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专题第 03 讲 二次函数的最值与存在性问题（20 题）
1．（2023春•鼓楼区校级期末）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，
四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度
为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？
2．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以
1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q
两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．
3．（2023春•汉寿县期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为直线OD与抛物线y＝
ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P为此抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线OD为 ，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
4．（2023•鄄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，
且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点 N，使△MNO为等腰直角三角形，且
∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023春•铜梁区校级期中）如图，已知二次函数 y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴
交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．
（1）求S△COD ；（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x
轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移 个单位长度得到新抛物线y ，点M在新
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抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请
直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．6．（2023•襄阳模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点M（﹣2， ）和N（2，﹣ ）两点，且抛
物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若点M是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P
的坐标；
（3）若B（m，0），且1≤m≤3，求a的取值范围．
7．（2023•崇川区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PF⊥AC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以
及PF的最大值．
8．（2023•平潭县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．
设m＝PD+ DE，求m的最大值及此时P点坐标．
9．（2023•荔城区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，
0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值．
10．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，
0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的
一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，
使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023•防城区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+6与轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点
C，∠ABC＝45°．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EF⊥x轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时△BCE的面积是否最大．
（3）已知点D（﹣3，10），E（2，10），连接DE．若抛物线y＝ax2+bx+6向上平移k（k＞0）个单位
长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围．
12．（2023•明水县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，
且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C
为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值．
13．（2023•晋中模拟）综合与探究
如图1，抛物线 与x轴交于点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若P是直线BC下方抛物线上的一动点，连接PB，PC，过点P作 PD⊥BC于点D，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标和线段PD的长；
（3）若E是抛物线上的任意一点，过点E作EQ∥y轴，交直线BC于点Q，抛物线上是否存在点E，使
以E，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说
明理由．
14．（2022秋•曲周县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长最小？若存在，
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标
及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线得解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出
所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．16．（2023•湟中区校级开学）如图1，抛物线经过A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）如图2，点M是线段AC上的点（不与A、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的
横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长，并求出MN的最大值．17．（2023•太平区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣
1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的
最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2023•昭平县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A，B（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA＝3．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点M是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线MN⊥x轴于
点D，交线段BC于点N．是否存在点M使得线段MN的长度最大，若存在，求线段MN长度的最大值，
若不存在，请说明理由；
（3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足t≤x≤t+1时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t
的值．19．（2023•芝罘区一模）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和
点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023春•东莞市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线AB交于点A
（0，﹣4），B（4，0）．点P是直线AB下方抛物线上的一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及
此时点P的坐标；
（3）连接PA、PB，是否存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成1：3两部分，如果存在，请求出
点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
