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专题 02 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角
形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对
应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ；例1．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若
AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
例2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图， 中，点 在 上， ，若 ，
，则线段 的长为 ．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求
证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图， 中， ，点 为 上一点，且 ．
交 于 ，交 的延长线于 ．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求 ．例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），
若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线
段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，
使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的
绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点
， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若
，求证： ；(3)如图2，过 作 于点 ，若 ， ，求 的长．例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，四边形 为平行四边形， 在 边上， ，点 在 延长线上，
连结 ， ， ，若 ， ， ，求 的长；
【拓展提高】（3）如图3，在 中， 是 上一点，连结 ，点 ， 分别在 ， 上，连结
， ， ，若 ， ， ， ， ，求 的值．课后专项训练
1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点 是 的边 上一点，要使得 与 相
似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，已知 ，其中 ， ，则
（ ）
A．2 B． C． D．4
3．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，过点C作 于点
D，点M为线段 的中点，连接 ，过点D作 于点E．设 ， ，则图中可以表
示为 的线段是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，D是 的边 上一点，连接 ，若
，则 的长 ．5．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知：如图， 中， ， ，D为 边上
一点， ． (1)求证： ．(2)若 的周长为11，请求出 的长．
6．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在 的边 上，连接 ． (1)如图1，若
．求证： ；(2)如图2，若 ， ， ， ．求线段
的长；(3)如图3，M、N分别是 上的两点，连接 交 于点P，当 ，
时，若 ，直接写出 的值______．
7．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在梯形 中， ， ，点E是边
中点，连接 并延长 交 的延长线于点F， ，且 ．
(1)求证： ；(2)求证： ．8．（2023秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在 的边长为1的小正方形网格中， 的三
个顶点都在格点上．
(1)直接写出 的形状______；(2)若 垂足为D，证明： ；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照
的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
9．（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图， 是 的直径，点D是 上一点，且
， 与 交于点F．(1)求证： 是 的切线；(2)若 平分 ，求证：
．
10．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三
角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在 中，
为边 上的中线， 与 相似，那么称 为关于边 的“华益美三角”．(1)如图2，在 中， ，求证： 为关于边 的“华益美三角”；
(2)如图3，已知 为关于边 的“华益美三角”，点 是 边 的中点，以 为直径的⊙
恰好经过点 ．①求证：直线 与 相切；②若 的直径为 ，求线段 的长；
(3)已知 为关于边 的“华益美三角”， ， ，求 的面积．
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，在 中， 是边 上一点．
(1)当 时，①求证： ；②若 ， ，求 的长；
(2)已知 ，若 ，求 的长．
12．（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点 在同一直线上，满足 ， ，
且 ．求证： ．13．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1， 中， ，D为 上一点， ．
(1)求证： ；(2)如图2，过点A作 于M，交 于点E，若 ，求 的值；
(3)如图3，N为 延长线上一点，连接 、 ，若 ， ，则 的值为
_．
14．（2023·吉林·九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝
∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF
＝4，BE＝3，求AD的长．15．（2023·福建九年级期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，
△
∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝
120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图， ， 平分 ，连接
交 于 .(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长.
18．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形 中，对角线 平分 ，且满足 ，求证：
（2）[尝试应用]在 中， 的角平分线 交于点F
①如图2， ，边 上一点G满足 ， ， ，求 的值．
[拓展创新]②如图3， ， ， ， ，直接写出 的值
（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．
