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第三篇 思想方法篇
思想01 函数与方程思想（练）
一、单选题
1．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知随机变量 （i＝1，2）的分布列如表所示：
0
p
其中 ，若 ，且 ，则（ ）A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
2．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）设 、 为单位向量，非零向量 ， ，
若 、 的夹角为 ，则 的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．1
3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图， 中， ， 为 的中点，将 沿
折叠成三棱锥 ，则该棱锥体积最大值为（ ）A． B．
C． D．
4．（2023·贵州毕节·统考一模）给出下列命题：
①函数 恰有两个零点；
②若函数 在 上的最小值为4，则 ；
③若函数 满足 ，则 ；
④若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京·统考模拟预测）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的正弦值的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
7.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知直线 与圆
相切，若函数 ，满足 ，对于任意的 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
8．（2023·陕西西安·统考一模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
.则下列结论正确的个数是（ ）
① ；
②若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是 ；
③若方程 恰有3个实数根，则 的取值范围是 ；
④函数 在区间 上的最大值为 ，若 ，使得 成立，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在C上，P为C上的一个动
点，则（ ）
A．C的准线方程为 B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的周长的最小值为11 D．在x轴上存在点E，使得 为钝角
10．（2023·湖南·模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为4
C．当 时， D．当 时，
12．（2023·吉林·统考二模）如图，正四棱柱 中， ，动点P满足
，且 .则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点P的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
三、填空题
13．（2023·全国·校联考模拟预测）已知实数a，b，m，n满足 ， ，则
的最小值为________．
14．（2023·吉林·统考一模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值为
________．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线 的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时
总有B，P，Q三点共线，则 的最大值为____________.
16．（2023·全国·模拟预测）已知数列 中， ， ，设 ，且数列 的前
n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为______.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，问是否存在正整数 ，使得
对一切 恒成立？若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理
由．
18.（2023·山东菏泽·统考一模）如图，椭圆 的焦点分别为 为椭
圆 上一点， 的面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上方， 在下方，且均不
与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且 ，求 面积的最大值.
19.（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况
发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为 ， ， ．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问
大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据 ， ）
20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封
装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发
展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪
光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募
人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为
，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所
选的题全部答完后再判断是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为 ，请判断是否存在唯一的 值 ，使得 ？并说明理由．
21．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知抛物线 ，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，
分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
(1)求点P的轨迹方程；(2)若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令 的面积为 ，四边形PRFQ面积为 ，求 的最小值．
22．（2023·安徽宿州·统考一模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为
，M为椭圆上异于左右顶点的动点， 的周长为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求 的面积
的取值范围.
