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专题 05 二次函数中线段最值的三种考法
类型一、单线段转化为二次函数最值问题
例．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为
，与y轴交于点C，点 在抛物线上；
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 周长最小，若存在，求出P点的坐标及
周长的最小值；
(3)若点M是直线 下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段 交于点
N，求线段 的最大值．
【答案】(1)
(2) ,
(3)
【分析】（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接 交函数对称轴于点P，则点P为所求
点，求出直线 的表达式，进一步即可求解；
（3）先求出直线 解析式，设N横坐标为x，用含x的代数式表示线段 ，再利用二
次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点 、 代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2） ，令 ，则 ,
解得 或 ，
令 ，则 ，故点B、C的坐标分别为： 、 ；
函数的对称轴为直线 ，
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接 交函数对称轴于点P，则点P为所求点，
设直线 的表达式为 ，
将点D、B的坐标代入一次函数表达式 得：
，
解得： ，
故BD的函数表达式为 ，
当 时， ，即点 ，
此时 周长的最小值 ；
（3）如图，
设直线 的解析式是 ，
把点 ， 代入 中
，
解得 ，
∴直线 解析式为 ．设N横坐标为x，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴
对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式．
【变式训练1】如图，已知抛物线 ： ，抛物线 与 关于点 中心对称，
与 相交于A，B两点，点M在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线
上，也位于点A和点B之间，且 轴．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)求线段 长度的最大值．
【答案】(1) ；(2)8
【分析】（1）先求出抛物线 ： 的顶点坐标为 ，然后求出点 关于
对称后的点坐标为 ，再抛物线 的解析式为： ；
（2）先求出A、B两点横坐标分别为 和 ，设 ， 其中
，则 ，求出最大值即可．
【详解】（1）解：抛物线 ： 的顶点坐标为 ，
点 关于 对称后的点坐标为 ，
∵抛物线 与抛物线 关于 成中心对称，
∴抛物线 的解析式为： ．（2）解：∵抛物线 ： 与 ： 交于A、B，
∴令 ，
解得： 或 ，
则A、B两点横坐标分别为 和 ，
设 ， ，其中 ，
则 ，
∴当 时， 最大为8．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关
键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最
大值．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，且
经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线 的解析式为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线 上方的抛物线上的一点，过点P作 轴于M，交 于Q，求
的最大值；
(3)当 取最大值时，求 的面积．
【答案】(1) ；(2)1；(3)2
【分析】（1）先求出A、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标 ，再利用
待定系数法求解即可；
（2）设 ，则 ，则 ，由二次函数
的性质求解即可；
（3）根据 ， 进行求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ，∵抛物线 关于直线 对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，
∴ ，
∴可设抛物线解析式为 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：设 ，则 ，
∴
，
∵ ，∴当 时， 最大，最大值为1；
（3）解：由（2）得当 最大时， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；
灵活运用所学知识是解题的关键．
类型二、将军饮马型最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，点 是点 关于 轴的对称点．
(1)求抛物线与直线 的解析式；
(2)点 为直线 上方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点 的坐标．
(3)在（2）的条件下，当 的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点 ，在
上有一动点 ，且 ，求 的最小值；【答案】(1)抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ；
(2)点 的坐标为( ， )；
(3) 的最小值为 ；
【分析】（1）抛物线 与 轴交于 ， 、 ， 两点，由两点式即
可得到抛物线的解析式，求得点 的坐标，利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，求得直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， ，求得PE关于m
的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作点 关于直线 的对称点 ，求得点 的坐标为 ， ，过点 作直线
的垂线 ，垂足为 ，交直线 于点 ，则 的最小值为 的长，证明
，利用相似三角形的性质即可求解；
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 ， 、 ， 两点，
抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
点 ， ，
点 是点 关于 轴的对称点，
点 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ；
（2）解：过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，的面积 ，
当 取得最大值时， 的面积有最大值，
同理求得直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， ，
，
，
当 时， 有最大值， 的面积有最大值，
此时点 的坐标为 ， ；
（3）解：抛物线 的对称轴为直线 ，
作点 关于直线 的对称点 ，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，
过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，交直线 于点 ，
此时 ，根据垂线段最短知 的最小值为 的长，
过点 作 轴交直线 于点 ，
则点 的坐标为 ， ，，
， ， ， ，
， ，
，
轴，
，
，
，即 ，
，
的最小值为 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判
定和性质，平移的性质，熟练掌握所学知识并能够灵活运用是解题的关键．
【变式训练1】如图，已知抛物线 与x轴相交于 、 两点，并与直线
交于 、 两点，其中点 是直线 与 轴的交点，连接 ．
(1)求 、 两点坐标以及抛物线的解析式；
(2)证明： 为直角三角形；
(3)求抛物线的顶点 的坐标，并求出四边形 的面积；
(4)在抛物线的对称轴上有一点 ，当 周长的最小时，直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)证明见解析
(3) ，(4)
