的切线；
⊙
⊙（2）解：设∠ABE＝ ，
∵BD为∠ABC平分线，
α
∴∠ABE＝∠CBE＝ ，∠ABC＝2∠ABE＝2 ，
∵EM∥BC，
α α
∴∠MEB＝∠CBE＝ ，
∵OE＝OM，
α
∴∠MEB＝∠OME＝ ，
∴∠MOB＝∠MEB+∠OME＝2 ，
α
∵OM⊥AB，
α
∴∠MOB+∠MBE＝90°，
即2 + ＝90°，
∴ ＝30°，
α α
∴∠ABC＝2 ＝60°．
α
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆
α
心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F．
（1）求证：AB与 O相切；
（2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长．
⊙
【分析】（1）过点O作AB的垂线，证明出OG＝OD即可；
（2）利用勾股定理求出半径，再利用勾股定理求出CD即可．
【解答】解：（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
又∵∠BAD的角平分线交DE于点O，
∴OG＝OD，
又∵OG⊥AB，
∴AB与 O相切；
（2）连接OC．
⊙
∵DE⊥CF，
∴ ，在Rt△OEC中， ＝OD，
∴DE＝OD+OE＝13+5＝18，
在Rt△DEC中， ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的 D与AC相交于
点E
⊙
（1）求证：BC是 D的切线；
（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
⊙
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD＝DF．根据切线的判定定理即
可得到结论；
（2）根据切线的性质得到AB＝FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DF．
∵AD是 D的半径，DF⊥BC，
∴BC是 D的切线；
⊙
⊙
（2）解：∵∠BAC＝90°．
∴AB与 D相切，
∵BC是 D的切线，
⊙
∴AB＝FB．
⊙
∵AB＝5，BC＝13，
∴CF＝8，AC＝12．
在Rt△DFC中，
设DF＝DE＝r，则
r2+64＝（12﹣r）2，解得：r＝ ．
∴CE＝12﹣2× ＝ ．
19．如图，AB是 O的直径，AM，BN分别切 O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分
∠ADC．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长．
⊙
【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，根据切线的性质由AM切 O于点A得OA⊥AD，再根据角
平分线定理得到OE＝OA，然后根据切线的判定定理得到CD是 O的切线；
⊙
（2）过D作DF⊥BC于F，根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，则得到四边形ABFD为矩形，得
⊙
到BF＝AD＝4，所以CF＝BC﹣BF＝5，再利用切线长定理得DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，所以DC＝
AD+BC＝13，在 Rt△DCF 中，利用勾股定理计算出 DF＝12，则 AB＝12，所以 OA＝6，然后在
Rt△OAD中，利用勾股定理可计算出OD．
【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图，
∵AM切 O于点A，
∴OA⊥AD，
⊙
∵DO平分∠ADC，
∴OE＝OA，
∵OA为 O的半径，
∴OE是 O的半径，且OE⊥DC，
⊙
∴CD是 O的切线；
⊙
（2）解：过D作DF⊥BC于F，如图，
⊙
∵AB是 O的直径，AM，BN分别切 O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
⊙ ⊙
∴四边形ABFD为矩形，
∴BF＝AD＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5，
∵DC、AM、BC为圆的切线，
∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，
∴DC＝AD+BC＝13，
在Rt△DCF中，DF＝ ＝12，
∴AB＝12，
∴OA＝6，
在Rt△OAD中，OD＝ ＝ ＝2 ．
