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专题 03 实际问题与二次函数
目录
A题型建模・专项突破
题型一、增长率、销售问题......................................................................................................................................1
题型二、拱桥、投球、喷水问题..............................................................................................................................5
题型三、图形及图形运动问题................................................................................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、增长率、销售问题
1．（2025·贵州铜仁·三模）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴
头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504
个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，
则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
每个头盔应涨价多少元？
(3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌的每个头盔应涨价5元
(3)该品牌头盔每个涨价 元时，月销售利润最大，最大利润是6125元
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟
练掌握二次函数的性质．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，找出等量关系列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个应涨价 元，找出等量关系列出方程求解即可；
（3）设该品牌头盔每个涨价 元，利润为 元，列出 ，利用二次函数的性质求出最
值即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，
由题意得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价 元．
由题意，得 ，整理得 ，
解得 ， ．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌的每个头盔应涨价5元；
（3）解：设该品牌头盔每个涨价 元，利润为 元．
由题意得 ，
，
∴当 . 时，月销售利润最大，最大值为6125．
答：该品牌头盔每个涨价 元时，月销售利润最大，最大利润是6125元．
2．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，某主播小莉在直播间销售一种进价为每
件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元）满足一次函数关系，
它们的关系如图所示．
(1)当定价为_____元时，开始无人购买．
(2)设小莉每天的销售利润（快递费用不考虑）为 元，求 关于 的函数解析式．
(3)求当销售单价为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)30
(2)
(3)销售单价为20元时，利润有最大值为1000元
【分析】本题考查一次函数，求一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数，列出函数表达式，求二次
函数的最大值．
（1）由图像得出一次函数上两个点的坐标，求出解析式，无人购买时销售量 ，代入解析式求出对应
的 值；
（2）利润=单件利润 销售量，由进价和售价表示出单件利润，乘销售量，列出关系式，化简；
（3）将（2）中函数关系式化为顶点式，根据顶点式求出最大值．
【详解】（1）解：设 与 的函数关系为 ，
由图像可知点 ， 满足一次函数，代入得：，
解得： ，
一次函数解析式为 ，
无人购买时，销售量 ，代入得
，
解得 ，
即定价为30元时，开始无人购买；
答案为30；
（2） 商品进价为每件10元，
；
（3）由（2）可知 ，
当 时， 有最大值为1000，
即销售单价为20元时，利润有最大值为1000元．
3．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
(1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
(2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价
x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
【答案】(1)种植黄桃亩数的年平均增长率为
(2)① 与 之间的函数关系式为： ；
②销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元．
【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法和找到相等关系是解题
的关键．
（1）根据“2023年植黄桃100亩，到2025年种植了121亩”列方程求解；
（2）①根据待定系数法求解；
②根据题意列出函数解析式，再根据二次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为 ，根据题意得： ，
∴ 或 ，
解得： （不符合题意，舍去）．
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为 ；
（2）解：①设 与 之间的函数关系式为： ，
则 ，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为： ；
②设每天的销售利润为w，
由题意得： ，
∵ ，
∴当 时，利润最大，最大利润为1210，
答：销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元．
4．最近，亳州市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统
计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到
3月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础
上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到
实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？