【分析】（1）先由直线 与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再
将其代入 列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形；
（3）连接 ，根据 进行求解即可；
（4）因为 的长为定值，所以当 的值最小时，则 的周长最小，当点P与
点E重合时， 的值最小，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：在直线 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）证明：在 中，当 时，则 ，
解得 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；（3）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的顶点 的坐标是 ；
如图1，连接 ，
∴ ，
∴四边形 的面积是 ．
（4）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为 ．
如图，设抛物线的对称轴 ： 与直线 交于点E，
点P是直线 上的点，连接 ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 为定值，
∴当 的值最小时， 的周长最小．∵ ，
∴当点P与点E重合时， ，
∴此时 最小．
∵直线 ，
当 时， ，
∴ ，
∴当 的周长最小时，点P的坐标为 ．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求
函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方
法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于
， 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点 是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，
是否存在点M、N使四边形 的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)D的坐标为 或
(4) ，
【分析】（1）把 ， 分别代入 ，利用待定系数法求解；
（2）过点P作 交 于点H，根据 得到 关于点P的横坐标
的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；
（3）由 可知：要使 与 相似，则有 或 ，
分别求解即可；
（4）作点E关于y轴的对称点 ，作点 关于x轴的对称点 ，由轴对称的性质可
得四边形 的周长 ，可知当 ， ，
M，N在一条直线上时，四边形 的周长取最小值，直线 与x轴、y轴的交点即为
点M、N，由此可解．
【详解】（1）解：把 ， 分别代入 得：
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：如图，过点P作 交 于点H，
令 ，得 ，∴ ，
∴设直线 的表达式为： ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，
即 面积的最大值为 ；
（3）解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
要使 与 相似，则有 或 ，
①当 时， ，
解得 ，
则 ，
∴ ；
② 当 时， ，
则 ，
∴ ，
即D的坐标为 或 ；
（4）解： ，
∵E为抛物线的顶点，
∴ ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
如图，作点E关于y轴的对称点 ，作点F关于x轴的对称点 ，由轴对称的性质可知 ， ，
∴四边形 的周长 ，
∴当 ， ，M，N在一条直线上时，四边形 的周长取最小值，
因此，直线 与x轴、y轴的交点即为点M、N，
设直线 的解析式为： ，将 ， 代入，
得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ；
当 时， ，
∴ ， ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知
识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用
轴对称的性质找出点M和点N的位置．类型三、胡不归最值问题
例．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点
的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交
于点 ．依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 ， 的最小值为
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到 ，得到当 三点共线时，
的值最小，为 的长，求出直线 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点
的坐标，两点间的距离公式求出 的长，即为 的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将
的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ，
∴点 为 ；
（2）当 时， ，∴ ，连接 ，∵ ，∴ ，
∵点 关于对称轴的对称点为点 ，∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长，
设直线 的解析式为： ，则： ，解得： ，∴ ，
∵点 在抛物线的对称轴上，∴ ；∴点 ， 的最小值为 ；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示，
∵ ，
设抛物线的解析式为： ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则： ，
由（2）知：直线 ： ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，此时 ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以
及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【变式训练1】如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，
且一次函数 的图象经过点 ．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点
的左侧．这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标：
如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象
与 轴交于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线
下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有
最大值，最大值是多少？
【答案】(1) ，
(2)满足条件的E、F两点存在， ， ，
(3)当 时， 的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使
， ，连接 、 ，证明 ，得出
， ，则 同理可得， ；②以 为正方形的对
角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四边形
为正方形，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明，得出 ，在 中， ，解得
或4，进而即可求解；
（3）得出 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，则 ，
点 在抛物线 上，且横坐标为 得出 ，进而可得
，则 ，
根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入
得
解得
∴
把 代入 得
∴
（2）满足条件的 、 两点存在， ， ，
解：①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使
， ，连接 、 .过点 作 轴于 .
