文档内容
微专题：根据前 n 项规律归纳数列的通项公式
【考点梳理】
1、常见数列的通项
(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a＝n.
n
(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a＝ 2 n .
n
(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a＝ 2 n ＋ 1 .
n
(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a＝ 2 n .
n
(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a＝ ( － 1) n .
n
(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a＝.
n
(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为a＝.
n
(8)9，99，999，…的一个通项公式为a＝ 10 n － 1 .
n
2、给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，
{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的
关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可
使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进
行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列 1，0，1，0，…的通项公式可写成a ＝或a ＝，甚至分
n n
段形式a＝等.
n
【典例剖析】
典例1．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）
A．9802 B．9991 C．10001 D．10202
典例2．已知数列 的前 项依次为 ， ， ， ，则数列 的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
典例3．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基
年提出．具体操作是：取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 个小三角形，去掉中间的
那一个小三角形后，对其余 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．如图所示，图1中有 个白色三角形，
图2中有 个白色三角形，图3中有 个白色三角形，…，依此类推，可以判断图4中白色小三角形的个数为
（ ）
A． B． C． D．
典例4．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（ ）
第 1 页
学科网（北京）股份有限公司A．193 B．192
C．174 D．173
【双基达标】
5．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…， ，…的第2022项的值是（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
6．已知数列1， ， ， ，…．则该数列的第10项为（ ）
A． B． C． D．
7．数列，，，，…的一个通项公式为 ( )
A. a＝ B. a＝ C. a＝ D. a＝
n n n n
8．满足 ， 的数列 称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那
契数列 各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端
点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺
旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
第 2 页
学科网（北京）股份有限公司9．大衍数列来源于 乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学
史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ，则该数列第18项为
A．200 B．162 C．144 D．128
10．已知数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子
与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分
子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为 ，则满足 且 的n的最
小值为（ ）
A．47 B．48 C．57 D．58
11．如图，在杨辉三角形中，斜线 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，
10，…，记其前 项和为 ，则 （ ）
A．361 B．374 C．385 D．395
12．已知某数列的前8项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，则此数列的第16项为（ ）
A．98 B．112 C．128 D．162
13．观察数列21， ， ，24， ， ，27， ， ，…，则该数列的第20项等于（ ）
A．230 B．20 C． D．
14．已知数列 中， 是这个数列的（ ）
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第13项
15．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即 ）；
如果n是奇数，则将它乘3加1（即 ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨
猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8
项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）
A．4 B．6 C．32 D．128
16．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上
而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵
式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序
依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ）
第 3 页
学科网（北京）股份有限公司一百零八塔全景
A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状
C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状
17．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）
A．199 B．201 C．203 D．205
18．“天支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为
“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，
“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉、
甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无
穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的（ ）
A．丙申年 B．丙午年 C．甲辰年 D．乙未年
19．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面
图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 表示第 幅图的蜂
巢总数，则 （ ）； （ ）.
A．35
B．36
C．37
D．38
20．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页，而同杨辉三角
齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第 行从左边数第 个位置
上的数值是（ ）
第 4 页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
21．数列1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…的第2021项为（ ）
A． B． C． D．
22．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一
个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所
以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列 类似地，数1，4，9，16，…叫做
正方形数，则在三角数列 中，第二个正方形数是（ ）
A．28 B．36 C．45 D．55
23．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取
此琴弦长度的 得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的 为第三根琴弦，第三根琴弦长度的 为第四根琴弦，第四
根琴弦长度的 为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称
为“宫、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）
A． B． C． D．
24．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下: ，( )，
，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（ ）
A． B． C． D．
25．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ）
A．40个 B．45个
C．50个 D．55个
第 5 页
学科网（北京）股份有限公司【高分突破】
一、单选题
26．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许
多类，若：三角形数 、 、 、 、 ，正方形数 、 、 、 、 等等.如图所示为正五边形数，将五边形数
按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，将钢琴上的 个键依次记为 .设 .若 且 ，则称 为原位大三
和弦；若 且 ，则称 为原位小三和弦.用这 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的
个数之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
28．南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，
即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写
成的，其中 是集合 中所有的数从小到大排列的数列，即 ， ， ，
， ，…，则下列结论正确的是（ ）
A．第四行的数是17，18，20，24 B．
C． D．
29．下列说法不正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
第 6 页
学科网（北京）股份有限公司B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列 的第k项是1＋
D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数
30．集合 ．记 中的最大元素为 ， 中的元素之和为 ，记集合A
的元素个数为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
31．已知数列 中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列， 为其前n项和，定义 ，且数列
的前n项和为 ，若 ，则数列 的前30项中0的个数为_______个．
32．如图1是第七届国际数学数育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第
一个直角三角形 是等腰三角形，且 ，它可以形成近似的等角螺线，记
的长度组成数列 ，则 __________．
33．已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为__．
34．如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标分别对
应数列 的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则
______．
35．数列 ， ， ， ， 的第14项是_________．
36．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝
第 7 页
学科网（北京）股份有限公司数为______.
