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专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道）
【选取全国各地区最新题型】
【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数，且 ）经过点
，下列结论： ；②该抛物线的对称轴为直线 ；③若点
都在该抛物线上，则 ；④关于x的方程 的解为 .其中正确的个数有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，直线
与抛物线都经过点 ．下列说法：① ；② ；③若 与 是抛物线上
的两个点，则 ；④方程 的两根为 ， ；⑤当 时，函数
有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·湖北鄂州·模拟预测）如图，二次函数 （ ）的图象关于直线 对称，则下
列结论正确的是（ ）A．
B．若抛物线与x轴交于 ， 两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的对称轴
为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 ， 之间（不含端点），则
下列结论正确的有多少个（ ）
① ；
② ；
③ ；
④若方程 两根为 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，且 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现
给以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点，与 轴的正半轴交于点 ，顶点为 ，则下列结论：① ；② ；③当
是等腰三角形时， 的值有 个；④当 是直角三角形时， 的值有 个；其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024·湖北恩施·二模）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为 ，且经过
点 ．下列说法：
① ；
② ；
③ ；
④若 ， 是抛物线上的两点，则 ；
⑤ （其中 ）．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线 （ ）与x轴交于点 ， ，其中
，下列四个结论：① ；② ；③ ；④不等式 的解
集为 .其中正确结论的是（ ）A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线 交 轴于点 ， 对称
轴为 ，与 轴的另一个交点为 ， 为抛物线的顶点．下列结论：
；② ；③ ；④ ；⑤若 是等腰直角三角形，
则 ．其中结论正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于
， 两点．若 ，则下列四个结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数 图像的一部分，对称轴为直线 ，
则下列结论中正确的是（ ）A．
B．
C．当 时，
D．若 ， ， 在该函数图像上，则
13．（2024·江苏常州·二模）如图，二次函数 的图像过点 ，抛物线的对称轴是
直线 ，顶点在第一象限，给出下列结论：① ；② ；③ ；④若 、
（其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中， 的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
14．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 ( 、 、 为常数，且 )的图象顶
点为 ，经过点 ；有以下结论：① ；② ；③ ；④ 时， 随 的增大而增大；⑤对于任意实数 ，总有 ，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线 交x轴于 ， ，交y轴负半
轴于点C，顶点为D，下列结论：① ；② ；③若方程 的两根分别为m，
n，则 ；④当 是等腰直角三角形时， ；⑤抛物线上有两点 、 ，且
，若 ，则 ．正确的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
16．（2024·四川广元·二模）如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线
对称， 则下列五个结论∶ ① ； ② ； ③ ；④ (m为任
意实数)；⑤ ．其中结论正确的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．（2024·山东菏泽·一模）如图是二次函数 图象的一部分， 是对称轴，且经过点
．有下列判断∶① ；② ；③ ；④若 是抛物
线上两点，则 ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．③④
18．（2024·湖南永州·二模）如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，直线 轴，且交
抛物线于点 ， ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若实数 ，则 D．当 时，
19．（2024·广西钦州·二模）如图所示，二次函数 （ ， ， 常数， ）的图象与 轴交于点 ．有下列结论：① ；②若点 和 均在抛物线上，则 ；
③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2024·新疆喀什·三模）如图，二次函数 图象的顶点为D，其图象与x轴的交点
A、B的横坐标分别为 ，3．与y轴负半轴交于点C，在下面结论中：
① ；
② ；
③当 时， ；
④若 ，且 ，则 ．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线 经过 ， 两点，且
．下列四个结论：① ；② ；③当 时，y随x的增大而减小；④方程
必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）．
22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 （ ）．图象的顶点为 ，
其图象与 轴的交点 的横坐标分别为 ，下面四个结论： ； ； 只有当时， 是等腰直角三角形； 使 为等腰三角形的 的值可以有三个．那么，其中正确的
结论是 ．（只填你认为正确结论的序号）
注：二次函数 （ ）图象的顶点坐标为
23．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个
交点坐标为 ，其部分图像如图所示，有下列结论：
①当 时，则 ，② ， ③当 时， x的取值范围是 ， ④当
时， 有 ．
其中正确结论的序号为 ．
24．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象开口向上，对称轴
为直线 ， 为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是 ．（填序号）；② ； （ 是一个常数）；④若 ，则 ．
25．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数 （ ， ， 均为常数，且 ）的图像经
过点 ，点 ，则下列结论：
① ；
② ；
③若点 ， 在抛物线上，若 ，则 ；
④若关于 的方程 没有实数根，则 ．
其中结论正确的序号是 ．
26．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线 （a，c是常数且 ， ）经过点
．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点 ；
② ；
③若点 ， 在该抛物线上， ，则 的取值范围为 ：
④若 是方程 的两个根，其中 ，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
27．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数 （ ， 为常数且 ）经过 ，
且 ，下列结论： ； ； 若关于 的方程 有整数解，则符合
条件的 的值有 个； 当 时，二次函数的最大值为 ，则 .
