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专题 03 全等三角形的六种模型全梳理
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明
三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形
中。
例1．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长 到点E，使 ，
连接 ．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到 的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）如图2， 长的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3， 是 的中线， 交 于点E，交 于F，且 ．求证：
．例2．（培优）已知 和 都是等腰直角三角形， ，连接
，点F为 中点．
(1)如图1，求证： ；
(2)将 绕C点旋转到如图2所示的位置，连接 ，过C点作 于M点．
①探究 和 的关系，并说明理由；
②连接 ，求证：F，C，M三点共线．
【变式训练1】如图， 中， ，E是 的中点，求证： ．
【变式训练2】（1）如图1，已知 中，AD是中线，求证： ；
（2）如图2，在 中，D，E是BC的三等分点，求证： ；
（3）如图3，在 中，D，E在边BC上，且 ．求证： ．【变式训练3】（1）阅读理解：
如图①，在 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．可以用如下
方法：将 绕着点D逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的
关系即可判断中线 的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在 中，D是 边上的中点， 于点D， 交 于点E，DF交
于点F，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以C为顶点作一
个 的角，角的两边分别交 于E、F两点，连接EF，探索线段 之
间的数量关系，并说明理由．
类型二、截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）
例1．如图，在五边形 中， ， 平分 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
例2．（培优）在 中，BE，CD为 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： ；
（2）已知 ．
①如图1，若 ， ，求CE的长；
②如图2，若 ，求 的大小．
【变式训练1】如图， 为等边三角形，若 ，则
（用含 的式子表示）．
【变式训练2】如图，在四边形 中， ，点E、F分别在
直线 、 上，且 ．(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若
成立，请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练3】阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在 ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求
BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样
很容易得到 DEC≌ DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知 ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝
2.3，BC＝2．求AD的长．
类型三、一线三等角模型
B
A
D E
C
应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
例1．如图1， ，垂足分别为D，E．(1)若 ，求 的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想
三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，C，E三点在同一条直线上，
并且有 ，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成
立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
例2．在正方形 中，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ， ，过
点 作 ，并截取 （点 ， 在 同侧），连接 ．
（1）如图1，点 在 边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点 在 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 ， ， 之
间的数量关系．
【变式训练1】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下
列问题：[模型呈现]如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作
于点E．求证： ．
[模型应用]如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，
计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3， ， ， ，连接 ， ，且
于点F， 与直线 交于点G．若 ， ，则 的面积为
_____________．
【变式训练2】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
如图1，已知：在 中， ， ，直线l经过点A， 直线l，
直线l，垂足分别为点D，E．求证： ．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条
件改为：在 中， ，D，A，E三点都在直线l上，并且有
，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？
若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过
的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交
EG于点I．若 ，则 ______．
类型四、手拉手模型
例1．【问题发现】（1）如图1， 和 均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接 ，容易发现：① 的度数为 ；②线段 、 之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点B，D，E在
同一直线上，连接 ，试判断 的度数以及线段 、 、 之间的数量关系，
并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3， ， ， ， ，则 的值为 ．
例2．（培优）如图1，在 中， ， ，点D、E分别在边AB，
上， ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：
图中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，
并说明理由；
(3)拓展延伸：
把 绕点A在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大
值．【变式训练1】如图，在 中， ， ，点O是 中点， ，
将 绕点O旋转， 的两边分别与射线 、 交于点D、E．
(1)当 转动至如图一所示的位置时，连接 ，求证： ；
(2)当 转动至如图二所示的位置时，线段 、 、 之间有怎样的数量关系？
请说明理由．
【变式训练2】已知在 中， ，过点B引一条射线 ，D是 上一点
【问题解决】
(1)如图1，若 ，射线 在 内部， ，求证： ，
小明同学展示的做法是：在 上取一点E使得 ，通过已知的条件，从而求得
的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知 ．
①当射线 在 内，求 的度数
②当射线 在 下方，如图3所示，请问 的度数会变化吗?若不变，请说明理由，
若改变，请求出 的度数；类型五、半角模型
例1．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、
F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'A
△
F＝ 度，……
△
根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
△
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写
出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，
S ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． △
△
△
例2．（培优）如图， ， ， ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）以E为圆心，以 长为半径作弧；以F为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点G，试探索 的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．
【变式训练1】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、
F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的
数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理
由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，
线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【变式训练2】（1）如图，在正方形 中， 、 分别是 ， 上的点，且
．直接写出 、 、 之间的数量关系；
（2）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的
点，且 ，求证： ；
（3）如图，在四边形 中， ， ，延长 到点 ，延长到点 ，使得 ，则结论 是否仍然成立？若成立，请证明；不
成立，请写出它们的数量关系并证明．
类型六、旋转模型
例．如图，在 中， ，点D在 内， ，
，点E在 外， ．
(1) 的度数为_______________；
(2)小华说 是等腰三角形，小明说 是等边三角形，___________的说法更准确，
并说明理由；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
例2．（培优）已知点C为线段 上一点，分别以 为边在线段AB同侧作
和 ，且 ． ， ，直线 与 交于点F．(1)如图1，可得 ___________；若 ，则 ___________．
(2)如图2，若 ，则 ___________．（用含a的式子表示）
(3)设 ，将图2中的 绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在
中的一条线段上），如图3．试探究 与a的数量关系，并予以说明．
【变式训练1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接
CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、
AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，
请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【变式训练2】如图，等边 中， 分别交 、 于点 、 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）将 绕点 顺时针旋转 （ ），设直线 与直线 相交于点 ．
①如图，当 时，判断 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，
说明理由；
②若 ， ，当 ， ， 三点共线时，求 的长．
课后训练
1．已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 上的点，且 、 交
于点 ．若 、 为 的角平分线．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．2．在 与 中， ， ， ．
(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接 ， ，则 与 的关系为________．
(2)如果将图1中的 绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断 与
的关系，并说明理由
(3)如图3，若 ， ，连接 ，分别取 ， ， 的中点M，P，N，连接
， ， ，将 绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中
的面积最大值和最小值．
3．问题背景：
如图1，在四边形ABCD中 ， ， ，E、F分别是BC，
CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究
此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明 ，再证
明 ，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B
＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直
接到达，经测量得 ，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．4．【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且
，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一
种常用的方法．如图①，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，
连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上， ，连接
MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD， ， ，点N，M分别
在边BC，CD上， ，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．
5．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在
边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1，求证：OH＝ AD，OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的
结论；若不成立，请说明理由．