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
同理可得，
②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相
等，则四边形 为正方形，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点
∵ ，
又
∴
∴ ，
∵
∴
∴
在 中，
∴
解得 或4
当 时， ，此时点 在点 右侧故舍去；当 时， .
综上所述： ， ，
（3）∵ 向右平移8个单位长度得到抛物线
当 ，即
解得：
∴ ，
∵ 过 ， ， 三点
∴
在直线 下方的抛物线 上任取一点 ，作 轴交 于点 ，过点 作 轴
于点
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵ ，
∴
又
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵点 在抛物线 上，且横坐标为
∴∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练2】已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点
，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
(2)如图1，点P是抛物线上位于直线 下方的一动点，连接 与 相交于点E，已知
，求点E的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接 ．
求 的最小值．
【答案】(1) ，
(2)点E的坐标为： 或(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，则 ，由 ，得到
，进而求解；
（3）过点B作 于点H，则 ，则此时
为最小，进而求解．
【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于 两点，
∴设抛物线的解析式为 ，
把点 代入得， ，
解得，
故抛物线的表达式为： ；
（2）连接 ,
∵ ，则 ，
过点A作 轴交 于点N，过点P作 轴交 于点H，
则 ，
则 ，
设直线 的表达式为 ，
把 代入得： ，
解得， ，
∴直线 的表达式为： ，
当 时， ， ，
则 ，设点 ，则点 ，
则 ，
解得： 或2，
即点 或 ，
同理，由点A、P的坐标得，直线 的表达式为： 或 ，
联立 和 得： ，
解得： ，则点 ；
联立 和 得： ，
解得： ，则点 ，
即点E的坐标为： 或 ；
（3）连接 ，
由点D的坐标 知， ，
则 ，则 ，
过点B作 于点H，
则 ，
则此时 为最小，
则 ，
则 ，则 ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相
似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏【变式训练3】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点
， ，
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)点 为抛物线上位于直线 下方的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标；
(3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最
小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)解析式为 ，顶点 的坐标为
(2)点 的坐标为
(3)最小值为
【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点 的坐标，求解即可；
（2）作 轴，交 于点 ，通过设 和 的坐标，利用“割补法”表示出 ，
从而利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）将直线 绕着 点逆时针旋转 ，并过点 作其垂线，垂足为 ，分别连接 ，
， ，构造出含 角的直角三角形，然后转换为求 得最小值，继而确定当
、 、 三点共线时，满足 取得最小值，此时利用含 角的直角三角形的性
质分段求解再相加即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为 ，其中 ，
∵ ，∴点 的坐标为 ，
将 代入 ，解得： ，∴ ，∴抛物线的解析式为 ，
∵对称轴为直线 ，∴将 代入 ，得： ，
∴顶点 的坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，∴直线 的解析式为： ，
∵点 在抛物线上，且位于直线 下方，∴设 ，其中， ，
如图所示，作 轴，交 于点 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
整理可得： ，其中 ，
∵ ，∴当 时， 取得最大值，
将 代入 ，得： ，∴此时点 的坐标为 ；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如下图所示，将直线 绕着 点逆时针旋转 ，并过点 作其垂线，垂足为 ，
分别连接 ， ， ，则 ， ，∴在 中， ，
∴随着 点的运动，总有 ，∴ ，
要使得 取得最小值，即要使得 取得最小值，
如下图，当 、 、 三点共线时，满足 取得最小值，
此时， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 存在最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型
构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面
积问题是解题关键．
课后训练
1．如图1，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（ ）．