其中一定正确的有 .（填序号即可）
28．（23-24九年级上·山东青岛·期末）二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：① ；②方程 （ ）必有一个根大于2且小于3；③若 ，
是抛物线上的两点，那么 ；④ ；⑤对于任意实数 ，都有 ，其
中正确的结论是 ．
29．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象过点 ，
， ，且交 轴的正半轴于点 ，下列结论： ； ； 若直线
与抛物线只有一个公共点 ，则 ； 抛物线上的两点 ， ， 在
的左边，若 ，则 ； ，请将所有正确的序号填在横线上 ．
30．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数 （ 为常数， ）的图象开口
向下，与 轴交于 和 ，且 ．有下列结论：① ；② ；③若方程
有两个不相等的实数根，则 ；④当 时，若方程 有四个
根，则这四个根的和为 ，其中，正确结论的
31．（23-24九年级上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）二次函数 的部分图象如图，图
象过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③当 时， 的值随 值的
增大而增大；④当函数值 时，自变量 的取值范围是 或 ；⑤若 ，为函数图象上的两点，则 ；⑥ （ 的实数）．其中正确的结论
是 （填写正确结论的序号）．
32．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为
其中 ，与x轴的一个交点位于 和 之间，则下列结论：
① ；
② ；
③若该抛物线经过点 ， ，则
④若关于x的一元二次方程 无实数根，则 ．
其中正确的结论是 ．(只填序号)
33．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，二次函数 的图像的对称轴是
直线 ，且经过点 ．有下列结论：① ；② ；③ （ 为常数）；
④ 和 时函数值相等；⑤若 ， ， 在该函数图像上，则 ；⑥
．其中错误的结论是 （填序号）．34．（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）若抛物线 过点 和 两点，且顶点
在第二象限．
（1）若该抛物线的对称轴 ，则 ．
（2）设 ，则P的取值范围是 ．
35．（2023·广东广州·二模）已知二次函数 满足：（1） ； （2） ；
（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
36．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线
的顶点在线段 上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），给出下列
结论：① ；②当 时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小
值为 ；④当四边形 为平行四边形时， ．其中正确的是 ．
37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）抛物线 的最低点为 ，其中 ，抛物线
与x轴交于点 ，则下列结论中，正确的结论有 ．
① ；② ；③ ；④关于x的方程 有两个不相等实数根．
38．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，二次函数 （ ）的图象过点 ，且
与x轴相交于 ， 两点，其中 ， ．现给出以下结论：① ；②；③ ；④方程 的解为 ， ．其中正确的是 ．
（写出所有正确结论的序号）
39．（23-24九年级上·湖北咸宁·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标
为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x 和x，
1 2
且x＜x，则﹣5＜x＜x＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的
1 2 1 2
是 ．
40．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线 经过点
（-1，-4），则下列结论：① ② ③若点 在抛物线上，则 ④关
于 的一元二次方程 的两根为-5和-1 ⑤ ，其中正确的有 ．
41．（23-24·四川·一模）已知二次函数 的对称轴是直线 ，图像如图所示．给出下面五个结论：① ；② ；③ ；④ 为实数，且 ；⑤
．其中正确的有 写出所有正确结论的序号 ．
42．（19-20九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图是二次函数 ， ， 是常数， 图像
的一部分，与 轴的交点 在 和 之间，对称轴是直线 ．对于下列说法：① ；②
；③ ；④ 为实数）；⑤当 时， ．其中正确的是 ．（填
序号）
43．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线 的顶点坐标为 ，且与x轴
的一个交点在点 和 之间．下列结论：① ；② ；③ ；④一元二
次方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是 ．
44．（23-24·四川绵阳·一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象
如图所示，对于此抛物线有如下四个结论： ac 0； 9a+3b+c 0； 若m n 0，则x＝1+m时的函数
① > ② > ③ > >
值大于x＝1﹣n时的函数值； 点（﹣ ，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有
④
正确结论的序号）．45．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，函数 的图象过点 和 ，下列判断：
① ；
② ；
③ ；
④ 和 处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．