(3)在（2）的市场行情条件下，商家每月想获取更多的利润能否实现？若能，设每个头盔上涨 元，求当每
个头盔定价多少钱时商家每月获取利润最大．最大利润是多少？若不能，请说明理由．
【答案】(1) ．
(2)该品牌头盔的实际售价应定为 元．
(3)当每个头盔定价 元时，商家每月获取利润最大．最大利润是 元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求
出结论．
（3）设利润为 ，则 ，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
答：该品牌头盔的实际售价应定为 元．
（3）设利润为 ，则
∴当 时，即定价为 元时， 最大，最大利润为 元．
答：当每个头盔定价 元时，商家每月获取利润最大．最大利润是 元．
题型二、拱桥、投球、喷水问题
5．（2025·河南驻马店·三模）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧
道底部宽 为 ，高 为 ．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为
的水平警示灯带．普通货车的高度大约为 （载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带
底部的距离应不少于 ．现以 中点 为原点， 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图
所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）由题意可得顶点 的坐标为 ， ，设抛物线的解析式为 ，利用待定系
数法解答即可求解；（ ）由题意可得悬挂点的纵坐标 ，即悬挂点的纵坐标的最小值是 ，把
代入（ ）所得函数解析式求出 的值进而即可求解；
本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，顶点 的坐标为 ， ，
设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线过 ，
，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，
∴悬挂点的纵坐标 ，即悬挂点的纵坐标的最小值是 ，
当 时， ，
解得 ，
∴灯带的最大安装长度是 ．
6．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线
的一部分，拱顶到桥面 的距离为 ，桥面 与河面 平行， ， ，以 为原点，
所E直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求拱圈抛物线的函数关系式；
(2)一艘 高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）
(3)如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第 根与第
根吊杆的高度差为0.5米，求 的值．
【答案】(1) 或者：
(2) 高的航船不能安全通过该拱桥，理由见解析
(3) 的值为3或4
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用；（1）据题意，抛物线顶点坐标为 ．设抛物线解析式为： ，再进一步求解即可；
（2）分别过点 作 ，垂足分别为 和 ．根据对称性可知，
．可 ，求解 ，进一步可得答案；
（3）由 ，可得从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上．①当 时，可得
，解方程即可，②当 时，根据抛物线的对称性求解即可．
【详解】（1）解：据题意，抛物线顶点坐标为 ．
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式，得
，
．
拱圈抛物线的函数关系式为： ．或者： ．
（2）解： 高的航船不能安全通过该拱桥，理由如下：
分别过点 作 ，垂足分别为 和 ．
根据对称性可知， ．
，
．
即 ．
这艘航船不能安全通过该拱桥．
（3）解： ，
从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上．
①当 时，解得， ．
即从左起第3根与第4根吊杆高度差为 米．
②当 时，
根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，
第4根与第5根的高度差也为 米．
，
综上所述， 的值为3或4．
7．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践
问题情境：
发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球
运动、如图，这是身高为 的小明同学站在距篮圈中心 的水平距离 处原地（不跳起）投篮的路
线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方 的点 处出手．当篮球飞行的水平距离
为 时，达到最高点，此时球离地面 ．已知篮圈高 为 ，现以篮圈中心所在铅垂线为 轴，
点 为原点建立平面直角坐标系．
数学思考：
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）．
深入探究：
(2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过 ，请解
决下面问题．
①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动
的距离．
②在①的条件下，体育老师（身高 ，向上伸出双手超过头顶 ）在小明正前方 处进行拦截，
求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来．
【答案】(1) ，篮球不能直接从篮圈的正中心投进，见解析；
(2)①他应该带球向正前方移动 投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入；②体育老师至少需要跳起
高才能将小明投出去的篮球拦截下来．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求抛物线的解析式，二次函数的图象平移规律，掌握相关知识点并
灵活运用是解题的关键；
（1）根据题意，求出抛物线的顶点坐标和点A的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；然后求得当时， 的值，即可判断篮球能否投进；
（2）①设小明带球向正前方移动 ，根据平移规律求出平移后抛物线的解析式，再代入点 ，解
方程求出 的值；②由①知小明移动后抛物线的函数表达式，然后计算 时，该抛物线的
值，再根据老师身高，双手超过头顶高度进行计算，作答即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为 ， ，
设该抛物线的解析式为 ，
抛物线经过点 ，
，解得 ，
该抛物线的函数表达式为 ．
当 时， ，
此时篮球不能直接从篮圈的正中心投进．
（2）解：①设小明带球向正前方移动 ，能使篮球直接从篮圈的正中心投入，
由题意可得移动后的抛物线为 ．
把点 代入得 ，
解得 或 ，