①当 时，求此时四边形 的面积；
②如图2，过点P作 轴于点D，作 轴于点E，当 时，求t的值；
③如图3，连接 ，过点P作 于点D，求线段 的长的最大值，并求出点P的
坐标．
【答案】(1)
(2)① ② ③ ，
【分析】（1）根据抛物线与 轴的两个交点坐标，直接利用两点式写出函数解析式即可；
（2）①先求出点 的坐标，利用四边形 的面积 ，进行求解即可；②根
据题意，可得此时 点坐标为 ，代入抛物线解析式，进行求解即可；③过点 作
轴，交 于点 ，推出 ，进而得到当 最大时， 的值最
大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ，则：抛物线的解析式为： ，
即： ；
（2）①∵ ，当 时， ，当 时， ，
∴当 时， 点坐标为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
则：四边形 的面积
；
②∵ 轴于点D， 轴于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： （负值已舍掉），
∴ ；
③设直线 的解析式为 ，
则： ，解得： ，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的值最大为2，此时 ，
∵ ， 轴，
∴ ，
又 ，
∴ ，
在 中， ，
∴当 最大时， 值最大，
∵ 的最大值为2，
∴ 值最大为 ，此时 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进
行求解，是解题的关键．属于中考常考压轴题．2．已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，直线
经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)填空： _________， _________， _________；
(2)如图1，连接 ， ， ，若 是以 为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线 上方的抛物线上，过点P作 ，垂足为Q，求
的最大值．
【答案】(1) ， ，3；
(2)
(3)
【分析】（1）分别把 代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作 轴于点 ，根据题意可得 ，从而得到
， ，再根据 ，可求出m，即可求解；
（3）作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ，则
，再根据 ，可得 ，
，然后根据 ，可得 ，从而得到
，在根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 在抛物线 上，∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， （舍），
∴ ．
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ．
故答案为： ， ，3；
（2）如图，作 轴于点 ，
对于 ，令x=0，则y=-6，
∴点 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵点P的横坐标为m．
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （舍）， ，
∴ ，
∴点 ．
（3）如图，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴点 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值是 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角
形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
3．如图，在平面直角坐标系中， 绕原点O逆时针旋转 得到 ，其中点A的
坐标为 ．
(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数 经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴 上是否存在一点P，使得 最小？若P点
存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质结合点A的坐标、 的长度，即可找出 的值，进
而即可得出点B、C的坐标；（2）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（3）根据抛物线的对称性可得知：连接 交对称轴于点P，点P是所求的点．利用二次
函数的性质可找出抛物线对称轴为直线 ，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求
出直线 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵ 绕原点O逆时针旋转 得到 ，点A的坐标为
，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．
故答案为： ； ．
（2）将 代入 ，得：
，
解得： ，
∴该二次函数的解析式为 ．
（3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接 交对称轴于点P，则点P是所求的点．
∵ ，
∴对称轴为直线 ，
∴P点的横坐标为1．
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，解得： ，∴直线 的解析式为 ，
∴当 时， ，∴点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、旋转的性质以及轴对称中最
短路径问题，解题的关键是：（1）根据旋转的性质求出的值；（2）根据点的坐标，利用
待定系数法求出二次函数解析式；（3）利用两点之间线段最短，确定点P的位置．
