文档内容
专题 03 实际问题与二次函数
目录
A题型建模・专项突破
题型一、增长率、销售问题......................................................................................................................................1
题型二、拱桥、投球、喷水问题..............................................................................................................................5
题型三、图形及图形运动问题................................................................................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、增长率、销售问题
1．（2025·贵州铜仁·三模）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴
头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504
个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，
则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
每个头盔应涨价多少元？
(3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
2．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，某主播小莉在直播间销售一种进价为每
件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元）满足一次函数关系，
它们的关系如图所示．
(1)当定价为_____元时，开始无人购买．
(2)设小莉每天的销售利润（快递费用不考虑）为 元，求 关于 的函数解析式．
(3)求当销售单价为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大利润．
3．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
(1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
(2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价
x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
4．最近，亳州市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统
计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到
3月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础
上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到
实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？
(3)在（2）的市场行情条件下，商家每月想获取更多的利润能否实现？若能，设每个头盔上涨 元，求当每
个头盔定价多少钱时商家每月获取利润最大．最大利润是多少？若不能，请说明理由．
题型二、拱桥、投球、喷水问题
5．（2025·河南驻马店·三模）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧
道底部宽 为 ，高 为 ．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为
的水平警示灯带．普通货车的高度大约为 （载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带
底部的距离应不少于 ．现以 中点 为原点， 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图
所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．
6．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线
的一部分，拱顶到桥面 的距离为 ，桥面 与河面 平行， ， ，以 为原点，
所E直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系．(1)求拱圈抛物线的函数关系式；
(2)一艘 高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）
(3)如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第 根与第
根吊杆的高度差为0.5米，求 的值．
7．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践
问题情境：
发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球
运动、如图，这是身高为 的小明同学站在距篮圈中心 的水平距离 处原地（不跳起）投篮的路
线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方 的点 处出手．当篮球飞行的水平距离
为 时，达到最高点，此时球离地面 ．已知篮圈高 为 ，现以篮圈中心所在铅垂线为 轴，
点 为原点建立平面直角坐标系．
数学思考：
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）．
深入探究：
(2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过 ，请解
决下面问题．
①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动
的距离．
②在①的条件下，体育老师（身高 ，向上伸出双手超过头顶 ）在小明正前方 处进行拦截，
求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来．
8．（2025·湖北武汉·二模）如图，斜坡 上种有若干树木，底部有一喷水管 ，某时刻从B处喷出的
水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点 ，点 ．已知喷
水管 及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ．
(1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)若 ， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重
合），抛物线恰好经过E，N两点．
①当 时，求 的长；
②直接写出M点横坐标m的取值范围．
题型三、图形及图形运动问题
9．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为 米的围墙 ，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡
场 ，已知木栏总长为 米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设 长
为x米．
(1)如图1，当 时，
① ________米（用含x的代数式表示）．
②若围成的养鸡场面积为 平方米，求 的长．
(2)如图2，当 时，求养鸡场可达到的最大面积．
10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为 的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，
墙长为 ．矩形 与矩形 的面积相等，矩形 与矩形 的面积相等．设 长为
长为 ，矩形 的面积为 ．
(1)直接写出 与x，z与 之间的函数关系式；
(2)当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？
(3)若需要对矩形 和矩形 区域进行装修改造，单价分别为64元 和40元 ．受资金投入
限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出 的取值范围．
11．（2025·吉林·二模）如图，在菱形 中， ， ．点P以每秒2个单位长度的速度从
点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作 ，交折线A→D→C于点Q，连接 ．设
点P运动的时间为x秒， 的面积为y（ ）．(1)当点Q与点D重合时，x＝______．
(2) 和 之间的距离为______．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
12．在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，
与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当
点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________ ， ________ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
(4)是否存在t的值，使 的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度 为8米时，拱顶 离水面4米．当水面上升2
米后，宽度变为（ ）．A．4米 B． 米 C． 米 D．6米
2．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间
（单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 ；
②小球运动的高度可以是25m；
③小球运动 时的高度大于运动 时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360
元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有
一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中
是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为 ，则铅
球掷出的水平距离 为 ．
5．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线
为 轴，过最高点 且垂直于地面的直线为 轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式
为： ，已知运动员出手点 距离最高点 的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水
平距离为 ．6．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线 、 为某抛物线的一部分，杯口 ，杯底
，且 ，杯深 ．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜 ，水面正好经过点B（即
）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确
的是 ．
①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为 ；②直线 的解析式为 ；③点P到杯口
的距离为 ；③点P到点D的距离为 ．
三、解答题
7．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6
月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相
同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在
此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月
销售量为y．
①直接写出y关于x的函数关系式；
②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？
8．如图1，在 中， ， ．点 以 的速度从点A出发沿 匀速运动到 ；
同时，点 以 的速度从点 出发沿 匀速运动到 ．两点同时开始运动，到达各自终点后停
止，设运动时间为 ， 的面积为 ．当点 在 上运动时，S与 的函数图象如图2所示．(1)求线段 的长和点 的运动速度 ；
(2)求 的面积为 关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象；
(3)当时间 在什么范围内变化时， 的面积为 的值不小于 ？请直接写出t的取值范围．
9．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼 如图
2，发石车发射点点 离地面高 米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形 ，墙宽
为 米，高 为 米，点 与点 的水平距离为 米，以发射点 的正下方 点为原点，地平线为 轴，
垂直于地面的直线为 轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线母以近似看作抛物线
．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为 米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部 上（包括点 ，C），求出 的取值范围．
10．如图①，某市规划了一座单孔拱桥，其桥梁主体是抛物线．设计者测得水面宽 为 ，为方便货
轮通行，桥面 离水面距离 需为 ，已知顶点与桥面距离 为顶点与水面距离 的 时，拱
桥结构最稳定．如图②，以拱架与水面接触点的连线为 轴，以拱架最高点所在的铅垂线为 轴，建立平
面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，拱架与桥面 之间均匀分布了23根拱索，求拱架中心右侧第三根拱索的长度；
(3)在（2）条件下，如图③，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，夏季最热时，拱架的顶点会上升
，拱索会随之伸长，其他季节不变，求夏季最热时，拱架中心右侧第三根拱索会伸长多少厘米．
11．（2025·山西长治·二模）综合与实践
小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种
型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的
看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相
关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A
距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上．
(1)数学建模
如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光
线距离地面的高度为 ，距墙面OA水平距离为 ，求y与x之间的函数关系式．
(2)问题解决
小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚
计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？
(3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度
距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值．
12．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为 的水池中的喷泉设施（如图①），综
合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点 的
正上方且竖直高度为 ，水流最高高度为 ，水流最高点距喷水管的水平距离为 ．
（1）以水池中心 为原点，水平向右方向为 轴正半轴，喷水管竖直向上方向为 轴正半轴，建立平面直
角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；
二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
（2）若将喷出的水流的最高点水平向外移 ，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为 ，
请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出
的水流所在抛物线的最高高度 与水平宽度 的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为
，喷水口离水面竖直高度为 ，喷出的水流的最高高度为 ．
（3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
