文档内容
专题03 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）
题型一 等腰三角形的定义
题型二 等边对等角并证明
题型三 三线合一
题型四 根据三线合一证明
题型五 格点图中画等腰三角形
题型六 找出图中的等腰三角形
题型七 根据等角对等边证明等腰三角形
题型八 根据等角对等边证明边相等
题型九 根据等角对等边求边长
题型十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点
题型十一 作等腰三角形
题型十二 等腰三角形的性质与判定
题型十三 三角形边角的不等关系
题型十四 等边三角形的性质
题型十五 等边三角形的判定
题型十六 等边三角形的判定和性质综合
1、等腰三角形
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角
叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）性质
①两腰相等
②两底角相等（简称等边对等角）
③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）
④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。
证明题目中的写法：
①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD
（3）等腰三角形的构造
（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形
①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形
（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形
如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形
（3）“角平分线+中线”构造等腰三角形
如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形
（4）“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示
(5)“平行+等腰”构造等腰三角形
已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线
等腰三角形的判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）
总结：等边三角形
（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。
（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°
（3）判定：
①三条边都相等的三角形是做等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。
总结：
① 等腰三角形和等边三角形对比
图形 等腰三角形 等边三角形
性
② 等腰三角形和等边三角形的判定
两条边都相等 三条边都相等
两个角都相等 三个角都相等，且都是60º
底边上的中线、高和顶角的平分线互 每一边上的中线、高和这一边所对的角
质
相重合 的平分线互相重合
对称轴（1条） 对称轴（3条）图形 等腰三角形 等边三角形
三条边都相等的三角形是等边三角
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
形
判
定
三个角都相等的三角形是等边三角
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
形
等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【经典例题一 等腰三角形的定义】
【例1】在下列条件中，不能判定 为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． ， D．
1．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ），点 在坐标平面内，以 ， ，
为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成 ，则此等腰三角形的顶角是 ．
3．已知 ， ， 是 的三边长．
(1)若 ， ， 满足 ，则 的形状为 ；
(2)若 ， ， 满足 ，试判断 的形状；
(3)化简： ．【经典例题二 等边对等角并证明】
【例2】如图，在 中，过点C作 于点D，且 ，过点B作 于点M，连接
，过点D作 ，交 于点 与 交于点E．以下结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
1．如图，在 中，过点C作 于点D，且 ，过点B作 于点M，连接 ，
过点D作 ，交 于点 与 交于点E．以下结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在 中， 的垂直平分线 与 的垂直平分线 交于点 ，垂足分别为 ， ，连接
， ， ，若 ，则 °．
3．如图， 为等腰直角三角形， ，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【经典例题三 三线合一】
【例3】如图， 中， ， ， 是 边上的中线，且 ，则 的
大小为（ ）
A． B． C． D．
1．如图， 、 分别是 的中线和角平分线，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，等腰 底边 ，面积为12，腰 的垂直平分线 分别交 ， 于F，E．点D为
的中点，点M为线段 上一动点，则 的周长的最小值为 ．
3．如图，在 中， ，点 为 的中点，边 的垂直平分线交 ， ， 于点 ， ，，连接 、 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
【经典例题四 根据三线合一证明】
【例4】如图， ，平行线间有一点C，使得 平分 ， 平分 ，连接 交 于
点E．若E为 的中点，且 ,则 等于（ ）
A． B． C． D．
1．如图， 中， ， ， 的平分线 交 于点 ， 平分 ．下
列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
2．如图， ，D是 中点，点E是 延长线上一点， ，交 延长线于F，连接 ，且 ．有下列结论：① 平分 ；② ；③ ；④
平分 ，其中正确的是 （只填写序号）
3．在 中， ，点 在 上，点 在 上，连接 ， ， ．
(1)如图1，求证： 平分 ；
(2)如图2，过点 作 ， ，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等
的直角三角形．
【经典例题五 格点图中画等腰三角形】
【例5】如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角
形是等腰三角形的格点C的位置有（ ）.