小明的活动范围不能超过 ，
，即小明应该带球向正前方移动 投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入．
②由①知小明移动后抛物线的函数表达式为 ．
∵小明移动后距篮圈中心 的水平距离为 ，体育老师在小明正前方 处进行拦截，
∴当 时， ，
，
体育老师至少需要跳起 高才能将小明投出去的篮球拦截下来．
8．（2025·湖北武汉·二模）如图，斜坡 上种有若干树木，底部有一喷水管 ，某时刻从B处喷出的
水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点 ，点 ．已知喷
水管 及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ．(1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)若 ， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重
合），抛物线恰好经过E，N两点．
①当 时，求 的长；
②直接写出M点横坐标m的取值范围．
【答案】(1) ，抛物线的顶点坐标为
(2) ；
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解直角三角形
等知识点．
（1）根据 ， 在抛物线上建立方程组求解b，c并将解析式整理成 的形式即
可得解；
（2）①先求出直线 的解解式，取 表示任意位置的小树高，令
解得M，N横坐标，即可求解；
②设 ，根据题意得到直线 与抛物线 在区间 上有两交点，m为靠
左一点的横坐标，注意到 ，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：①∵点 ， ，点C在x轴上，
∴ ，∵ ， ，
∴设直线 的解析式为 ，即 ，
解得： ，
故直线 的解析式为 ，
令d表示小树高，则 ，
，即 ，
，
整理得 ，
解得： ， ，
在 左侧，故 ， ，
；
②设 ，则 在 上有两解，且m为其中较小解，
即直线 与抛物线在 上有两交点，
当 时， ，
令 ，得 或 舍去 ，
，
又 ，
对称轴为直线 ，
为直线 与抛物线 两交点中靠左一点的横坐标，故 ，
综上， ．题型三、图形及图形运动问题
9．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为 米的围墙 ，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡
场 ，已知木栏总长为 米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设 长
为x米．
(1)如图1，当 时，
① ________米（用含x的代数式表示）．
②若围成的养鸡场面积为 平方米，求 的长．
(2)如图2，当 时，求养鸡场可达到的最大面积．
【答案】(1)① ② 米
(2) 平方米
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答；
根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值．
【详解】（1）解：①
② ，
解得 ， ．
，
的长为23米．
（2）解： ，
养鸡场 的面积 ．
，
．
当 时，养鸡场面积可以达到最大值 平方米．
10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为 的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，
墙长为 ．矩形 与矩形 的面积相等，矩形 与矩形 的面积相等．设 长为长为 ，矩形 的面积为 ．
(1)直接写出 与x，z与 之间的函数关系式；
(2)当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？
(3)若需要对矩形 和矩形 区域进行装修改造，单价分别为64元 和40元 ．受资金投入
限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)当 时， 有最大值，最大值是420
(3)
【分析】（1）根据题意得到 ， ，然后根据围栏的长度为
得到 ，进而得到 ，然后根据矩形的面积公式得到 ；
（2）首先将 配方成顶点式，然后求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）首先表示出矩形 的面积和矩形 的面积，设改造总费用为w，根据单价分别为64元
和40元 表示出 ，然后求出 时 ， ，进而求解即可．
【详解】（1）∵矩形 与矩形 的面积相等，矩形 与矩形 的面积相等，设 长为
， 长为
∴ ，
∵用一段长为 的围栏
∴
∴ ；
∴矩形 的面积 ；
（2）由（1）可得 ．
，即 ．抛物线的开口向下．
对称轴
当 时， 随 的增大而减小．
当 时， 有最大值，最大值是420．
（3）解：矩形 的面积为 ，矩形 的面积为
，
设改造总费用为w
∵单价分别为64元 和40元
∴
当 时，
整理得，
解得 ，
∵改造总费用不能超过11520元，且
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2025·吉林·二模）如图，在菱形 中， ， ．点P以每秒2个单位长度的速度从
点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作 ，交折线A→D→C于点Q，连接 ．设
点P运动的时间为x秒， 的面积为y（ ）．
(1)当点Q与点D重合时，x＝______．
(2) 和 之间的距离为______．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)1；
(2) ；
(3) （ ）； （ ）； （ ）
【分析】此题考查了动点问题，求函数解析式，菱形的性质等知识．（1）根据菱形的性质和含 角的直角三角形性质进行解答即可；
（2）根据（1）中的求解过程进行解答即可；
（3）按照x的范围分三种情况分别进行解答．
【详解】（1）解：当点Q与点D重合时，
如图，
∵在菱形 中， ， ．
∴ ．
∵过点P作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴
故答案为：
（2）由（1）得到， ，
∵在菱形 中，
∴ ，
∵ ，
即 和 之间的距离为 ；
故答案为：
（3）当 时，如图，
∵ ，
∴ ，如图，当 时，
∴ ；
如图，当 时，设 交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴
12．在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，
与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当
点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________ ， ________ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
(4)是否存在t的值，使 的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或2