四、解答题
37．如果 ， ， ，那么就称 表示x的整数部分， 表示x的小数部分.已知数列
满足 ， ，求 的值.
38．古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如
图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列 ，写出 以及 .
39．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从
利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的
资金为an万元．
(1)求a、a；
1 2
(2)设 ， 证明数列{bn}为等比数列，并求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番
（即为原来的4倍）的目标（取lg2=0.3 ）；
(3)若 ，求数列 的前n项和Sn．
40．已知数列 满足 ,且 ，求：
（1）数列 的前3项；
（2）数列 的通项公式.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数
【详解】
因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为 ，
所以第100个数为 ，
第 8 页
学科网（北京）股份有限公司故选：C
2．C
【解析】
利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.
【详解】
对于A， ，故A错误.
对于B， ，故B错误.
对于C， ，
故C正确.
对于D， ，故D错误.
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
作出图形，观察可得出结论.
【详解】
作出如图如下图所示，观察可知，白色小三角形的个数为 ．
故选：C．
4．A
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得第 行的第一个数字为 ，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、 ，
则第 行的第一个数字为 ，
则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；
故选：A．
第 9 页
学科网（北京）股份有限公司5．D
【解析】
【分析】
根据数列中数字出现规律，到数字n共有 项，进而判断 和 对应项数刚好包含2022即可.
【详解】
由题设，数字n出现次数为n，
所以数列到数字n共有 项，
当 时， ，
当 时， ，
所以第2022项的值是64.
故选：D
6．A
【解析】
【分析】
根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.
【详解】
通过观察可知该数列的通项公式为 ，所以 ．
故选：A
7．D
【解析】
根据题意，数列，，，，…，a＝. 故选D.
n
8．C
【解析】
【分析】
由题意可得 ，分别计算阴影及扇形面积由几何概型求解即可.
【详解】
由题， ， ， ， ，
则阴影部分面积为 ，
扇形 的面积为 ，
所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为 .
故选：C
第 10 页
学科网（北京）股份有限公司9．B
【解析】
【分析】
由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可.
【详解】
偶数项分别为2，8，18，32，50，
即 ， ， ， ， ，
即偶数项对应的通项公式为 ，
则数列的第18项为第9个偶数
即 ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
将数列的项分组，设满足 的 首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式 ，
求得 ，结合 ，即可求得答案.
【详解】
将数列分组为（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），…，
设满足 的 首次出现在第m组的第x个数的位置上，
则 ，
此时数列共有项数为 ，
即得 ，解得 由于 ，
而 ，故 ，
又 ,故符合条件的m,的最小值为11，
则满足 且 的n的最小值为 ，
故选：C
【点睛】
本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，
第 11 页
学科网（北京）股份有限公司这是解题的关键所在.
11．B
【解析】
【分析】
将数列的前22项写出来，再进行求和即可.
【详解】
根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：
1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，
所以
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
根据数列的前8项的特点求解.
【详解】
由题意得，奇数项依次为 ， ， ，…，
偶数项依次为 ， ， ，…，
所以第16项为 .
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环，由此可以判断第20项.
【详解】
观察数列得出规律，数列中的项中，
指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，
且指数、对数、余弦值以3为循环，
，
可得第20项为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查通过观察数列规律求指定项，属于基础题.
