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专题 03 平方差和完全平方公式（六大类型）
【题型1 平方差公式运算】
【题型2 平方差公式的逆运算】
【题型3 平方差公式的几何背景】
【题型4 完全平方公式】
【题型5 完全平方公式下得几何背景】
【题型6 完全平方公式的逆运算】
【题型1 平方差公式运算】
1．（2023春•扶风县期末）计算：（m﹣5）（m+5）＝ ．
2．（2023春•蕉城区校级月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝ ．
3．（2023•红花岗区三模）已知x+y＝4，x﹣y＝9，则x2﹣y2＝ ．
4．（2023春•江州区期末）若x+y＝5，x﹣y＝1，则x2﹣y2＝ ．
5．（2022秋•河北区期末）计算982﹣99×97＝ ．
6．（2023春•盐都区期中）若m+n＝3，m﹣n＝4，则m2﹣n2＝ ．
7．（2023春•清苑区期末）若a2＝7，b2＝5，则（a+b）（a﹣b）的值为 ．
【题型2 平方差公式的逆运算】
8．（2023春•兴平市期末）已知a2﹣b2＝5，则（a+b）2（a﹣b）2＝ ．
9．（2023春•攸县期中）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y＝ ．
10．（2023春•本溪期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a+b的值是 ．
11．（2023 春•定边县校级期末）已知 a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则 4a+4b＝
．
12．（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值
是 ．
13．（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于 ．14．（2023春•东明县期末）若a+b＝4，a2﹣b2＝12，那么a﹣b的值是 ．
【题型3 平方差公式的几何背景】
15．（2023春•鄄城县期末）在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方
形（a＞b，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根
据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab
16．（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方
形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影
部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
17．（2023春•岑溪市期末）从边长为 a的正方形减掉一个边长为 b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 ．
（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．
（3）计算： ．18．（2023春•威宁县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣y2＝24，x+y＝8，求x﹣y的值；
（3）用简便方法计算：20222﹣2021×2023．19．（2022秋•罗定市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的
边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重
新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020．
20．（2023春•银川校级期末）如图（1），从边长为a的正方形中剪掉一个边
长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，如图（2）．
（1）上述操作能验证的等式是 .（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；B．a2﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）；C．a2﹣
2ab+b2＝（a﹣b）2．
（2）已知a2﹣b2＝28，a+b＝7，求 的值；
（3）运用你从（1）中选择的等式进行简便计算：9992﹣9982．21．（2023春•鄠邑区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b
的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ．请直接用含
1 2
a，b的代数式表示S ，S ；
1 2
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
【题型4 完全平方公式】
22．（2023春•普宁市期末）已知m﹣n＝3，则m2﹣2mn+n2＝ ．
23．（2023•道县一模）当m＝2n﹣3时，代数式m2﹣4mn+4n2＝ ．
24．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝ ．
25．（2023•青秀区校级模拟）若x+y＝1，则x2+2xy+y2＝ ．
26．（2023春•中原区校级期中）计算：（﹣2a+3）2＝ ．
27．（2023春•鹿城区期中）计算：（a﹣3）2＝ ．
28．（2022秋•杭锦后旗校级月考）已知x＝y+6，则x2﹣2xy+y2的值为 ．
29．（2022秋•塔城地区月考）计算：20192﹣4038×2018+20182＝ ．
30．（2022春•建邺区校级期末）已知（m+n）2＝7，（m﹣n）2＝3，则m2+n2
＝ ．
【题型5 完全平方公式下得几何背景】
31．（2023•裕华区三模）某小区有一正方形草坪 ABCD如图所示，小区物业现
对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加3米，AD边方向
的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（
）A．增加6平方米 B．增加9平方米
C．减少9平方米 D．保持不变
32．（2022秋•邻水县期末）如图，点 B是线段CG上一点，以BC，BE为边向
两边作正方形，面积分别是 S 和 S ，设 CG＝6，两个正方形的面积之和
1 2
S +S ＝16，则阴影部分△BCE的面积为（ ）
1 2
A．4 B．5 C．8 D．10
33．（2022秋•大足区期末）用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒
等式是（ ）
A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab
34．（2022秋•唐河县期末）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后
的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米2
35．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒
等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
36．（2023春•清远期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变
形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝ ；
②若2a﹣b＝3，ab＝2，则2a+b＝ ．
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，两个
正方形的边长分别是m和n，且AB＝8，如果这两个正方形的面积和S +S ＝
1 2
20，求△AFC的面积．
37．（2022秋•汉川市期末）如图 1是一个长为2x，宽为2y的长方形，按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的方式拼成一个
正方形．
（1）试用含x，y的式子表示图2中阴影部分的面积（要求：用两种不同的
方法）；
（2）若x+y＝5，xy＝3，求（x﹣y）2的值．
38．（2023春•济南期中）现有长与宽分别为 a、b的小长方形若干个，用两个
这样的小长方形拼成如图 1的图形，用四个相同的小长方形拼成图 2的图形，
请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图 1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用
含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ ；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，
设AB＝7，两正方形的面积和S +S ＝16，求图中阴影部分面积．
1 239．（2023春•蜀山区校级期中）在探究完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2
时，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝4，ab＝3，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
（1）若x﹣y＝10，xy＝﹣22，求x2+y2的值；
（2）将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，
其中点D在边CE上，连接AG，EG，若x+y＝14，xy＝32，求阴影部分的面
积．
【题型6 完全平方公式的逆运算】
40．（2022秋•克东县校级月考）若a+b＝5，ab＝4，则（a﹣b）2的值是 ．
41．（2022秋•海安市月考）已知m+n＝6，mn＝2，则（m﹣n）2＝ ．42．（2022秋•原州区校级期末）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝ ．
43．（2023春•鹿城区期中）已知m2+n2＝10，mn＝3，则m+n＝ ．
44．（2022秋•海淀区校级月考）已知a+b＝5，ab＝5，则a﹣b的值是 ．
45．（2022秋•滨城区校级期末）已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝
．
46．（2022秋•滑县校级期末）若a+b＝4，ab＝﹣3，则（a﹣b）2＝ ．
47．（2022秋•克什克腾旗期末）已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝11，则ab值
等于 ．
