文档内容
专题04三角形经典大题重难点题型中线（7大题型）
题型一 三角形的三边关系
题型二 与三角形的高有关的计算问题
题型三 根据三角形中线求长度、面积
题型四 三角形的内角
题型五 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型六 三角形的外角
题型七 多边形及其内角和
【经典例题一 三角形的三边关系】
1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 的三边长是 ．
(1)若 ，且三角形的周长是小于22的偶数，求 的值；
(2)化简 ．
2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知 是三角形的三边长．
(1)化简： ；
(2) 满足 ，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知a、b、c是三角形的三边长
(1)化简 ．
(2)若 ．求（1）中式子的值．4．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（ ）满足 ，
则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角
形为“不均衡三角形”．
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）
①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6
(2)已知“不均衡三角形”三边分别为 ，求出所有符合条件的x的整数值．
5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数
边三角形是指三边长度都是整数的三角形），
问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结
论。
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.
按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为 ，有1个，所以总共有 个整数边三角形，
表①：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1 1 1个1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边，
当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为 ，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，
记为 ，有1个，所以总共有 个整数边三角形. 表②：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
2 1 1 2个12 1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1
3 2 ， 2 2个2
3 1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④：
（最长边长，
最长边 计算方
最短边长 最短边长，第 整数边三角形个数 算式
长 式
三边长）
1 (4,1,4) 1
(4,2,3),
2 2
(4,2,4)
4 3个2 2×3
(4,3,3),
3 2
(4,3,4)
4 (4,4,4) 1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：表⑤：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1
2 ， 2
5 3
4 ， 2
5 1
问题解决：（1）最长边长为6的整数边三角形有 个；
（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形
个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数；
（3）最长边长为128的整数边三角形有 个；
拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个.
【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】
6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知 ， 与 相交于点 ．
(1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由；
(2)如果 ， ，垂足分别为 、 ， ，求 的值．
7．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，点 和 满足 ，现同时将点 ，
分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点 ， 的对应点分别为点 ， ，连接
， ， ．(1)求点 A， B的坐标；
(2)若 轴上存在点 ，使 面积等于四边形 的面积，求点 的坐标；
(3)点 从点 出发，沿 轴以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，过点 作 的垂线，交 于点
，当点 到达点 时，整个运动过程随之结束．时间为 秒，若线段 将四边形 的面积分成
两部分，请直接写出 的值
8．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)当 ， ， 时，求点 到直线 的距离．
9．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，
其中 满足关系式 ．(1)求 的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，那么请用含 的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点 ，使四边形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，其中a、
b满足 ．
(1)求a、b的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含m的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，当 时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形 的面积与 的面积
相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题三 根据三角形中线求长度、面积】
11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】
如图1， 是 中 边上的中线， 与 的面积相等吗？请说明理由，【应用】
如图2，点A、B、C分别是 、 、 的中点，且 ，则图2中阴影部分的面积为 ；
【拓展】
（1）如图3， 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ，延长 至点
E，使得 ，连接 、 、 ，如果 ，那么 为 ．
（2）如图4， 中， ， ，点D、E是 、 边上的中点， 、 交于点F．若
的面积为S，则四边形 面积为 （用含S的代数式表示）；四边形 的面积存在最大值，
这个值为 ．12．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1， 是等腰直角三角形， ， 为 的中点，
，则 ________；
（2）如图2， 是直角三角形， ， 为 的中点， ， ，
则 ________；
（3）如图3，在 中， 为 的中点， ， ，则 ________．
13．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形 内作一条直线将它分成面积相
等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1， 是 的中线，试判断： _________ （请填 “ ”、“ ”或“ ”）；