14．A
【解析】
第 12 页
学科网（北京）股份有限公司【分析】
根据题意，令 ，求得 ，即可得到答案.
【详解】
由题意，数列通项公式为 ，
令 ，解得 ，即 是这个数列的第10项.
故选：A.
15．B
【解析】
【分析】
根据科拉茨的猜想从 反推 的所有可能取值.
【详解】
2
所以不同值的个数为 .
故选：B
16．C
【解析】
【分析】
根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.
【详解】
因为 ，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．
故选：C
17．B
【解析】
【分析】
本题可通过图示关系找到第 个图形和火柴棒数量之间的数列关系式，从而求出第100个图形所用火柴棒数
【详解】
由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用
的火柴棒数多两根，
第 13 页
学科网（北京）股份有限公司设第 个图形所需要的火柴棒数量为 ，则 ，
套用关系式可以算出，第 个图形所用火柴棒数量为
故选：B
18．A
【解析】
【分析】
按照题中规律依次从2021年倒推，列举到2016年，即可得到答案.
【详解】
依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．
2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛:本题的解题关键在于根据题意理解“干支纪年法”的定义，根据规律突破难点即可.
19．C
【解析】
【分析】
结合图形中的规律直接求出 和 ，进而总结出递推公式 时， ，利用累加法即
可求出结果.
【详解】
由图中规律可知： ，
所以 ，
，
，
，
因此当 时， ，
所以
，
经检验当 时，符合 ，所以 ，
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
第 14 页
学科网（北京）股份有限公司首先确定第 行的第一个数是 ，第九行的第一个数是 ，再确定第10行、第9行的第二个数，再确定第 行
的第三个数.
【详解】
从上往下，第几行的第一个数是几分之一，
所以第 行的第一个数是 ，第九行的第一个数是 ，第八行第一个数是 ．
从第二行开始每一行的第二个数和第一个数的和是上面的第一个数，
所以第 行的第二个数是 ，第九行的第二个数是 ．
从第三行开始，第二个数和第三个数的和是上一行的第二个数，
所以第 行的第三个数是 .
所以排在第 行从左边数第 个位置上的数是 .
故选：A
【点睛】
方法点睛：对于类似这种数学归纳的题目，一般要通过不完全归纳观察归纳数列的规律，再利用规律解题.
21．B
【解析】
【分析】
观察可知数列构成为，1个1,3个 ，5个 ，…， 个 …，计算可得 ,结合选项进行
判断即可得出结果.
【详解】
观察可知数列构成为，1个1,3个 ，5个 ，…， 个 ，…
注意到 ，而 ， ，
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
根据数列的前几项求出三角数列 以及正方形数列 的通项公式即可求解.
【详解】
由题意可得，三角数列 的通项为 ，
则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为 ，则 ，
其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，
第 15 页
学科网（北京）股份有限公司所以在三角数列 中，第二个正方形数是36.
故选：B.
.
23．C
【解析】
【分析】
设基准琴弦的长度为 ，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，
从而可求出“角”和“徵”对应的琴弦长度之比.
【详解】
设基准琴弦的长度为 ，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为 ， ， ， ，
五根琴弦的长度从大到小依次为 ， ， ， ， ，
所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为 和 ，其长度之比为 ．
故选：C.
24．C
【解析】
【分析】
通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果.
【详解】
从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为 故选:C.
25．B
【解析】
【分析】
由条件求出前三项交点的个数，猜想数列的通项公式并计算数值.
【详解】
交点个数依次构成数列 ，即 ， ， ， ，由此猜想an＝ ，所以a＝ ＝45.
9
故选：B
26．D
【解析】
【分析】
根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.
【详解】
第一个五边形数为 ，第二个五边形数为 ，第三个五边形数为 ，
故第四个五边形数为 .
故选：D.
27．C
第 16 页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
列举出能够构成原位大三和弦和原位小三和弦的所有可能的结果，加和即可得到结果.
【详解】
记 对应的值记为 ，
则原位大三和弦所有可能的结果有： ， ， ， ， ，共 个；
原位小三和弦所有可能的结果有： ， ， ， ， ，共 个；
则可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 .