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
1．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且
是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标
为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的
点C有 个．
3．如图，在 的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．
(1)如图1，画出一条线段 ，使． ，且点C在格点上；
(2)如图2，画两线段 ，使 是等腰直角三角形，且点C在格点上；
(3)如图3，画线段 ，使它垂直平分线段AB，且点E，点F都在格点上．【经典例题六 找出图中的等腰三角形】
【例6】如图，在 中，点 、 在 上， ， ，且 ，则图中等腰三
角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
1．如图，在 中， ， ，点 在 的垂直平分线 上， 平分 ，则
图中等腰三角形的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在 中，已知边 的垂直平分线与边 的垂直平分线交于点 ，连接 ，则
图中有 个等腰三角形．
3．如图，在 中， ，点 在 上，且 ，求：(1)图中有哪些等腰三角形？
(2) 各角的度数．
【经典例题七 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例7】已知 中， 为边 上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断 是等腰三角
形的是( )
A． B． C． D．
1．在 中，已知 ， ， 分别是 ， ， 的对边，则下列条件中，不能判定 是等腰
三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． ， D．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图， ， 为 ， 的中点， ， ，则
的长为 ．
3．如图，在 中， ， 与 的平分线相交于点 ，延长 交 于点 ，
过点 作 交 于 ，作 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求证： ．【经典例题八 根据等角对等边证明边相等】
【例8】如图， ，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点A，D，再以点A
为圆心， 长为半径画弧，与弧 交于点B，连接 、 ， 的延长线交 于点C，若 ，
则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1．如图，在 中， ，边 的垂直平分线交 于 ，点 在 上， ，连接
， ，则 的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．12
2．如图，已知 ． 与 的平分线 ， 交于点O，过点O作 ，交 ，
于点M，N．若 ， ，则 的周长= ．
3．在梯形 中， ，连接 ，且 ，在对角线 上取点 ，使 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 平分 ，且 ，求 的长．
【经典例题九 根据等角对等边求边长】
【例9】如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于点E，交 于点
F，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
1．如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于点E，交 于点F，若
， ，则 的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．2．如图，在 中， ， 和 的平分线分别交 于点 、 ，若， ，
， ，则 ．
3．如图，已知在 中， 厘米， 厘米，点D为 的中点，点P在线段 上以3
厘米/秒如果点P在线段 上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 上由C点向
A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经一秒后，三角形 与三角形 是否全等，请说明理
由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够使三角形 与三角
形 全等？
【经典例题十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】
【例10】如图．在 中， ， ．点P为直线 上一动点，若点P与 三个
顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个1．在平面直角坐标系中，已知 ， ，若点 在坐标轴上，且 为等腰三角形，则满足条
件的点 的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为 ，在x轴上取一点C使 为
等腰三角形，符合条件的C点有 个．
3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)， ，在坐标轴上找点 ，使 构成等腰三
角形．
(1)这样的等腰三角形有______个；
(2)直接写出分别以 、 为顶角时所有符合条件的点 的坐标．【经典例题十一 作等腰三角形】
【例11】以下尺规作图能得到 平分 的是（ ）
A．只有① B．只有② C．①② D．①②③
1．如图，已知直线 ，线段 分别与直线m，n相交于点 、点 ，以点 为圆心，AB的长为半径
画弧交直线 于点 、点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．60°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，
连接CD，则∠ACD的度数是 ．
3．在如图的三角形中，若 ，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一
个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线．【经典例题十二 等腰三角形的性质与判定】
【例12】如图， 中， 为中线，点 为 上一点， ， 交于点 ，且 若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
1．如图，在 中， ， ， 于点 ， 于点 ，交 于点 ．
若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．如图， ， 、 、 分别平分 的外角 、内角 、外角 ，
以下结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确
的结论有 ．3．（1）问题发现：如图①， 和 都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接 ．
① 的度数为 ；
②线段 之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②， 和 都是等腰直角三角形、 ，点B、D、E在同
一条直线上， 为 中 边上的高，连接 ，试求 的度数及判断线段 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③， 和 都是等腰三角形， ，点B、D，E在同一条
直线上，请直接写出 的度数．
【经典例题十三 三角形边角的不等关系】
【例13】已知锐角 ，如图．
（1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB；
（2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C；
