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专题 05 二次函数中线段最值的三种考法
类型一、单线段转化为二次函数最值问题
例．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为
，与y轴交于点C，点 在抛物线上；
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 周长最小，若存在，求出P点的坐标及
周长的最小值；
(3)若点M是直线 下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段 交于点
N，求线段 的最大值．
【变式训练1】如图，已知抛物线 ： ，抛物线 与 关于点 中心对称，
与 相交于A，B两点，点M在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线
上，也位于点A和点B之间，且 轴．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)求线段 长度的最大值．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，且
经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线 的解析式为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线 上方的抛物线上的一点，过点P作 轴于M，交 于Q，求
的最大值；
(3)当 取最大值时，求 的面积．
类型二、将军饮马型最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，点 是点 关于 轴的对称点．
(1)求抛物线与直线 的解析式；
(2)点 为直线 上方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点 的坐标．
(3)在（2）的条件下，当 的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点 ，在
上有一动点 ，且 ，求 的最小值；【变式训练1】如图，已知抛物线 与x轴相交于 、 两点，并与直线
交于 、 两点，其中点 是直线 与 轴的交点，连接 ．
(1)求 、 两点坐标以及抛物线的解析式；
(2)证明： 为直角三角形；
(3)求抛物线的顶点 的坐标，并求出四边形 的面积；
(4)在抛物线的对称轴上有一点 ，当 周长的最小时，直接写出点 的坐标．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于
， 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点 是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，
是否存在点M、N使四边形 的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、胡不归最值问题
例．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点
的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交
于点 ．依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．
【变式训练1】如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，
且一次函数 的图象经过点 ．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点
的左侧．这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标：
如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象
与 轴交于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线
下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？
【变式训练2】已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点
，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
(2)如图1，点P是抛物线上位于直线 下方的一动点，连接 与 相交于点E，已知
，求点E的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接 ．
求 的最小值．
【变式训练3】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点
， ，
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)点 为抛物线上位于直线 下方的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标；
(3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图1，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（ ）．
①当 时，求此时四边形 的面积；
②如图2，过点P作 轴于点D，作 轴于点E，当 时，求t的值；
③如图3，连接 ，过点P作 于点D，求线段 的长的最大值，并求出点P的
坐标．
2．已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，直线
经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)填空： _________， _________， _________；
(2)如图1，连接 ， ， ，若 是以 为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线 上方的抛物线上，过点P作 ，垂足为Q，求的最大值．
3．如图，在平面直角坐标系中， 绕原点O逆时针旋转 得到 ，其中点A的
坐标为 ．
(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数 经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出
P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