(3)存在， 秒(4)存在，
【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；
（2）利用勾股定理得到方程 ，求解即可得到结果；
（3）根据长方形 的面积减去 的面积等于五边形 的面积，列出方程，然后求解即可得
到结果；
（4）根据（3）可知 的面积为 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意： ，
故答案为 ．
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ．
或2时， ；
（3）解：存在 秒，能够使得五边形 的面积等于 ．
理由如下：长方形 的面积是： ，
五边形 的面积 ，
，
即 ，
解得： （不合题意舍去）， ．
即当 秒时，使得五边形 的面积等于 ．
（4）解：由题意得 ，
，
当 时， 的面积最大．一、单选题
1．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度 为8米时，拱顶 离水面4米．当水面上升2
米后，宽度变为（ ）．
A．4米 B． 米 C． 米 D．6米
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以
过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为 ，由题意得，
，利用待定系数法可得到 ，再求出 时，x的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的
直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为 ，
由题意得， ，
把 代入到 中得： ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时，解得 ，
∵ ，
∴当水面上升2米后，宽度变为 米，
故选：B．
2．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间
（单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 ；②小球运动的高度可以是25m；
③小球运动 时的高度大于运动 时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题
的关键．
根据 时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动 时的高度，
运动 时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解．
【详解】解：当 时， ，
解得： 或 ，
∴小球从抛出到落地需要 ，正确，故①符合题意；
，由于 ，
∴当 时，小球运动的高度是20m，不可能为 ，故②错误，不符合题意；
当 时， ，当 时， ，
那么小球运动 时的高度等于运动 时的高度，故③错误，不符合题意，
∴正确的个数为1，
故选：B．
3．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360
元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有
一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①；
设定价增加 元，则定价为 元，房间数为 个，根据题意列出方程求解即可；设利润为
w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】结论①：定价增加30元，即定价为 元，
每增加10元，空闲房间数增加1个，
故增加30元对应空闲3个，居住房间数为 个，故①结论正确；
结论②：设定价增加 元，则定价为 元，房间数为 个．根据题意得，
解得 或 ．
当 时，对应定价为 元（超过360元上限），
∴ ，故②结论错误；
结论③：设利润为w，根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，
∵
∴
∴当 ，
∴最大利润为： 元，故③结论错误．
综上，仅结论①正确，正确个数为1．
选B．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关
键是掌握以上知识点．
二、填空题
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中
是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为 ，则铅
球掷出的水平距离 为 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次
函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得 ，代入 ，得出抛物线的解析
式为 ，令 ，求解即可，
【详解】解：由题意， ，
得 ，
将 代入 ，
得： ，解得： ，
∴ ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
∴ 为 ，
故答案为： ．
5．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线
为 轴，过最高点 且垂直于地面的直线为 轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式
为： ，已知运动员出手点 距离最高点 的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水
平距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将 代入 ，得出 ，结合题意，
即可求解．
【详解】解：将 代入 ，
，
解得： （舍去）
又∵运动员出手点 距离最高点 的水平距离为 ，
∴该运动员投掷标枪的水平距离为 米
故答案为： ．
6．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线 、 为某抛物线的一部分，杯口 ，杯底
，且 ，杯深 ．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜 ，水面正好经过点B（即
）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确
的是 ．
①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为 ；②直线 的解析式为 ；③点P到杯口
的距离为 ；③点P到点D的距离为 ．【答案】①②④
【分析】由题意可知， ， ， ， ，利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线
所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线 与 轴的交点为 ，证明 是等腰直角三角形，得到
，再利用待定系数法求出直线 的解析式，可判断②结论；联立直线和抛物线，求出 ，
可判断③④结论．
【详解】解：由题意可知， ， ， ， ，
