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专题 03 勾股定理的逆定理（四大题型）
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
【题型2：在网格中判断直角三角形】
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
1．（黑龙江省大庆市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）下列各组数中，能
作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．1，1，2 C．5，7，9 D．7，12，15
2．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）△ABC中，∠A，
∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列判断正确的是（ ）
A．如果∠C=∠A=∠B，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A:∠B:∠C=3:4:5，则△ABC是直角三角形
C．如果a:b:c=5:12:13，则△ABC是直角三角形
D．如果 ，则 是直角
(c+a)(c−a)=b2 ∠B
3．（24-25八年级上·福建福州·期末）下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，❑√2，❑√3 B．2，4，6 C．1，❑√7，8 D．32，42，52
4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将
它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．C． D．
5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知△ABC的三边为a、b、c，下列条件不能判定
△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=5 B．∠A+∠B=∠C
C．a2+b2=c2 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
6．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、
c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
a=6,b=8,c=10 (c+b)(c−b)=a2
C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．a=9,b=40,c=41
【题型2：在网格中判断直角三角形】
7．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均
为1，点A,B,C,D均在格点上.
(1)△ACD是直角三角形吗?请说明理由；
(2)求四边形ABCD的面积.8．（24-25八年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为
1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）．
(1)请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
(2)判断△ABC的形状并说明理由．
9．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点
A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并写出顶点C 的坐标；
1 1 1 1
(2)求出点B到AC的距离．
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的△ABC，若每个小方格的边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题．
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状？并说明理由．
11．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边
长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2❑√5，BC=❑√5．
(1)画出△ABC；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
12．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长
为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
(1)AB=________；AC=________；BC=________；
(2)求△ABC的面积；
(3)判断△ABC是什么形状，并说明理由．【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
13．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形ABCD中，AB⊥BC于点B，
AB=9，BC=12，CD=15，DA=15❑√2，求四边形ABCD的面积．
14．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）在四边形ABCD中，已知AB=3，AD=4，
CD=13，BC=12，且∠BAD=90°，求：四边形ABCD的面积．
15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=12，点
D为边AC的中点，点E在边BC上，连接DE．
(1)若DE=2❑√3，CE=4❑√3，求△CDE的面积；
(2)若AB=6，ED⊥AC，求CE的长．
16．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在四边形ABCD中，CD=4，AD=3，
AD⊥CD，AB=13，BC=12，若∠CAB=67.4°，求∠B的大小．17．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，
AD=12，CD=13，∠B=90°，请计算四边形ABCD的面积．
18．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，△ABD内有一点C，∠ACB=90°．已
知AC=3cm，BC=4cm，AD=13cm，DB=12cm，求图中阴影部分的面积S．
19．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，
AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．(1)请说明AD⊥BC；
(2)求△ABC的面积．
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
20．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场
地上铺上地胶．经过测量得知：∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，
AD=20m．
(1)判断∠D是不是直角，并说明理由；
(2)铺地胶每平米：30元，求四边形ABCD场地铺上地胶需要多钱？
21．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一
条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14m，DC=48m，AB=40m，CB=30m．
(1)求小路AC的长；
(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2m/s的速度在小
路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，
小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？
22．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路
线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A−B−D和A−C−D．已知AB=90米，
AC=150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由：
(2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：❑√5≈2.2）
23．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，
河边原有两个取水点A、B，其中AB=AC由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占H(A,H,B)在同一条直线上），并
修建一条路CH，测得CB=2.5千米，CH=2千米，HB=1.5千米，
(1)问CH是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．
24．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖
的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B
行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且
AB=100m，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号．
(1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
(2)若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？
25．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民
生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，
以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，
BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术
人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居
民从点A到点C将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
26．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中山路MN一侧有A,B两个送奶站，C
为中山路上一供奶站，测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠ACM=30°．
小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
27．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，
D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路AB，AD，BD，DC，已知
AB=20km，AD=12km，BD=16km，CD=30km．(1)通过计算说明公路BD是否与AD垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E
处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），
且DE⊥BC．若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互
通大道BC，DE的总费用．
28．（23-24八年级上·河南郑州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙
各有不同． 在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如
下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别
为a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理
的图形．
(1)如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
(2)一个零件的形状如图③，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得
这个零件各边尺寸（单位：cm）如图④所示，这个零件符合要求吗？
29．（22-23八年级下·江西赣州·期中）如图，某小区有一矩形（白色部分）休闲地方，在
它边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，
求空地（阴影部分）需要绿化部分的面积．
