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第 05 讲 二次函数压轴专题
课程标准 学习目标
1. 能通过二次函数的图像与系数的关系解决二次函数
选择填空的压轴题目。
①二次函数的图像与系数之间的关系
2. 能够利用二次函数的顶点式求实际问题中的最值问
②二次函数的最值问题
题。以及三角形四边形的面积最值问题。
③二次函数的存在性问题
3. 利用二次函数与几何的关系，解决二次函数中的存
在性问题。
知识点01 二次函数的图像与系数的关系
1. 与开口方向的关系。
2. 对称轴与 的关系；对称轴在 轴左边或右边与 的符号的关系；对称轴与±1的关系可得
以及 的关系。
3. 函数与 轴交点坐标与 的关系。4. 函数与 轴的交点个数与 的关系。
5. 是自变量为 的函数值， 是自变量为 的函数值。
是自变量为 的函数值， 是自变量为 的函数值。
是自变量为 的函数值， 是自变量为 的函数值。
【即学即练1】
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【即学即练2】
2．如图，根据二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象得到如下结论：① abc＞0 ② 2a﹣b＝0 ③ a+b+c＝0
④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x ，使得ax +bx ＞a﹣b成立．上
0 0
述结论，正确的是（ ）
A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤
【即学即练3】
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b+c＜0；③
4a+2b+c＝0；④2a﹣b＝0；⑤ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练4】
4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
①abc＞0；
②a﹣b+c＜0；
③ ；
④8a+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点02 二次函数的最值问题
1. 求线段最值问题：
2. 求图形的面积最值问题：
将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。
【即学即练1】
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝3x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为
对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（ ）
第5题 第6题
A．2 B．4 C． D．
【即学即练2】
6．如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在
矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy＝ ，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达
点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．
【即学即练4】
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不
与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【即学即练5】
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，点P，Q分别是线段AD，BC上的点，BQ＝2AP，过点P作PR∥AB交BD于R，记y表示△PRQ的面积，x表示线段AP的长度．如果
在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°，那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，
写出表示变量y与x关系的关系式．
（3）当x＝ 时，y取得最大值 ．
【即学即练6】
10．如图，抛物线 与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C（0，4），
点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式：（2）如图1，若PQ⊥AC，垂足为Q，当PQ的长度为最大值时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若PQ⊥AC，垂足为Q，且AQ＝3PQ，求此时点P的坐标．
知识点03 二次函数的存在性问题
1. 存在等腰三角形：
设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式表示出三角形的三边，分别选取其中两边为腰，利用腰相
等建立方程求解。
2. 存在直角三角形：
设出所求点的坐标，利用两点之间的距离公式表示出三角形的三边的平方，在利用各自为斜边的平方等于两直角边的平方的和建立方程求解。
3. 存在平行四边形：
设出所求点的坐标，结合已知点讨论各自为对角线时的情况。利用中点坐标公式，平行四边形对角线
的性质——相互平分建立方程求解。即两条对角线两边端点求得的中点坐标相等。
【即学即练1】
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，
0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在线段EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交
抛物线于点N，使四边形CEMN是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求出点P的坐标，并求出△PAB
面积的最大值．
【即学即练2】
12．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B
（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4．
（1）请分别求出k，m，a，b的值；
（2）如图2，点Q是线段BC上一点，且 ，点M是y轴上一个动点，求线段MQ+MA的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使
△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点
坐标，不存在请说明理由．【即学即练3】
13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且抛物线的对称轴
为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N在第四象限的抛物线上，且△NAB是以AB为底的等腰三角形，求N点的坐标；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，当点P在何处时，点P到直线AB的距离最大，并求出最
大距离．【即学即练4】
14．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上的动点，当点P绕原点O旋转180°的对应点Q在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）M为直线AB上的动点，N为抛物线上的动点，当以点 O，A，
M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【即学即练5】
15．如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝2OC，将矩形OABC绕原点O逆时针旋转
90°，得到矩形ODEF．抛物线y＝ax2+bx+c经过F、D、B三个点，其顶点在直线y＝ x﹣ 上，直线
L：y＝kx+m经过点E和点A，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上第一象限任意一点，过点P作x轴的垂线交
直线L于点M．
（1）求abc的值；
（2）设P点横坐标为t，求线段PM的长（用t的代数式表示）；
（3）以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果
会，写出点P的坐标，如果不会，请说明理由．题型01 二次函数的图像与系数的关系
【典例1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y ）和点（3，y ）在该图象上，则y ＞y ；
1 2 1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【典例2】抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；
②2a+c＞0；
③点P （t+2022，y ），P （t+2023，y ），在抛物线上，且y ＞y ，则t＞﹣2021；
1 1 2 2 1 2
④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例3】
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直
线 ．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④
（其中 ）；⑤若A（x ，y ）和B（x ，y ）均在该函数图象上，且x ＞x ＞1，则y ＞y ．其中
1 1 2 2 1 2 1 2
正确结论的个数共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例4】
如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．下列结论：①b＞0；②方
程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正确结论的序号是（
）
典例4 典例5
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【典例5】
如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m
（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 二次函数的综合应用
【典例1】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及
此时点E的坐标．
【典例2】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣
3），点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P为此抛物线上的一个
动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线OD为 ，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【典例3】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）
两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，
当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形
是平行四边形时，求点M的坐标．【典例4】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点
C．且直线y＝mx+n过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过
点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接MB、MD，当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【典例5】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线
交线段BC于N，求△PMN的周长的最大值．
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．1．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 2 5 10 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．abc＞0
C．这个函数的最大值为10
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解
3．已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y ），B（3，y ），C（4，y ）是抛物线上三点，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
由小到大依序排列是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1
4．一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）A． B． C． D．
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高
度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，
达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，
则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x ，y ）、B（x ，y ）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y ≠n）
1 1 2 2 1
则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则y ＜y
1 2 1 2
B．若a＜0且y ＜y ，则|1﹣x |＜|1﹣x |
1 2 1 2
C．若|x ﹣1|＞|x ﹣1|且y ＞y ，则a＜0
1 2 1 2
D．若x +x ＝2（x ≠x ），则AB∥CD
1 2 1 2
7．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）
之间，其部分图象如图所示．①b﹣4a＝0；②a+b+c＞0；③c＜3a；④b2+2b＞4ac．所述4个结论
中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＜ ．其中结论正确的个数
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．点A（2，y ），B（a，y ）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．若y ＜y ，写出一个符合条件的a的值
1 2 1 2
．
10．关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
11．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离
均为5米，则支柱MN的高度为 米．
12．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝
；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中结论正确的是 .（填序号）
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其
顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边
的四边形为平行四边形，求点F的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在
过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点 P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及
△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．15．平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，
请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