设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为 ，
，解得： ，
玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为 ，①结论正确；
令直线 与 轴的交点为 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，②结论正确；联立 ，解得： 或 （舍），
，
点P到杯口 的距离为 ，③结论错误；
点P到点D的距离为 ，③结论正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的
判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
三、解答题
7．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6
月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相
同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在
此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月
销售量为y．
①直接写出y关于x的函数关系式；
②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？
【答案】(1)
(2)① ；②当 时，利润最大，最大值为12250元
【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；
②根据月销售利润 每个头盔的利润 月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a，
由题意可得 ，
解得 ， （舍去）
∴该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：①根据题意得：
．
②根据题意得：
．
∴当 元时，w取最大值12250元．8．如图1，在 中， ， ．点 以 的速度从点A出发沿 匀速运动到 ；
同时，点 以 的速度从点 出发沿 匀速运动到 ．两点同时开始运动，到达各自终点后停
止，设运动时间为 ， 的面积为 ．当点 在 上运动时，S与 的函数图象如图2所示．
(1)求线段 的长和点 的运动速度 ；
(2)求 的面积为 关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象；
(3)当时间 在什么范围内变化时， 的面积为 的值不小于 ？请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌
握全二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据 时， 从 点正好运动到 点，即可求出点 运动的速度 ，根据 时 ，求出
的长；
（2）分别求出当 时及当 时，函数的关系式，并补全图象即可；
（2）分2种情况 及 ，结合 ，利用图象法求解 的范围即可解答．
【详解】（1）解： 图2是点 在 上运动时， 与 的函数图象，
当 时， 从 点正好运动到 点，
，
，
根据题意得 ，，
，
；
（2）当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
补全图象如图所示：
（3）在二次函数 中，当 时，
，
解得， ， （舍去），
在一次函数 中，当 时，
，
解得 ，
在 时， 的面积为 的值不小于 ；
9．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼 如图
2，发石车发射点点 离地面高 米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形 ，墙宽
为 米，高 为 米，点 与点 的水平距离为 米，以发射点 的正下方 点为原点，地平线为 轴，垂直于地面的直线为 轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线母以近似看作抛物线
．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为 米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部 上（包括点 ，C），求出 的取值范围．
【答案】(1)① ；②能飞越
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用；
（1）①利用待定系数求函数解析式即可；
②将 代入，求出x值即可求解．
（2）求出过 ， 和 ， 的抛物线的解析式，即可得到a的取值范围．
【详解】（1）解：①由题意，
抛物线为 ，且石块在空中飞行的最大高度为 米，
，
把 代入 得： ，
解得 ，
所求抛物线的解析式为 ；
墙高为 米，
令 ，则 ，
解得 舍去 或 ，
又 墙宽 为 米，点 与点 的水平距离为 米，且 ，
石块能飞越防御墙；（2）解：由题意，得 ，
把 ， 代入得： ，
解得 ；
把 ， 代入解析式的： ，
解得： ．
若要使石块恰好落在防御墙顶部 上 包括端点 ， ，则 ．
10．如图①，某市规划了一座单孔拱桥，其桥梁主体是抛物线．设计者测得水面宽 为 ，为方便货
轮通行，桥面 离水面距离 需为 ，已知顶点与桥面距离 为顶点与水面距离 的 时，拱
桥结构最稳定．如图②，以拱架与水面接触点的连线为 轴，以拱架最高点所在的铅垂线为 轴，建立平
面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，拱架与桥面 之间均匀分布了23根拱索，求拱架中心右侧第三根拱索的长度；
(3)在（2）条件下，如图③，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，夏季最热时，拱架的顶点会上升
，拱索会随之伸长，其他季节不变，求夏季最热时，拱架中心右侧第三根拱索会伸长多少厘米．
【答案】(1)
(2)拱索长度为
(3)右侧第三根拱索会伸长
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
（1）由题意设抛物线解析式为 ，求出 ，然后代入求解即可；
（2）首先由 求出 ，然后将 代入解析式求解即可；
（3）设在夏季最热时拱架形状对应抛物线解析式为 ，然后将 代入得到①，由（1）知： ②，相减得到 ，然后将 代入两个
抛物线解析式表示出 ， ，进而求解即可．
【详解】（1）由题意设抛物线解析式为
由 ，
解得
将点 代入解析式得：
故抛物线解析式为 ．
（2）由题意 ，解得 ， ，
得 ，即每根拱索间水平距离为 ．
∴拱架中心右侧第三根拱索对应的横坐标为
代入解析式解得
故该拱索长度为 ．
（3）设在夏季最热时拱架形状对应抛物线解析式为
由题意此时函数顶点为 ，代入解析式得： ①
由（1）知： ②
得：
由（2）知：将 分别代入两个抛物线解析式得：
，
相减得
故右侧第三根拱索会伸长 ．
11．（2025·山西长治·二模）综合与实践
小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种
型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的