（3）连接BC，AC．作射线OC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．若 ，则C．OB垂直平分AC D．
1．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（ ）
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
2．如图，已知等边三角形 的边长是 ，且高 ，P为 上一动点，D为 的中点，
则 的最小值为 ．
3．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝
4，Q是射线PE上的动点．
(1)求证： ：
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
【经典例题十四 等边三角形的性质】
【例14】如图， 是等边三角形， 是 边上的高，点E是 边的中点，点P是 上的一个动
点，当 最小时， 的度数是（ ）．A． B． C． D．
1．如图，在 中， ，以 为边在 外作等边 ，过点 作 ，垂足为
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．如图，在 中， ，以 为边在 外作等边 ，过点 作 ．若
， ，则 ．
3．如图，在等边 中，点 分别在边 上，且 ， 与 相交于点 ，
于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【经典例题十五 等边三角形的判定】
【例15】已知 的三边分别为 、 、 ，且 则 为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
1．有下列三角形：①有两个角等于60°（则第三个角也为60°．）；②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角
形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2．在 中， ， ，点 在边AB上，连接CD．给出下列四种说法：
①当 时， 一定为等边三角形；
②当 时， 一定为等边三角形；
③当 是等腰三角形时， 一定为等边三角形；
④当 是等腰三角形时， 一定为等腰三角形．
其中正确的说法是 ．（填序号）
3．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若 ，求m和n的值
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ；问题：若 的三边长 都是正整数，且满足 ，请问 是什么
形状？
【经典例题十六 等边三角形的判定和性质综合】
【例16】如图，在 中， 平分 分别为边 上一点，且
，若当 的最小值为5时，则 的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
1．如图，已知 和 均是等边三角形，点 ， ， 在同一条直线上， 与 相交于点 ，
与 交于点 ， 与 相交于点 ，连接 ， ，有下列结论：① ；② 平分
；③ ；④ ，其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点P、M、N分别在等边三角形 的各边上，且 于点P， 于点M，
于点N，若 ，则 的长为 ．
3．如图1，等边 中，点D在 上，点E在 上，连接 ， 交于点F， ．
(1)求 的度数；
(2)如图2，连接 ，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，将 沿 翻折交 于点G，过点C作 的垂线交直线 于点H，若
，求 的长．
1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，正确说法的个数有（ ）
①三个角对应相等的两个三角形全等；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直
线对称的两个三角形一定是全等三角形；④一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图， 中， ， ， 的平分线与
的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，直线 ， 的顶点A在直线 上， ， ，
分别交直线 于点 和点 ，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知 ，点 在 上， 与 交于点 ．
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，C为线段 上一动点（不与A，E重合），在 同侧
分别作等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连接 ，
则有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的
有（ ）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
6．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图， 是等边三角形，高 ，P为 上一动点，E
为 的中点，则 的最小值为 ．
7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在 中， ， ，分别以点A和点C为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 ，交 于点D，连接 ，则 的度
数为 ．
8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形 的边长为3，过 边上一点P作
于点 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于点M，则 的长为 ．
9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形 中， ，已知
的平分线与线段 的垂直平分线交于点O，点C沿 折叠后与点O 重合，则 的度数是 ．10．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图， 是 延长线上的一点， ，动点
从点 出发，沿 以 的速度移动，动点 从点 出发，沿 以 的速度移动．如果点
同时出发，用 表示移动的时间，那么当 时， 是等腰三角形．
11．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）已知在 中， ．
(1)求m的取值范围；
(2)若 是等腰三角形，求 的周长．
12．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且
， 与 相交于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．13．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构
造全等三角形来解决问题．
(1)如图（1）， 是 的中线，且 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，可证得
，其中判定两个三角形全等的依据为________．
(2)如图（2），在 中，点 在 上，且 ，过 作 ，且 ．求证： 平分
．
14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，且
与 相交于点 ，过 作 ，分别交AB、 于 、 ．
(1)试判断 、 、CF之间的关系，并说明理由；
(2)若 的周长比 的周长大 ， 到AB的距离为 ， 的面积为________．15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ， 分别垂直平分 和 ，交
于 ， 两点， 与 相交于点 ．
(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)若 ，则 的度数为 ；（用含 的代数式表示）
(3)连接 、 、 ， 的周长为 ， 的周长为 ，求 的长．