（2）如图2， ，试判断： _________ （请填“ ”、“ ”或“ ”）；【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形 内作一条直线将它分成面积相
等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线 ，②作 交 的延长
线于 ；③取 的中点 ，则直线 为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说
理过程补充完整：
∵ ，
∴ _________（由问题2的结论得）
∴ _________，
即 _________，
∵ 是 的中点，
∴ _________（由问题1的结论得）
∴ 平分 的面积，即 平分四边形 的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线 和 ；②取
的中点 ，③连接 、 ；④过点 作 的平行线与四边形 的边 交点于 ，则直线
则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．14．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ， ， 分别为 边
上的高和中线，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 和 的周长之差；
(3)若 为 边的三等分点，连接 ，与 交于 点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的值．
15．（16-17七年级·北京西城·期中）如图，已知 ， 分别是 的高和中线， ，
， ， ．试求：
(1) 的长；
(2) 的面积；
(3) 和 的周长差．
【经典例题四 三角形的内角】
16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的
度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角
的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)若一个“梦想三角形”有一个角为 ，则它的最小内角的度数为_________；
(2)如图1，已知 ，在射线 上取一点 ，过点 作 交 于点 ，以 为端点作
射线 ，交线段 于点 （点 不与 重合），若 ，判定 、 是否是“梦想
三角形”，为什么？
(3)如图2，点 在 的边上，连接 ，作 的平分线交 于点 ，在 上取一点 ，使得
， ．若 是“梦想三角形”，且 ，求 的度数．
17．（23-24七年级下·江苏常州·期中）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是 ”，进行了一系列探究，
过程如下∶
(1)[论证]如图1，延长 至点 ，过点 作 ，就可以说明 成立，即：三
角形的内角和为 ．请完成上述说理过程．
(2)[应用]如图2，在 中， 的平分线与 的角平分线交于点 ，过点 作 ， 在
射线 上，且 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．
① 设 ，则 ________（用含 的代数式表示）；
② 的度数为________．
(3)[拓展]如图3，在 中， ， ，过点 作 ，直线 与 相交于
点右侧的点 ， ． 绕点 以每秒 的速度逆时针方向旋转，同时 绕点 以每秒的速度顺时针方向旋转，当 第一次与 重合后，立刻再绕着点 以原速度逆时针方向旋转至出发位
置运动全部停止．设运动时间为 秒 ．在旋转过程中，当 的值为多少时， 与 的一边平行？
请直接写出 的值．
18．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们
称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 中，如果 ，
，那么 与 互为“友爱角”， 为“友爱三角形”.
(1)如图1， 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ）， ．
①求 、 的度数．
②若 是 中 边上的高，则 、 都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图2，在 中， ， ，D是边 上一点（不与点A，B重合），连接 ，若
是“友爱三角形”，直接写出 的度数．
19．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在 中， 分别是 ， 的平分
线， 分别是 ， 的平分线．(1)当 ， 时， ________， ________，
(2)若 ，求 ， 的度数；
(3)请你猜想，当 的大小变化时， 的值是否变化？请说明理由．
20．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点 、 分别在 的边 、 上运动（不与点 重
合）， 是 的平分线， 的反向延长线交 的平分线于点 ．
(1)如图（1）当 ， 时， ．
(2)如图（2）当 时， ．
(3)在解题过程中，你认为 与 是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．
【经典例题五 与角平分线有关的三角形内角和问题】
21．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在 中， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)求 的度数；
(3)探究：小明认为如果不知道 与 的具体度数，只知道 ，也能得出 的度数，你
认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写
出求解过程；若不可以，请说明理由．22．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，连接 、
，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的度数；
(3)作 与 的角平分线交于点 ，探究 、 的数量关系，并证明你的结论．
23．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在 中， 平分 ．
(1)如图①，若 于点D， ，求 的度数；
(2)如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图②，在线段 上任取一点P，过点P作 于点D，请尝试写出 之间的数量
关系，并说明理由．24．（23-24八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线 上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，若 的平分线交于点C，则 _______；
(2)如图2，若 的平分线交于点C，则 ________；
(3)如图2，若 的外角 的平分线交于点D，求 与 之间的数量
关系，并求出 的度数．
25．（23-24七年级下·广东深圳·期中）【基础探究】
（1）如图1， ，点E是 上的点，点P是 和 之间的一点，连接 、 ．若 ，
，请你求出 的度数；
（2）如图2， ， 的平分线与 的平分线交于点G，当 时，则 的
度数为 ；（3）如图3， ，点A、点C分别是 、 上的点，点B和点F是 和 之间的点，连接
、 、 、 ．若 ， ， 、 分别平分 、 ，则 的度数为
；
【问题迁移】
（4）如图4，在 中， ， 、 分别平分 、 ．则 ；
【拓展深化】
如图，在 中，D、E是 、 上的点，设 ， ．
（5）如图5， 、 分别平分 、 ．用含m、n的式子表示 的度数为 ；【经典例题六 三角形的外角】
26．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知， ，点 为射线 上一点．
(1)如图 ，若 ， ，则 _____ ；
(2)如图 ，当点 在 延长线上时，此时 与 交于点 ，则 之间满足怎样的
关系，请说明你的结论：
(3)如图 ， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且 ， ，
求 的度数．
27．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1， ，点A，B分别在 的边 ，
上（不与点O重合）.