故选：C.
28．ABD
【解析】
【分析】
根据集合元素性质，结合数列中的项进行判断即可.
【详解】
利用 来表示每一项，由题可知：
第一行：3（0，1）；
第二行：5（0，2），6（1，2）；
第三行：9（0，3），10（1，3），12（2，3）；
第四行：17（0，4），18（1，4），20（2，4），24（3，4），
故A正确.
表示第 行的第 项，则 ，故B正确.
由 表示第 行的第1项，则 ，故C错误.
又 表示第14行的第9项，所以 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点睛：运用集合元素的属性特征是解题的关键.
29．ABD
【解析】
【分析】
由数列与数集的区别判断选项A；由数列的有序性判断选项B；由数列的通项判断选项C；由数列的定义域判断选
项D.
【详解】
数列与数集是不同的，故选项A错误；
由数列的有序性知选项B错误；
由数列通项知：当 时为第k项，故选项C正确；
第 17 页
学科网（北京）股份有限公司数列的定义域不一定为正整数集，故选项D错误．
故选：ABD
30．BCD
【解析】
【分析】
求得 ，从而确定正确答案.
【详解】
对于集合 ，元素如下：
的元素
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0.03125
0 0 0 1 0 0.0625
0 0 1 0 0 0.125
0 1 0 0 0 0.25
1 0 0 0 0 0.5
0 0 0 1 1 0.09375
0 0 1 0 1 0.15625
0 1 0 0 1 0.28125
1 0 0 0 1 0.53125
0 0 1 1 0 0.1875
0 1 0 1 0 0.3125
1 0 0 1 0 0.5625
0 1 1 0 0 0.375
1 0 1 0 0 0.625
1 1 0 0 0 0.75
0 0 1 1 1 0.21875
0 1 0 1 1 0.34375
1 0 0 1 1 0.59375
0 1 1 0 1 0.40625
第 18 页
学科网（北京）股份有限公司1 0 1 0 1 0.65625
1 1 0 0 1 0.78125
0 1 1 1 0 0.4375
1 0 1 1 0 0.6875
1 1 0 1 0 0.8125
1 1 1 0 0 0.875
0 1 1 1 1 0.46875
1 0 1 1 1 0.71875
1 1 0 1 1 0.84375
1 1 1 0 1 0.90625
1 1 1 1 0 0.9375
1 1 1 1 1 0.96875
所以 ， ， ，所以A错误，BC正确.
对于集合 ，元素如下：
的元素
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0.5
0 1 0 0 0 0 0.25
0 0 1 0 0 0 0.125
0 0 0 1 0 0 0.0625
0 0 0 0 1 0 0.03125
0 0 0 0 0 1 0.015625
1 1 0 0 0 0 0.75
1 0 1 0 0 0 0.625
1 0 0 1 0 0 0.5625
第 19 页
学科网（北京）股份有限公司1 0 0 0 1 0 0.53125
1 0 0 0 0 1 0.515625
0 1 1 0 0 0 0.375
0 1 0 1 0 0 0.3125
0 1 0 0 1 0 0.28125
0 1 0 0 0 1 0.265625
0 0 1 1 0 0 0.1875
0 0 1 0 1 0 0.15625
0 0 1 0 0 1 0.140625
0 0 0 1 1 0 0.09375
0 0 0 1 0 1 0.078125
0 0 0 0 1 1 0.046875
1 1 1 0 0 0 0.875
1 1 0 1 0 0 0.8125
1 1 0 0 1 0 0.78125
1 1 0 0 0 1 0.765625
1 0 1 1 0 0 0.6875
1 0 1 0 1 0 0.65625
1 0 1 0 0 1 0.640625
1 0 0 1 1 0 0.59375
1 0 0 1 0 1 0.578125
1 0 0 0 1 1 0.546875
0 1 1 1 0 0 0.4375
0 1 1 0 1 0 0.40625
0 1 1 0 0 1 0.390625
0 1 0 1 1 0 0.34375
0 1 0 1 0 1 0.328125
0 1 0 0 1 1 0.296875
第 20 页
学科网（北京）股份有限公司0 0 1 1 1 0 0.21875
0 0 1 1 0 1 0.203125
0 0 1 0 1 1 0.171875
0 0 0 1 1 1 0.109375
0 0 1 1 1 1 0.234375
0 1 0 1 1 1 0.359375
0 1 1 0 1 1 0.421875
0 1 1 1 0 1 0.453125
0 1 1 1 1 0 0.46875
1 0 0 1 1 1 0.609375
1 0 1 0 1 1 0.671875
1 0 1 1 0 1 0.703125
1 0 1 1 1 0 0.71875
1 1 0 0 1 1 0.796875
1 1 0 1 0 1 0.828125
1 1 0 1 1 0 0.84375
1 1 1 0 0 1 0.890625
1 1 1 0 1 0 0.90625
1 1 1 1 0 0 0.9375
0 1 1 1 1 1 0.484375
1 0 1 1 1 1 0.734375
1 1 0 1 1 1 0.859375
1 1 1 0 1 1 0.921875
1 1 1 1 0 1 0.953125
1 1 1 1 1 0 0.96875
1 1 1 1 1 1 0.984375
第 21 页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，D选项正确.