看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相
关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A
距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上．(1)数学建模
如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光
线距离地面的高度为 ，距墙面OA水平距离为 ，求y与x之间的函数关系式．
(2)问题解决
小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚
计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？
(3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度
距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）已知抛物线顶点坐标 ，根据抛物线顶点式 （其中 为顶点坐
标）设出抛物线解析式 ，然后因为点 在抛物线上，将点A的坐标代入所设解
析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式．
（2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令 ，代入（1）中求出的抛物线函数
关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨
度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量．
（3）令 ，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为 处的水平位置，
设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最
后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长．
【详解】（1）解：已知抛物线顶点 ，
设抛物线解析式为 ，
因为点 在抛物线上，把 代入 ，
可得： ，
解得 ，
所以y与x之间的函数关系式为 ．（2）解：因为抛物线关于对称轴 对称，
且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等，
令 ，则 ，
解得 ，
解得 ， ，即一盏灯的光照区域水平跨度为 ，
墙面长 ，则需要安装的射灯数量至少为 （盏）．
（3）解：令 ，则 ，
，
解得 ，
设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x，
则另一边长为 ，
矩形周长 ，
由抛物线对称性，设x到对称轴 的距离为t，即 ，则 ，
此时 ，矩形另一边 ，
矩形周长 ，
对于二次函数 ，其中 ， ，
根据二次函数顶点公式 ，
当 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶
点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键．
12．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为 的水池中的喷泉设施（如图①），综
合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点 的
正上方且竖直高度为 ，水流最高高度为 ，水流最高点距喷水管的水平距离为 ．
（1）以水池中心 为原点，水平向右方向为 轴正半轴，喷水管竖直向上方向为 轴正半轴，建立平面直
角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；
二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
（2）若将喷出的水流的最高点水平向外移 ，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为 ，
请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出
的水流所在抛物线的最高高度 与水平宽度 的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为
，喷水口离水面竖直高度为 ，喷出的水流的最高高度为 ．
（3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
【答案】（1） （2） m；（3） ，所设计的喷泉比较美观
【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数
的另一个值对应的x的取值，进而来判断t的取值范围，是解决本题的难点．
（1）设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 用待定系数法求解，再求出其与
轴交点，再求解即可；
（2）由将喷出的水流的最高点水平向外移 ，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为
，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将 代入，得
，再求解即可；
（3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将 分别代入
中，得 ，则有 ，解得 ，得 ，可得进
一步优化后抛物线的函数表达式为 ，当 时， ，解得
，
求得 接近黄金比0.618，再求解即可．
【详解】解：（1）由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为 ，
设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
将（0，2.25）代入，得 ，解得 ，
原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
令 ，得 ，
解得 （不符合题意，舍去）．
喷泉水流到喷水管的最大水平距离为
（2） 将喷出的水流的最高点水平向外移 ，高度不变，
优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为 ，
设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
将 代入，得 ，
解得 ，
优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
当 时， ，
优化后喷水口的竖直高度为
（3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为
将 分别代入 中，
得
①， ②，
，
② ①，得 ，
解得 （负值已舍去），
代入①，得 ，
进一步优化后抛物线的函数表达式为 ，
当 时， ，
解得 ，，
接近黄金比0.618，
所设计的喷泉比较美观．