(1)若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点D.则 的度数为_______.(2)如图2，若 ， ，求 的度数.
(3)如图3，若将“ ”改为“ （ ）”， ，
，求 的度数（用含 ，n的代数式表示）.
28．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
(1)【习题回顾】如图1，在 中， ， 是角平分线， 是高， 、 相交于点F．
求证： ；
(2)【变式思考】如图2，在 中， ， 是 边上的高，若 的外角 的平分线
交 的延长线于点F，其反向延长线与 边的延长线交于点E，若 ，求 和 的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在 中，在 上存在一点D，使得 ，角平分线 交 于点
F． 的外角 的平分线所在直线MN与 的延长线交于点M，若 ，求 的度数．
29．（23-24七年级下·广东江门·期中）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很
多数学问题，请你解答：(1)如图1， 和 具有怎样的数量关系？请直接写出______；
(2)如图2， 的平分线与 的平分线相交于点Q，求 的大小；
(3)如图3，点P是线段 上的动点（不与A，D重合），连接 、 ， 的值是否变化？
如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
30．（23-24七年级下·重庆·期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发
现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关．
测量数据如下表：
测量 和度数
测量工具 量角器
示意图 与 的平分线交于点
测量数据 第一次
第二次第三次
第四次
… …
(1)通过以上测量数据，请你写出 与 的数量关系： ；
(2)如图2， 的平分线交于点 ，当 时，求 的度数；
(3)如图3，在 中，若 与 的平分线交于点 ，请猜想 与 的数量关系，并进行证
明．
【经典例题七 多边形及其内角和】
31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角
线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从 点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条 1 2 3 4 5 ……数
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中 ______， ______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有 个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共
要比赛多少场．
32．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图
（1）， 、 是五边形 的对角线．思考下列问题：
(1)如图（2）， 边形 中，过顶点 可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点 可以画 条对
角线，过顶点 可以画 条对角线．
(2)过顶点 的对角线与过顶点 的对角线有相同的吗？过顶点 的对角线与过顶点 的对角线有相同的
吗？
(3)在此基础上，你能发现 边形的对角线条数的规律吗？
33．（23-24七年级下·江苏南通·期中）学习小组发现一个结论：已知直线 ，若直线 ，则 ．
他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线 ，点E在 之间，点P、Q分别在直线 上，连接 ．
(1)如图1，运用上述结论，探究 之间的数量关系．并说明理由；
(2)如图2， 平分 平分 ，当 时，求 的度数；
(3)如图3，若点E在 的下方， 平分 平分 的反向延长线交 于点F，当
时，请求出 的度数．
34．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形．
(1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角 ，则 ______ ， ______ ，
______ ．
(2)按此规律，记正 边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为 ，请用含 的式子表示 ______（其
中 为不小于4的整数）．
(3)若 ，求相应的正多边形的边数 ．35．（23-24七年级下·山东淄博·期中） 中， ，点D，E分别是 边 ， 上的
点，点P是一动点．设 ， ， ．
(1)若点P在线段 上，如图（1）所示，且 ，则 ___________°；
(2)若点P在线段 上运动，如图（2）所示，则 ， ， 三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边 的延长线上，如图（3）所示，则 ， ， 三者之间有何关系？请写出你的猜
想并说明理由；
(4)若点P运动到 外且在直线 的上方、直线 的左侧范围内运动时，请探究 ， ， 之间
的关系（画图并直接写出结果）．