故选：BCD
31．7
【解析】
【分析】
由 ，设 前30项中有 个1，则有 个 ，有 个0，再根据 求得 值后可得结论．
【详解】
设 前30项中有 个1，因为 ，则有 个 ，其余的都是0，
所以 ，解得 ，因此0的个数是29－2×11＝7个．
故答案为：7．
32．
【解析】
【分析】
由勾股定理依次求解即可.
【详解】
由题意知： .
故答案为： .
33．
【解析】
【分析】
通过观察数列可知绝对值成等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，即可求解.
【详解】
由已知条件得数列的每一项的绝对值成首项为 ，公差为 的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，进而可推断
出通项公式为 ，则 ；
故答案为： .
34．119
【解析】
【分析】
根据所给数据，归纳数列变化规律求解即可.
【详解】
由已知，可得 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ．
第 22 页
学科网（北京）股份有限公司又 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：119
35．
【解析】
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式，再代入计算可得；
【详解】
解：不妨设数列为 ，则 ， ， ， ，
由此归纳得到 的一个通项公式为 ，
所以 ；
故答案为：
36．
【解析】
【分析】
根据 得出规律，进而预计第10年树的分枝数.
【详解】
因为 ，所以第 到第 年树的分枝数分别为：
故答案为：
37．
【解析】
【分析】
根据 ， ， ，递推出数列的规律求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
第 23 页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ， ，
…,
所以当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ，
所以 ，
所以 .
38． ，
【解析】
【分析】
根据题意，分析总结可得 ，利用累加法，结合等差数列求和公式，即可求得 表达式，代入数据，
即可得答案.
【详解】
由题意得： ，
所以
累加可得 ，
当n=1时， 满足上式，
所以 ，
所以
39．(1) 万元， 万元；
(2)证明见解析，至少12年；
(3) .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得 .
（2）利用凑配法证得 是等比数列，并求得 ，由 求得经过 年后达到或超过翻两番.
第 24 页
学科网（北京）股份有限公司（3）利用错位相减求和法求得 .
(1)
第 年后，资金为 万元，
第 年后，资金为 万元.
(2)
第 年后，资金为 ，
，
所以数列 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 ，
， ，
两边取以 为底的对数得 ，
，
即至少要 年.
(3)
，
，
，
两式相减得
第 25 页
学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
40．（1） ， ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入递推关系 中，可求得 ，将 代入递推关系，可求得 .
（2）设 ，根据递推关系可得 ，从而可得数列 是以2为公比的等比数
列，从而求出 的通项公式.
【详解】
（1） ,且
，
（2）由题可令：
又 ，
故数列 是以2为公比的等比数列，且首项-5
【点睛】
本题考查根据递推关系求数列的项和求通项公式，考查待定系数法，等比数列的通项公式的应用，属于中档题.
第 26 页
学科网（北京）股份有限公司第 27 页
学科网（北京）股份有限公司
